Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resopunitintvd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resopunitintvd 40512
Description: Restrict continuous function on open unit interval. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
resopunitintvd.1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
resopunitintvd (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝐴) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))

Proof of Theorem resopunitintvd
StepHypRef Expression
1 ioosscn 13333 . . 3 (0(,)1) ⊆ ℂ
2 resmpt 5996 . . 3 ((0(,)1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝐴))
31, 2ax-mp 5 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝐴)
4 resopunitintvd.1 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5 rescncf 24276 . . . 4 ((0(,)1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)))
61, 5ax-mp 5 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
74, 6syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0(,)1)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
83, 7eqeltrrid 2843 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝐴) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3915  cmpt 5193  cres 5640  (class class class)co 7362  cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059  (,)cioo 13271  cnccncf 24255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-ioo 13275  df-cncf 24257
This theorem is referenced by:  lcmineqlem10  40524  lcmineqlem12  40526
  Copyright terms: Public domain W3C validator