Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  readdsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem readdsub 39092
Description: Law for addition and subtraction. (Contributed by Steven Nguyen, 28-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
readdsub ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 𝐶) + 𝐵))

Proof of Theorem readdsub
StepHypRef Expression
1 simp3 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
2 readdcl 10608 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
323adant3 1124 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
4 repncan3 39091 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (𝐴 + 𝐵))
51, 3, 4syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (𝐴 + 𝐵))
6 repncan3 39091 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 𝐶)) = 𝐴)
76ancoms 459 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 𝐶)) = 𝐴)
873adant2 1123 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + (𝐴 𝐶)) = 𝐴)
98oveq1d 7160 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + (𝐴 𝐶)) + 𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
101recnd 10657 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
11 rersubcl 39086 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐶) ∈ ℝ)
12113adant2 1123 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐶) ∈ ℝ)
1312recnd 10657 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 𝐶) ∈ ℂ)
14 simp2 1129 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
1514recnd 10657 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1610, 13, 15addassd 10651 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + (𝐴 𝐶)) + 𝐵) = (𝐶 + ((𝐴 𝐶) + 𝐵)))
175, 9, 163eqtr2d 2859 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 𝐶) + 𝐵)))
18 rersubcl 39086 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ)
193, 1, 18syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ)
2012, 14readdcld 10658 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 𝐶) + 𝐵) ∈ ℝ)
21 readdcan 10802 . . 3 ((((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 𝐶) + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 𝐶) + 𝐵)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 𝐶) + 𝐵)))
2219, 20, 1, 21syl3anc 1363 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶)) = (𝐶 + ((𝐴 𝐶) + 𝐵)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 𝐶) + 𝐵)))
2317, 22mpbid 233 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐶) = ((𝐴 𝐶) + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cr 10524   + caddc 10528   cresub 39073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-addrcl 10586  ax-addass 10590  ax-rnegex 10596  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-resub 39074
This theorem is referenced by:  renpncan3  39099  resubidaddid1  39103
  Copyright terms: Public domain W3C validator