Theorem rdglimss 35191

Description: A recursive definition at a limit ordinal is a superset of itself at any smaller ordinal. (Contributed by ML, 30-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
rdglimss	⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐶) ⊆ (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵))

Proof of Theorem rdglimss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgellim 35190	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐶) → 𝑥 ∈ (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵)))
2	1	ssrdv 3883	1 ⊢ (((𝐵 ∈ On ∧ Lim 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐶) ⊆ (rec(𝐹, 𝐴)‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3843  Oncon0 6172  Lim wlim 6173  ‘cfv 6339  reccrdg 8074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5296  ax-un 7479

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075

This theorem is referenced by:  exrecfnlem  35193