Theorem resum2sqorgt0 49214

Description: The sum of the square of two real numbers is greater than zero if at least one of the real numbers is nonzero. (Contributed by AV, 26-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
resum2sqcl.q	⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))

Assertion

Ref	Expression
resum2sqorgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)

Proof of Theorem resum2sqorgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resum2sqcl.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = ((𝐴↑2) + (𝐵↑2))
2	1	resum2sqgt0 49212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)
3	2	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ → 0 < 𝑄))
4	3	expcom 415	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
5	4	com23 86	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
6		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))
7	6	resum2sqgt0 49212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
8	1	breq2i 5083	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 𝑄 ↔ 0 < ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)))
9		resqcl 14081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
10	9	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
12		resqcl 14081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
13	12	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
15	11, 14	addcomd 11343	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) + (𝐴↑2)))
16	15	breq2d 5087	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ↔ 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))))
17	8, 16	bitrid 285	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝑄 ↔ 0 < ((𝐵↑2) + (𝐴↑2))))
18	7, 17	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 𝑄)
19	18	ex 414	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄))
20	19	expcom 415	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
21	5, 20	jaoi 864	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝑄)))
22	21	3imp31 1118	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 854   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  0cc0 11033   + caddc 11036   < clt 11174  2c2 12231  ↑cexp 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-seq 13959  df-exp 14019

This theorem is referenced by:  itsclc0xyqsolr  49274  itsclinecirc0in  49280  inlinecirc02plem  49291