Theorem readdsub 42379

Description: Law for addition and subtraction. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
readdsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) = ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem readdsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
2		readdcl 11158	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
3	2	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4		repncan3 42378	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐴 + 𝐵))
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐴 + 𝐵))
6		repncan3 42378	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
7	6	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
8	7	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) = 𝐴)
9	8	oveq1d 7405	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
10	1	recnd 11209	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
11		rersubcl 42373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
12	11	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11209	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 −ℝ 𝐶) ∈ ℂ)
14		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	recnd 11209	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	10, 13, 15	addassd 11203	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + (𝐴 −ℝ 𝐶)) + 𝐵) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)))
17	5, 9, 16	3eqtr2d 2771	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)))
18		rersubcl 42373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
19	3, 1, 18	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) ∈ ℝ)
20	12, 14	readdcld 11210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵) ∈ ℝ)
21		readdcan 11355	. . 3 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) = ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)))
22	19, 20, 1, 21	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) = ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵)))
23	17, 22	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) −ℝ 𝐶) = ((𝐴 −ℝ 𝐶) + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℝcr 11074   + caddc 11078   −_ℝ cresub 42360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-addrcl 11136  ax-addass 11140  ax-rnegex 11146  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-resub 42361

This theorem is referenced by:  renpncan3  42386  resubidaddlid  42390  renegmulnnass  42460