Theorem resum2sqorgt0 49743

Description: The sum of the square of two real numbers is greater than zero if at least one of the real numbers is nonzero. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
resum2sqcl.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))

Assertion

Ref	Expression
resum2sqorgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)

Proof of Theorem resum2sqorgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resum2sqcl.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
2	1	resum2sqgt0 49741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)
3	2	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ → 0 < 𝑄))
4	3	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
5	4	com23 87	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
6		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))
7	6	resum2sqgt0 49741	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
8	1	breq2i 5110	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝑄 ↔ 0 < ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
9		resqcl 14235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
10	9	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
12		resqcl 14235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
15	11, 14	addcomd 11483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
16	15	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))))
17	8, 16	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝑄 ↔ 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))))
18	7, 17	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)
19	18	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄))
20	19	expcom 419	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
21	5, 20	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
22	21	3imp31 1129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  ℝcr 11170  0cc0 11171   + caddc 11174   < clt 11314  2c2 12366  ↑cexp 14172

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-seq 14113  df-exp 14173

This theorem is used by:  itsclc0xyqsolr  49803  itsclinecirc0in  49809  inlinecirc02plem  49820