Theorem readdsub 42394

Description: Law for addition and subtraction. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
readdsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) = ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem readdsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
2		readdcl 11217	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		repncan3 42393	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐴 + 𝐵))
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐴 + 𝐵))
6		repncan3 42393	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
7	6	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
8	7	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
10	1	recnd 11268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		rersubcl 42388	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
12	11	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
14		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11268	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	10, 13, 15	addassd 11262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) + 𝐵) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)))
17	5, 9, 16	3eqtr2d 2777	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)))
18		rersubcl 42388	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
19	3, 1, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
20	12, 14	readdcld 11269	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵) ∈ ℝ)
21		readdcan 11414	. . 3 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) = ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)))
22	19, 20, 1, 21	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) = ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)))
23	17, 22	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) = ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℝcr 11133   + caddc 11137   −_ℝ cresub 42375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-addrcl 11195  ax-addass 11199  ax-rnegex 11205  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-resub 42376

This theorem is referenced by:  renpncan3  42401  resubidaddlid  42405  renegmulnnass  42463