| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | constrfin.1 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ω) |
| 2 | | fveq2 6906 |
. . . 4
⊢ (𝑚 = ∅ → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘∅)) |
| 3 | 2 | eleq1d 2826 |
. . 3
⊢ (𝑚 = ∅ → ((𝐶‘𝑚) ∈ Fin ↔ (𝐶‘∅) ∈
Fin)) |
| 4 | | fveq2 6906 |
. . . 4
⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑛)) |
| 5 | 4 | eleq1d 2826 |
. . 3
⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐶‘𝑚) ∈ Fin ↔ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin)) |
| 6 | | fveq2 6906 |
. . . 4
⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘suc 𝑛)) |
| 7 | 6 | eleq1d 2826 |
. . 3
⊢ (𝑚 = suc 𝑛 → ((𝐶‘𝑚) ∈ Fin ↔ (𝐶‘suc 𝑛) ∈ Fin)) |
| 8 | | fveq2 6906 |
. . . 4
⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝐶‘𝑚) = (𝐶‘𝑁)) |
| 9 | 8 | eleq1d 2826 |
. . 3
⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((𝐶‘𝑚) ∈ Fin ↔ (𝐶‘𝑁) ∈ Fin)) |
| 10 | | constr0.1 |
. . . . 5
⊢ 𝐶 = rec((𝑠 ∈ V ↦ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ 𝑠 ∃𝑏 ∈ 𝑠 ∃𝑐 ∈ 𝑠 ∃𝑑 ∈ 𝑠 ∃𝑒 ∈ 𝑠 ∃𝑓 ∈ 𝑠 (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}), {0, 1}) |
| 11 | 10 | constr0 33778 |
. . . 4
⊢ (𝐶‘∅) = {0,
1} |
| 12 | | prfi 9363 |
. . . 4
⊢ {0, 1}
∈ Fin |
| 13 | 11, 12 | eqeltri 2837 |
. . 3
⊢ (𝐶‘∅) ∈
Fin |
| 14 | | nfv 1914 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥(𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) |
| 15 | | nfcv 2905 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥(𝐶‘suc 𝑛) |
| 16 | | nfrab1 3457 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))} |
| 17 | | nnon 7893 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑛 ∈ ω → 𝑛 ∈ On) |
| 18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) → 𝑛 ∈ On) |
| 19 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐶‘𝑛) = (𝐶‘𝑛) |
| 20 | 10, 18, 19 | constrsuc 33779 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))))) |
| 21 | | rabid 3458 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))))) |
| 22 | 20, 21 | bitr4di 289 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ (𝐶‘suc 𝑛) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))})) |
| 23 | 14, 15, 16, 22 | eqrd 4003 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) → (𝐶‘suc 𝑛) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))}) |
| 24 | | 3unrab 32522 |
. . . . . 6
⊢ (({𝑥 ∈ ℂ ∣
∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))}) ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))}) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) ∨ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))))} |
| 25 | 23, 24 | eqtr4di 2795 |
. . . . 5
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) → (𝐶‘suc 𝑛) = (({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))}) ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))})) |
| 26 | | simpr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) → (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) |
| 27 | 26 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) |
| 28 | 27 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) |
| 29 | 28 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) |
| 30 | | snfi 9083 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ {(𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) −
(((∗‘𝑎)
− (∗‘𝑐))
· (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎)))} ∈ Fin |
| 31 | 30 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {(𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) −
(((∗‘𝑎)
− (∗‘𝑐))
· (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎)))} ∈ Fin) |
| 32 | 10, 17 | constrsscn 33781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) |
| 33 | 32 | ad9antr 742 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) |
| 34 | | simp-8r 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 35 | | simp-7r 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 36 | | simp-6r 788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 37 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 38 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑡 ∈ ℝ) |
| 39 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑟 ∈ ℝ) |
| 40 | | simpr1 1195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))) |
| 41 | | simpr2 1196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐)))) |
| 42 | | simpr3 1197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) →
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) |
| 43 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) −
(((∗‘𝑎)
− (∗‘𝑐))
· (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎))) = (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) −
(((∗‘𝑎)
− (∗‘𝑐))
· (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎))) |
| 44 | 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43 | constrrtll 33772 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑥 = (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) −
(((∗‘𝑎)
− (∗‘𝑐))
· (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎)))) |
| 45 | 44 | r19.29an 3158 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑥 = (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) −
(((∗‘𝑎)
− (∗‘𝑐))
· (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎)))) |
| 46 | 45 | r19.29an 3158 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)) → 𝑥 = (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) −
(((∗‘𝑎)
− (∗‘𝑐))
· (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎)))) |
| 47 | 46 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) → 𝑥 = (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) −
(((∗‘𝑎)
− (∗‘𝑐))
· (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎))))) |
| 48 | 47 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∀𝑥 ∈ ℂ (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) → 𝑥 = (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) −
(((∗‘𝑎)
− (∗‘𝑐))
· (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎))))) |
| 49 | | rabsssn 4668 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ({𝑥 ∈ ℂ ∣
∃𝑡 ∈ ℝ
∃𝑟 ∈ ℝ
(𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)} ⊆ {(𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) −
(((∗‘𝑎)
− (∗‘𝑐))
· (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎)))} ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0) → 𝑥 = (𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) −
(((∗‘𝑎)
− (∗‘𝑐))
· (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎))))) |
| 50 | 48, 49 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)} ⊆ {(𝑎 + (((((𝑎 − 𝑐) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))) −
(((∗‘𝑎)
− (∗‘𝑐))
· (𝑑 − 𝑐))) / ((((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) · (𝑑 − 𝑐)) − ((𝑏 − 𝑎) · ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑐))))) · (𝑏 − 𝑎)))}) |
| 51 | 31, 50 | ssfid 9301 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)} ∈ Fin) |
| 52 | 29, 51 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)} ∈ Fin) |
| 53 | 28, 52 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)} ∈ Fin) |
| 54 | 27, 53 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)} ∈ Fin) |
| 55 | 26, 54 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)} ∈ Fin) |
| 56 | 29 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) |
| 57 | | snfi 9083 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ {𝑎} ∈ Fin |
| 58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) → {𝑎} ∈ Fin) |
| 59 | 32 | ad10antr 744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) |
| 60 | | simp-9r 794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 61 | | simp-8r 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 62 | | simp-7r 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 63 | | simp-6r 788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 64 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 65 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑡 ∈ ℝ) |
| 66 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))) |
| 67 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) |
| 68 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 = 𝑏) |
| 69 | 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68 | constrrtlc2 33774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑥 = 𝑎) |
| 70 | 69 | r19.29an 3158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑥 = 𝑎) |
| 71 | 70 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → 𝑥 = 𝑎)) |
| 72 | 71 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) → ∀𝑥 ∈ ℂ (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → 𝑥 = 𝑎)) |
| 73 | | rabsssn 4668 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝑥 ∈ ℂ ∣
∃𝑡 ∈ ℝ
(𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ⊆ {𝑎} ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → 𝑥 = 𝑎)) |
| 74 | 72, 73 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ⊆ {𝑎}) |
| 75 | 58, 74 | ssfid 9301 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 = 𝑏) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 76 | | prfi 9363 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
{((-(((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) +
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 · 1)),
((-(((((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐)) −
(𝑐 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) −
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 · 1))}
∈ Fin |
| 77 | 76 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {((-(((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) +
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 · 1)),
((-(((((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐)) −
(𝑐 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) −
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 · 1))}
∈ Fin) |
| 78 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 79 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 1 ∈
ℂ) |
| 80 | | ax-1ne0 11224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 1 ≠
0 |
| 81 | 80 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 1 ≠ 0) |
| 82 | 32 | ad10antr 744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) |
| 83 | | simp-9r 794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 84 | 82, 83 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ ℂ) |
| 85 | 84 | cjcld 15235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑎) ∈
ℂ) |
| 86 | | simp-8r 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 87 | 82, 86 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ ℂ) |
| 88 | 87 | cjcld 15235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑏) ∈
ℂ) |
| 89 | 88, 85 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) ∈
ℂ) |
| 90 | 87, 84 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑏 − 𝑎) ∈ ℂ) |
| 91 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ≠ 𝑏) |
| 92 | 91 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ≠ 𝑎) |
| 93 | 87, 84, 92 | subne0d 11629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑏 − 𝑎) ≠ 0) |
| 94 | 89, 90, 93 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ∈ ℂ) |
| 95 | 84, 94 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) ∈ ℂ) |
| 96 | 85, 95 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) ∈ ℂ) |
| 97 | | simp-7r 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 98 | 82, 97 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ ℂ) |
| 99 | 98 | cjcld 15235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑐) ∈
ℂ) |
| 100 | 96, 99 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) ∈
ℂ) |
| 101 | 98, 94 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) ∈ ℂ) |
| 102 | 100, 101 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) ∈ ℂ) |
| 103 | | simp-6r 788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 104 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 105 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑡 ∈ ℝ) |
| 106 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎)))) |
| 107 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) |
| 108 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)) = (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) |
| 109 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) = (((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) |
| 110 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎))) = (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) |
| 111 | 82, 83, 86, 97, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 91 | constrrtlc1 33773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((𝑥↑2) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑥) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))) = 0 ∧ (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ≠ 0)) |
| 112 | 111 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)) ≠ 0) |
| 113 | 102, 94, 112 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) ∈ ℂ) |
| 114 | 98, 100 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) ∈
ℂ) |
| 115 | 82, 103 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ ℂ) |
| 116 | 82, 104 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ ℂ) |
| 117 | 115, 116 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑒 − 𝑓) ∈ ℂ) |
| 118 | 115 | cjcld 15235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑒) ∈
ℂ) |
| 119 | 116 | cjcld 15235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑓) ∈
ℂ) |
| 120 | 118, 119 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)) ∈
ℂ) |
| 121 | 117, 120 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓))) ∈
ℂ) |
| 122 | 114, 121 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) ∈
ℂ) |
| 123 | 122 | negcld 11607 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → -((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) ∈
ℂ) |
| 124 | 123, 94, 112 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) ∈ ℂ) |
| 125 | 78 | sqcld 14184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑥↑2) ∈ ℂ) |
| 126 | 125 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (1 · (𝑥↑2)) = (𝑥↑2)) |
| 127 | 126 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((1 · (𝑥↑2)) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑥) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))) = ((𝑥↑2) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑥) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))))) |
| 128 | 111 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((𝑥↑2) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑥) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))) = 0) |
| 129 | 127, 128 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((1 · (𝑥↑2)) + (((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) · 𝑥) + (-((𝑐 · (((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐))) + ((𝑒 − 𝑓) · ((∗‘𝑒) − (∗‘𝑓)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))))) = 0) |
| 130 | 78, 79, 81, 113, 124, 129 | quad3d 32754 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑥 = ((-(((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) +
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 · 1)) ∨
𝑥 =
((-(((((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐)) −
(𝑐 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) −
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 ·
1)))) |
| 131 | 130 | r19.29an 3158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑥 = ((-(((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) +
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 · 1)) ∨
𝑥 =
((-(((((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐)) −
(𝑐 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) −
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 ·
1)))) |
| 132 | 131 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (𝑥 = ((-(((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) +
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 · 1)) ∨
𝑥 =
((-(((((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐)) −
(𝑐 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) −
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 ·
1))))) |
| 133 | 132 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → ∀𝑥 ∈ ℂ (∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (𝑥 = ((-(((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) +
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 · 1)) ∨
𝑥 =
((-(((((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐)) −
(𝑐 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) −
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 ·
1))))) |
| 134 | | rabsspr 32520 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝑥 ∈ ℂ ∣
∃𝑡 ∈ ℝ
(𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ⊆ {((-(((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) +
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 · 1)),
((-(((((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐)) −
(𝑐 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) −
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 · 1))}
↔ ∀𝑥 ∈
ℂ (∃𝑡 ∈
ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (𝑥 = ((-(((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) +
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 · 1)) ∨
𝑥 =
((-(((((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐)) −
(𝑐 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) −
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 ·
1))))) |
| 135 | 133, 134 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ⊆ {((-(((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) +
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 · 1)),
((-(((((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐)) −
(𝑐 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎))) −
(√‘(((((((∗‘𝑎) − (𝑎 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) − (∗‘𝑐)) − (𝑐 · (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))) / (((∗‘𝑏) − (∗‘𝑎)) / (𝑏 − 𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
