Theorem repncan3 42371

Description: Addition and subtraction of equals. Based on pncan3 11429. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
repncan3	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 −ℝ 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem repncan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rersubcl 42366	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝐵 −ℝ 𝐴) = (𝐵 −ℝ 𝐴)
3		resubadd 42367	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 −ℝ 𝐴) = (𝐵 −ℝ 𝐴) ↔ (𝐴 + (𝐵 −ℝ 𝐴)) = 𝐵))
4	2, 3	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 −ℝ 𝐴)) = 𝐵)
5	1, 4	mpd3an3 1464	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 −ℝ 𝐴)) = 𝐵)
6	5	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 −ℝ 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℝcr 11067   + caddc 11071   −_ℝ cresub 42353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-addrcl 11129  ax-addass 11133  ax-rnegex 11139  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-resub 42354

This theorem is referenced by:  readdsub  42372  reltsub1  42374  resubcan2  42376  resubsub4  42377  rennncan2  42378  renpncan3  42379  resubdi  42384  re1m1e0m0  42385  renegneg  42400