Theorem repncan3 42376

Description: Addition and subtraction of equals. Based on pncan3 11498. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
repncan3	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 −ℝ 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem repncan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rersubcl 42371	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ)
2		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝐵 −ℝ 𝐴) = (𝐵 −ℝ 𝐴)
3		resubadd 42372	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 −ℝ 𝐴) = (𝐵 −ℝ 𝐴) ↔ (𝐴 + (𝐵 −ℝ 𝐴)) = 𝐵))
4	2, 3	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 −ℝ 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 −ℝ 𝐴)) = 𝐵)
5	1, 4	mpd3an3 1463	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 −ℝ 𝐴)) = 𝐵)
6	5	ancoms 458	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 −ℝ 𝐴)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7413  ℝcr 11136   + caddc 11140   −_ℝ cresub 42358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-resscn 11194  ax-addrcl 11198  ax-addass 11202  ax-rnegex 11208  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-ltxr 11282  df-resub 42359

This theorem is referenced by:  readdsub  42377  reltsub1  42379  resubcan2  42381  resubsub4  42382  rennncan2  42383  renpncan3  42384  resubdi  42389  re1m1e0m0  42390  renegneg  42404