Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repncan3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repncan3 40363
Description: Addition and subtraction of equals. Based on pncan3 11229. (Contributed by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
repncan3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem repncan3
StepHypRef Expression
1 rersubcl 40358 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 𝐴) ∈ ℝ)
2 eqid 2740 . . . 4 (𝐵 𝐴) = (𝐵 𝐴)
3 resubadd 40359 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐵 𝐴) = (𝐵 𝐴) ↔ (𝐴 + (𝐵 𝐴)) = 𝐵))
42, 3mpbii 232 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 𝐴)) = 𝐵)
51, 4mpd3an3 1461 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 𝐴)) = 𝐵)
65ancoms 459 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + (𝐵 𝐴)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  (class class class)co 7271  cr 10871   + caddc 10875   cresub 40345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-resscn 10929  ax-addrcl 10933  ax-addass 10937  ax-rnegex 10943  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-ltxr 11015  df-resub 40346
This theorem is referenced by:  readdsub  40364  reltsub1  40366  resubcan2  40368  resubsub4  40369  rennncan2  40370  renpncan3  40371  resubdi  40376  re1m1e0m0  40377  renegneg  40391
  Copyright terms: Public domain W3C validator