Theorem readdsub 43028

Description: Law for addition and subtraction. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
readdsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) = ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem readdsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
2		readdcl 11179	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		repncan3 43027	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐴 + 𝐵))
5	1, 3, 4	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐴 + 𝐵))
6		repncan3 43027	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
7	6	ancoms 463	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
8	7	3adant2 1147	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
10	1	recnd 11233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		rersubcl 43022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
12	11	3adant2 1147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
14		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11233	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	10, 13, 15	addassd 11227	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) + 𝐵) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)))
17	5, 9, 16	3eqtr2d 2810	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)))
18		rersubcl 43022	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
19	3, 1, 18	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
20	12, 14	readdcld 11234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵) ∈ ℝ)
21		readdcan 11380	. . 3 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) = ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)))
22	19, 20, 1, 21	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) = ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)))
23	17, 22	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) = ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℝcr 11095   + caddc 11099   −_ℝ cresub 43009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-addrcl 11157  ax-addass 11161  ax-rnegex 11167  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-resub 43010

This theorem is referenced by:  renpncan3  43035  resubidaddlid  43039  renegmulnnass  43122