Theorem resum2sqorgt0 49626

Description: The sum of the square of two real numbers is greater than zero if at least one of the real numbers is nonzero. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
resum2sqcl.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))

Assertion

Ref	Expression
resum2sqorgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)

Proof of Theorem resum2sqorgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resum2sqcl.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
2	1	resum2sqgt0 49624	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)
3	2	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ → 0 < 𝑄))
4	3	expcom 419	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
5	4	com23 87	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
6		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))
7	6	resum2sqgt0 49624	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
8	1	breq2i 5115	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝑄 ↔ 0 < ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
9		resqcl 14190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
10	9	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
12		resqcl 14190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
15	11, 14	addcomd 11439	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
16	15	breq2d 5119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))))
17	8, 16	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝑄 ↔ 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))))
18	7, 17	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)
19	18	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄))
20	19	expcom 419	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
21	5, 20	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
22	21	3imp31 1129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  0cc0 11127   + caddc 11130   < clt 11270  2c2 12322  ↑cexp 14127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-seq 14068  df-exp 14128

This theorem is used by:  itsclc0xyqsolr  49686  itsclinecirc0in  49692  inlinecirc02plem  49703