Theorem resopunitintvd 41566

Description: Restrict continuous function on open unit interval. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
resopunitintvd.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
resopunitintvd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝐴) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))

Proof of Theorem resopunitintvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioosscn 13418	. . 3 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℂ
2		resmpt 6041	. . 3 ⊢ ((0(,)1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝐴)
4		resopunitintvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5		rescncf 24847	. . . 4 ⊢ ((0(,)1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)))
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
8	3, 7	eqeltrrid 2830	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝐴) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3945   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5679  (class class class)co 7417  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139  (,)cioo 13356  –cn→ccncf 24826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-ioo 13360  df-cncf 24828

This theorem is referenced by:  lcmineqlem10  41578  lcmineqlem12  41580