Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  renpncan3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renpncan3 39516
Description: Cancellation law for real subtraction. Compare npncan3 10917. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
renpncan3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) + (𝐶 𝐴)) = (𝐶 𝐵))

Proof of Theorem renpncan3
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 rersubcl 39503 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℝ)
32ancoms 462 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℝ)
433adant2 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 𝐴) ∈ ℝ)
5 simp2 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 readdsub 39509 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (𝐶 𝐴)) − 𝐵) = ((𝐴 𝐵) + (𝐶 𝐴)))
71, 4, 5, 6syl3anc 1368 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (𝐶 𝐴)) − 𝐵) = ((𝐴 𝐵) + (𝐶 𝐴)))
8 repncan3 39508 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐶 𝐴)) = 𝐶)
983adant2 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐶 𝐴)) = 𝐶)
109oveq1d 7154 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (𝐶 𝐴)) − 𝐵) = (𝐶 𝐵))
117, 10eqtr3d 2838 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐵) + (𝐶 𝐴)) = (𝐶 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  (class class class)co 7139  cr 10529   + caddc 10533   cresub 39490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-addrcl 10591  ax-addass 10595  ax-rnegex 10601  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-resub 39491
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator