Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  readdsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem readdsub 39456
Description: Law for addition and subtraction. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
readdsub ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem readdsub
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
2 readdcl 10618 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
323adant3 1129 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 repncan3 39455 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (𝐴 + 𝐵))
51, 3, 4syl2anc 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (𝐴 + 𝐵))
6 repncan3 39455 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 𝐶)) = 𝐴)
76ancoms 462 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 𝐶)) = 𝐴)
873adant2 1128 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 𝐶)) = 𝐴)
98oveq1d 7164 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + (𝐴 𝐶)) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
101recnd 10667 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
11 rersubcl 39450 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐶) ∈ ℝ)
12113adant2 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐶) ∈ ℝ)
1312recnd 10667 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐶) ∈ ℂ)
14 simp2 1134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
1514recnd 10667 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1610, 13, 15addassd 10661 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + (𝐴 𝐶)) + 𝐵) = (𝐶 + ((𝐴 𝐶) + 𝐵)))
175, 9, 163eqtr2d 2865 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 𝐶) + 𝐵)))
18 rersubcl 39450 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ)
193, 1, 18syl2anc 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ)
2012, 14readdcld 10668 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐶) + 𝐵) ∈ ℝ)
21 readdcan 10812 . . 3 ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 𝐶) + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 𝐶) + 𝐵)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 𝐶) + 𝐵)))
2219, 20, 1, 21syl3anc 1368 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 𝐶) + 𝐵)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 𝐶) + 𝐵)))
2317, 22mpbid 235 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 𝐶) + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7149  cr 10534   + caddc 10538   cresub 39437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-addrcl 10596  ax-addass 10600  ax-rnegex 10606  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-ltxr 10678  df-resub 39438
This theorem is referenced by:  renpncan3  39463  resubidaddid1  39467
  Copyright terms: Public domain W3C validator