(-((𝑐 ·
(((∗‘𝑎)
− (𝑎 ·
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))) −
(∗‘𝑐))) +
((𝑒 − 𝑓) ·
((∗‘𝑒) −
(∗‘𝑓)))) /
(((∗‘𝑏)
− (∗‘𝑎))
/ (𝑏 − 𝑎)))))))) / (2 ·
1))}) |
| 136 | 77, 135 | ssfid 9301 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑎 ≠ 𝑏) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 137 | | exmidne 2950 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 ≠ 𝑏) |
| 138 | 137 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝑎 = 𝑏 ∨ 𝑎 ≠ 𝑏)) |
| 139 | 75, 136, 138 | mpjaodan 961 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 140 | 56, 139 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 141 | 29, 140 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 142 | 28, 141 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 143 | 27, 142 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 144 | 26, 143 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 145 | 55, 144 | unfid 9212 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) → ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))}) ∈ Fin) |
| 146 | 29 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) |
| 147 | 146 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) → (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) |
| 148 | | prfi 9363 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
{((-(((((𝑒 −
𝑓) ·
(∗‘(𝑒 −
𝑓))) −
((∗‘𝑑)
· (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) + (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 · 1)), ((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) − (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 · 1))} ∈
Fin |
| 149 | 148 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) + (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 · 1)), ((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) − (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 · 1))} ∈
Fin) |
| 150 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 151 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 1 ∈
ℂ) |
| 152 | 80 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 1 ≠ 0) |
| 153 | 32 | ad9antr 742 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝐶‘𝑛) ⊆ ℂ) |
| 154 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 155 | 153, 154 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑒 ∈ ℂ) |
| 156 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 157 | 153, 156 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑓 ∈ ℂ) |
| 158 | 155, 157 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑒 − 𝑓) ∈ ℂ) |
| 159 | 158 | cjcld 15235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑒 − 𝑓)) ∈ ℂ) |
| 160 | 158, 159 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) ∈ ℂ) |
| 161 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 162 | 153, 161 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑑 ∈ ℂ) |
| 163 | 162 | cjcld 15235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑑) ∈
ℂ) |
| 164 | | simp-8r 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 165 | 153, 164 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ∈ ℂ) |
| 166 | 162, 165 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑑 + 𝑎) ∈ ℂ) |
| 167 | 163, 166 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎)) ∈ ℂ) |
| 168 | 160, 167 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) ∈ ℂ) |
| 169 | | simp-7r 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 170 | 153, 169 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑏 ∈ ℂ) |
| 171 | | simp-6r 788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) |
| 172 | 153, 171 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑐 ∈ ℂ) |
| 173 | 170, 172 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑏 − 𝑐) ∈ ℂ) |
| 174 | 173 | cjcld 15235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑏 − 𝑐)) ∈ ℂ) |
| 175 | 173, 174 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) ∈ ℂ) |
| 176 | 165 | cjcld 15235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘𝑎) ∈
ℂ) |
| 177 | 176, 166 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)) ∈ ℂ) |
| 178 | 175, 177 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎))) ∈ ℂ) |
| 179 | 168, 178 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) ∈ ℂ) |
| 180 | 163, 176 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)) ∈
ℂ) |
| 181 | 162, 165 | cjsubd 32752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑑 − 𝑎)) = ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) |
| 182 | 162, 165 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑑 − 𝑎) ∈ ℂ) |
| 183 | | simpr1 1195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑎 ≠ 𝑑) |
| 184 | 183 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → 𝑑 ≠ 𝑎) |
| 185 | 162, 165,
184 | subne0d 11629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑑 − 𝑎) ≠ 0) |
| 186 | 182, 185 | cjne0d 15242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (∗‘(𝑑 − 𝑎)) ≠ 0) |
| 187 | 181, 186 | eqnetrrd 3009 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)) ≠ 0) |
| 188 | 179, 180,
187 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) ∈ ℂ) |
| 189 | 162, 165 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑑 · 𝑎) ∈ ℂ) |
| 190 | 176, 189 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) ∈ ℂ) |
| 191 | 175, 162 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑) ∈ ℂ) |
| 192 | 190, 191 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) ∈ ℂ) |
| 193 | 163, 189 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) ∈ ℂ) |
| 194 | 160, 165 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎) ∈ ℂ) |
| 195 | 193, 194 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎)) ∈ ℂ) |
| 196 | 192, 195 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) ∈ ℂ) |
| 197 | 196, 180,
187 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) ∈ ℂ) |
| 198 | 197 | negcld 11607 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) ∈ ℂ) |
| 199 | 150 | sqcld 14184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑥↑2) ∈ ℂ) |
