MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc2 13424
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))

Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 11292 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 11292 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 elicc1 13403 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
41, 2, 3syl2an 594 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
5 mnfxr 11303 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
71ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 simpr1 1191 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9 mnflt 13138 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
109ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐴)
11 simpr2 1192 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴𝐶)
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 13175 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐶)
132ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 pnfxr 11300 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1514a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
16 simpr3 1193 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
17 ltpnf 13135 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
1817ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 < +∞)
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 13174 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 < +∞)
20 xrrebnd 13182 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
218, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
2212, 19, 21mpbir2and 711 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2322, 11, 163jca 1125 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵))
2423ex 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
25 rexr 11292 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
26253anim1i 1149 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵))
2724, 26impbid1 224 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
284, 27bitrd 278 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2098   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  cr 11139  +∞cpnf 11277  -∞cmnf 11278  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  [,]cicc 13362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-icc 13366
This theorem is referenced by:  elicc2i  13425  iccssre  13441  iccsupr  13454  iccneg  13484  iccsplit  13497  iccshftr  13498  iccshftl  13500  iccdil  13502  icccntr  13504  iccf1o  13508  supicc  13513  icco1  15520  iccntr  24781  icccmplem1  24782  icccmplem2  24783  icccmplem3  24784  reconnlem1  24786  reconnlem2  24787  cnmpopc  24893  icoopnst  24907  iocopnst  24908  cnheiborlem  24924  ivthlem2  25425  ivthlem3  25426  ivthicc  25431  evthicc2  25433  ovolficc  25441  ovolicc1  25489  ovolicc2lem2  25491  ovolicc2lem5  25494  ovolicopnf  25497  dyadmaxlem  25570  opnmbllem  25574  volsup2  25578  volcn  25579  mbfi1fseqlem6  25694  itgspliticc  25810  itgsplitioo  25811  ditgcl  25831  ditgswap  25832  ditgsplitlem  25833  ditgsplit  25834  dvlip  25970  dvlip2  25972  dveq0  25977  dvgt0lem1  25979  dvivthlem1  25985  dvne0  25988  dvcnvrelem1  25994  dvcnvrelem2  25995  dvcnvre  25996  dvfsumlem2  26005  dvfsumlem2OLD  26006  ftc1lem1  26014  ftc1lem2  26015  ftc1a  26016  ftc1lem4  26018  ftc2  26023  ftc2ditglem  26024  itgsubstlem  26027  pserulm  26403  loglesqrt  26738  log2tlbnd  26922  ppisval  27081  chtleppi  27188  fsumvma2  27192  chpchtsum  27197  chpub  27198  rplogsumlem2  27463  chpdifbndlem1  27531  pntibndlem2a  27568  pntibndlem2  27569  pntlemj  27581  pntlem3  27587  pntleml  27589  resconn  34987  cvmliftlem10  35035  opnmbllem0  37260  ftc2nc  37306  areacirclem2  37313  areacirclem4  37315  areacirc  37317  isbnd3  37388  isbnd3b  37389  prdsbnd  37397  iccbnd  37444  intlewftc  41664  dvrelog2  41667  aks4d1p1p5  41678  eliccd  45027  eliccre  45028  iccshift  45041  iccsuble  45042  limcicciooub  45163  icccncfext  45413  itgsubsticc  45502  iblcncfioo  45504  itgiccshift  45506  itgperiod  45507  itgsbtaddcnst  45508  fourierdlem42  45675  fourierdlem54  45686  fourierdlem63  45695  fourierdlem65  45697  fourierdlem74  45706  fourierdlem75  45707  fourierdlem82  45714  fourierdlem93  45725  fourierdlem101  45733  fourierdlem104  45736  fourierdlem111  45743  reorelicc  47969
  Copyright terms: Public domain W3C validator