MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc2 12780
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))

Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 10664 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 10664 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 elicc1 12760 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
41, 2, 3syl2an 598 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
5 mnfxr 10675 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
71ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 simpr1 1191 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9 mnflt 12496 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
109ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐴)
11 simpr2 1192 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴𝐶)
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 12532 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐶)
132ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 pnfxr 10672 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1514a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
16 simpr3 1193 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
17 ltpnf 12493 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
1817ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 < +∞)
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 12531 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 < +∞)
20 xrrebnd 12539 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
218, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
2212, 19, 21mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2322, 11, 163jca 1125 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵))
2423ex 416 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
25 rexr 10664 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
26253anim1i 1149 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵))
2724, 26impbid1 228 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
284, 27bitrd 282 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wcel 2115   class class class wbr 5039  (class class class)co 7130  cr 10513  +∞cpnf 10649  -∞cmnf 10650  *cxr 10651   < clt 10652  cle 10653  [,]cicc 12719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-icc 12723
This theorem is referenced by:  elicc2i  12781  iccssre  12797  iccsupr  12810  iccneg  12840  iccsplit  12853  iccshftr  12854  iccshftl  12856  iccdil  12858  icccntr  12860  iccf1o  12864  supicc  12869  icco1  14876  iccntr  23405  icccmplem1  23406  icccmplem2  23407  icccmplem3  23408  reconnlem1  23410  reconnlem2  23411  cnmpopc  23512  icoopnst  23523  iocopnst  23524  cnheiborlem  23538  ivthlem2  24035  ivthlem3  24036  ivthicc  24041  evthicc2  24043  ovolficc  24051  ovolicc1  24099  ovolicc2lem2  24101  ovolicc2lem5  24104  ovolicopnf  24107  dyadmaxlem  24180  opnmbllem  24184  volsup2  24188  volcn  24189  mbfi1fseqlem6  24303  itgspliticc  24419  itgsplitioo  24420  ditgcl  24440  ditgswap  24441  ditgsplitlem  24442  ditgsplit  24443  dvlip  24575  dvlip2  24577  dveq0  24582  dvgt0lem1  24584  dvivthlem1  24590  dvne0  24593  dvcnvrelem1  24599  dvcnvrelem2  24600  dvcnvre  24601  dvfsumlem2  24609  ftc1lem1  24617  ftc1lem2  24618  ftc1a  24619  ftc1lem4  24621  ftc2  24626  ftc2ditglem  24627  itgsubstlem  24630  pserulm  24996  loglesqrt  25326  log2tlbnd  25510  ppisval  25668  chtleppi  25773  fsumvma2  25777  chpchtsum  25782  chpub  25783  rplogsumlem2  26048  chpdifbndlem1  26116  pntibndlem2a  26153  pntibndlem2  26154  pntlemj  26166  pntlem3  26172  pntleml  26174  resconn  32501  cvmliftlem10  32549  opnmbllem0  34975  ftc2nc  35021  areacirclem2  35028  areacirclem4  35030  areacirc  35032  isbnd3  35104  isbnd3b  35105  prdsbnd  35113  iccbnd  35160  eliccd  41960  eliccre  41961  iccshift  41974  iccsuble  41975  limcicciooub  42098  icccncfext  42348  itgsubsticc  42437  iblcncfioo  42439  itgiccshift  42441  itgperiod  42442  itgsbtaddcnst  42443  fourierdlem42  42610  fourierdlem54  42621  fourierdlem63  42630  fourierdlem65  42632  fourierdlem74  42641  fourierdlem75  42642  fourierdlem82  42649  fourierdlem93  42660  fourierdlem101  42668  fourierdlem104  42671  fourierdlem111  42678  reorelicc  44931
  Copyright terms: Public domain W3C validator