| 200 | 199 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (1 · (𝑥↑2)) = (𝑥↑2)) |
| 201 | 200 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((1 · (𝑥↑2)) + (((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑥) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))) = ((𝑥↑2) + (((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑥) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))) |
| 202 | | simpr2 1196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐))) |
| 203 | | simpr3 1197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) |
| 204 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) = ((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) |
| 205 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) = ((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) |
| 206 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝑒 − 𝑓) ·
(∗‘(𝑒 −
𝑓))) −
((∗‘𝑑)
· (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) = (((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) |
| 207 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
-(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) = -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) |
| 208 | 153, 164,
169, 171, 161, 154, 156, 150, 183, 202, 203, 204, 205, 206, 207 | constrrtcc 33776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((𝑥↑2) + (((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑥) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))) = 0) |
| 209 | 201, 208 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → ((1 · (𝑥↑2)) + (((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) · 𝑥) + -(((((∗‘𝑎) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))))) = 0) |
| 210 | 150, 151,
152, 188, 198, 209 | quad3d 32754 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))) → (𝑥 = ((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) + (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 · 1)) ∨ 𝑥 = ((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) − (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 · 1)))) |
| 211 | 210 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (𝑥 = ((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) + (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 · 1)) ∨ 𝑥 = ((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) − (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 ·
1))))) |
| 212 | 211 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → ∀𝑥 ∈ ℂ ((𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (𝑥 = ((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) + (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 · 1)) ∨ 𝑥 = ((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) − (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 ·
1))))) |
| 213 | | rabsspr 32520 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ⊆ {((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) + (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 · 1)), ((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) − (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 · 1))} ↔
∀𝑥 ∈ ℂ
((𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓))) → (𝑥 = ((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) + (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 · 1)) ∨ 𝑥 = ((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) − (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 ·
1))))) |
| 214 | 212, 213 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ⊆ {((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) + (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 · 1)), ((-(((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎))) − (√‘(((((((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) − ((∗‘𝑑) · (𝑑 + 𝑎))) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) − ((∗‘𝑎) · (𝑑 + 𝑎)))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))↑2) − (4 · (1 ·
-(((((∗‘𝑎)
· (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑏 − 𝑐) · (∗‘(𝑏 − 𝑐))) · 𝑑)) − (((∗‘𝑑) · (𝑑 · 𝑎)) − (((𝑒 − 𝑓) · (∗‘(𝑒 − 𝑓))) · 𝑎))) / ((∗‘𝑑) − (∗‘𝑎)))))))) / (2 · 1))}) |
| 215 | 149, 214 | ssfid 9301 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 216 | 147, 215 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 217 | 146, 216 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 218 | 29, 217 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝑛 ∈
ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 219 | 28, 218 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 220 | 27, 219 | rabrexfi 32525 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 221 | 26, 220 | rabrexfi 32525 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))} ∈ Fin) |
| 222 | 145, 221 | unfid 9212 |
. . . . 5
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) → (({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ 𝑥 = (𝑐 + (𝑟 · (𝑑 − 𝑐))) ∧
(ℑ‘((∗‘(𝑏 − 𝑎)) · (𝑑 − 𝑐))) ≠ 0)} ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑡 ∈ ℝ (𝑥 = (𝑎 + (𝑡 · (𝑏 − 𝑎))) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑐)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))}) ∪ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑎 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑏 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑐 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑑 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑒 ∈ (𝐶‘𝑛)∃𝑓 ∈ (𝐶‘𝑛)(𝑎 ≠ 𝑑 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑎)) = (abs‘(𝑏 − 𝑐)) ∧ (abs‘(𝑥 − 𝑑)) = (abs‘(𝑒 − 𝑓)))}) ∈ Fin) |
| 223 | 25, 222 | eqeltrd 2841 |
. . . 4
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ (𝐶‘𝑛) ∈ Fin) → (𝐶‘suc 𝑛) ∈ Fin) |
| 224 | 223 | ex 412 |
. . 3
⊢ (𝑛 ∈ ω → ((𝐶‘𝑛) ∈ Fin → (𝐶‘suc 𝑛) ∈ Fin)) |
| 225 | 3, 5, 7, 9, 13, 224 | finds 7918 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝐶‘𝑁) ∈ Fin) |
| 226 | 1, 225 | syl 17 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ∈ Fin) |