Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  renpncan3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renpncan3 41208
Description: Cancellation law for real subtraction. Compare npncan3 11494. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
renpncan3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) + (𝐶 𝐴)) = (𝐶 𝐵))

Proof of Theorem renpncan3
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 rersubcl 41195 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℝ)
32ancoms 460 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℝ)
433adant2 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℝ)
5 simp2 1138 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 readdsub 41201 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (𝐶 𝐴)) − 𝐵) = ((𝐴 𝐵) + (𝐶 𝐴)))
71, 4, 5, 6syl3anc 1372 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (𝐶 𝐴)) − 𝐵) = ((𝐴 𝐵) + (𝐶 𝐴)))
8 repncan3 41200 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐶 𝐴)) = 𝐶)
983adant2 1132 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐶 𝐴)) = 𝐶)
109oveq1d 7419 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (𝐶 𝐴)) − 𝐵) = (𝐶 𝐵))
117, 10eqtr3d 2775 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) + (𝐶 𝐴)) = (𝐶 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7404  cr 11105   + caddc 11109   cresub 41182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-addrcl 11167  ax-addass 11171  ax-rnegex 11177  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-resub 41183
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator