Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repncan3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repncan3 39451
Description: Addition and subtraction of equals. Based on pncan3 10892. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
repncan3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem repncan3
StepHypRef Expression
1 rersubcl 39446 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 𝐴) ∈ ℝ)
2 eqid 2824 . . . 4 (𝐵 𝐴) = (𝐵 𝐴)
3 resubadd 39447 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 𝐴) = (𝐵 𝐴) ↔ (𝐴 + (𝐵 𝐴)) = 𝐵))
42, 3mpbii 236 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 𝐴)) = 𝐵)
51, 4mpd3an3 1459 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 𝐴)) = 𝐵)
65ancoms 462 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 𝐴)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7149  cr 10534   + caddc 10538   cresub 39433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-addrcl 10596  ax-addass 10600  ax-rnegex 10606  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-po 5461  df-so 5462  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-ltxr 10678  df-resub 39434
This theorem is referenced by:  readdsub  39452  reltsub1  39454  resubcan2  39456  resubsub4  39457  rennncan2  39458  renpncan3  39459  resubdi  39464  re1m1e0m0  39465  renegneg  39479
  Copyright terms: Public domain W3C validator