Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  renpncan3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renpncan3 41566
Description: Cancellation law for real subtraction. Compare npncan3 11502. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
renpncan3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) + (𝐶 𝐴)) = (𝐶 𝐵))

Proof of Theorem renpncan3
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 rersubcl 41553 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℝ)
32ancoms 457 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℝ)
433adant2 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℝ)
5 simp2 1135 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 readdsub 41559 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (𝐶 𝐴)) − 𝐵) = ((𝐴 𝐵) + (𝐶 𝐴)))
71, 4, 5, 6syl3anc 1369 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (𝐶 𝐴)) − 𝐵) = ((𝐴 𝐵) + (𝐶 𝐴)))
8 repncan3 41558 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐶 𝐴)) = 𝐶)
983adant2 1129 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐶 𝐴)) = 𝐶)
109oveq1d 7426 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (𝐶 𝐴)) − 𝐵) = (𝐶 𝐵))
117, 10eqtr3d 2772 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) + (𝐶 𝐴)) = (𝐶 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  (class class class)co 7411  cr 11111   + caddc 11115   cresub 41540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-addrcl 11173  ax-addass 11177  ax-rnegex 11183  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-resub 41541
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator