Theorem resopunitintvd 42009

Description: Restrict continuous function on open unit interval. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
resopunitintvd.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
resopunitintvd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝐴) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))

Proof of Theorem resopunitintvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioosscn 13311	. . 3 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
2		resmpt 5988	. . 3 ⊢ ((0(,)1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝐴)
4		resopunitintvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5		rescncf 24788	. . . 4 ⊢ ((0(,)1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)))
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
8	3, 7	eqeltrrid 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝐴) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5173   ↾ cres 5621  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009  1c1 11010  (,)cioo 13248  –cn→ccncf 24767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-ioo 13252  df-cncf 24769

This theorem is referenced by:  lcmineqlem10  42021  lcmineqlem12  42023