MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc2 13283
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))

Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 11159 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 11159 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 elicc1 13262 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
41, 2, 3syl2an 596 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
5 mnfxr 11170 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
71ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 simpr1 1194 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9 mnflt 12998 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
109ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐴)
11 simpr2 1195 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴𝐶)
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 13034 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐶)
132ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 pnfxr 11167 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1514a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
16 simpr3 1196 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
17 ltpnf 12995 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
1817ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 < +∞)
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 13033 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 < +∞)
20 xrrebnd 13041 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
218, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
2212, 19, 21mpbir2and 711 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2322, 11, 163jca 1128 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵))
2423ex 413 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
25 rexr 11159 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
26253anim1i 1152 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵))
2724, 26impbid1 224 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
284, 27bitrd 278 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7351  cr 11008  +∞cpnf 11144  -∞cmnf 11145  *cxr 11146   < clt 11147  cle 11148  [,]cicc 13221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-icc 13225
This theorem is referenced by:  elicc2i  13284  iccssre  13300  iccsupr  13313  iccneg  13343  iccsplit  13356  iccshftr  13357  iccshftl  13359  iccdil  13361  icccntr  13363  iccf1o  13367  supicc  13372  icco1  15382  iccntr  24136  icccmplem1  24137  icccmplem2  24138  icccmplem3  24139  reconnlem1  24141  reconnlem2  24142  cnmpopc  24243  icoopnst  24254  iocopnst  24255  cnheiborlem  24269  ivthlem2  24768  ivthlem3  24769  ivthicc  24774  evthicc2  24776  ovolficc  24784  ovolicc1  24832  ovolicc2lem2  24834  ovolicc2lem5  24837  ovolicopnf  24840  dyadmaxlem  24913  opnmbllem  24917  volsup2  24921  volcn  24922  mbfi1fseqlem6  25037  itgspliticc  25153  itgsplitioo  25154  ditgcl  25174  ditgswap  25175  ditgsplitlem  25176  ditgsplit  25177  dvlip  25309  dvlip2  25311  dveq0  25316  dvgt0lem1  25318  dvivthlem1  25324  dvne0  25327  dvcnvrelem1  25333  dvcnvrelem2  25334  dvcnvre  25335  dvfsumlem2  25343  ftc1lem1  25351  ftc1lem2  25352  ftc1a  25353  ftc1lem4  25355  ftc2  25360  ftc2ditglem  25361  itgsubstlem  25364  pserulm  25733  loglesqrt  26063  log2tlbnd  26247  ppisval  26405  chtleppi  26510  fsumvma2  26514  chpchtsum  26519  chpub  26520  rplogsumlem2  26785  chpdifbndlem1  26853  pntibndlem2a  26890  pntibndlem2  26891  pntlemj  26903  pntlem3  26909  pntleml  26911  resconn  33652  cvmliftlem10  33700  opnmbllem0  36052  ftc2nc  36098  areacirclem2  36105  areacirclem4  36107  areacirc  36109  isbnd3  36181  isbnd3b  36182  prdsbnd  36190  iccbnd  36237  intlewftc  40456  dvrelog2  40459  aks4d1p1p5  40470  eliccd  43643  eliccre  43644  iccshift  43657  iccsuble  43658  limcicciooub  43779  icccncfext  44029  itgsubsticc  44118  iblcncfioo  44120  itgiccshift  44122  itgperiod  44123  itgsbtaddcnst  44124  fourierdlem42  44291  fourierdlem54  44302  fourierdlem63  44311  fourierdlem65  44313  fourierdlem74  44322  fourierdlem75  44323  fourierdlem82  44330  fourierdlem93  44341  fourierdlem101  44349  fourierdlem104  44352  fourierdlem111  44359  reorelicc  46697
  Copyright terms: Public domain W3C validator