Theorem resmpt 6038

Description: Restriction of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resmpt	⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem resmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resopab2 6037	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶)} ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐶)})
2		df-mpt 5233	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶)}
3	2	reseq1i 5978	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶)} ↾ 𝐵)
4		df-mpt 5233	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐶)}
5	1, 3, 4	3eqtr4g 2798	1 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  {copab 5211   ↦ cmpt 5232   ↾ cres 5679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-xp 5683  df-rel 5684  df-res 5689

This theorem is referenced by:  resmpt3  6039  resmptf  6040  resmptd  6041  mptss  6043  fvresex  7946  f1stres  7999  f2ndres  8000  tposss  8212  dftpos2  8228  dftpos4  8230  resixpfo  8930  rlimresb  15509  lo1eq  15512  rlimeq  15513  fsumss  15671  isumclim3  15705  divcnvshft  15801  fprodss  15892  iprodclim3  15944  fprodefsum  16038  bitsf1ocnv  16385  conjsubg  19124  odf1o2  19441  sylow1lem2  19467  sylow2blem1  19488  gsumzres  19777  gsumzsplit  19795  gsumpr  19823  gsumzunsnd  19824  gsum2dlem2  19839  gsummptnn0fz  19854  dprd2da  19912  dpjidcl  19928  ablfac1b  19940  frlmsplit2  21328  psrass1lemOLD  21493  psrass1lem  21496  coe1mul2lem2  21790  ofco2  21953  mdetralt  22110  mdetunilem9  22122  tgrest  22663  cmpfi  22912  fmss  23450  txflf  23510  tmdgsum  23599  tgpconncomp  23617  tsmssplit  23656  iscmet3lem3  24807  mbfss  25163  mbfadd  25178  mbfsub  25179  mbflimsup  25183  mbfmul  25244  itg2cnlem1  25279  ellimc2  25394  dvreslem  25426  dvres2lem  25427  dvidlem  25432  dvmptresicc  25433  dvcnp2  25437  dvmulbr  25456  dvcobr  25463  dvrec  25472  dvmptntr  25488  dvcnvlem  25493  lhop1lem  25530  lhop2  25532  itgparts  25564  itgsubstlem  25565  itgpowd  25567  tdeglem4OLD  25578  plypf1  25726  taylthlem2  25886  pserdvlem2  25940  abelth  25953  pige3ALT  26029  efifo  26056  eff1olem  26057  dvlog2  26161  resqrtcn  26257  sqrtcn  26258  dvatan  26440  rlimcnp2  26471  xrlimcnp  26473  efrlim  26474  cxp2lim  26481  chpo1ub  26983  dchrisum0lem2a  27020  pnt2  27116  pnt  27117  wlknwwlksnbij  29173  elimampt  31893  ressnm  32159  gsummpt2d  32232  rmulccn  32939  xrge0mulc1cn  32952  gsumesum  33088  esumsnf  33093  esumcvg  33115  omsmon  33328  carsggect  33348  eulerpartlem1  33397  eulerpartgbij  33402  gsumnunsn  33583  cxpcncf1  33638  itgexpif  33649  reprpmtf1o  33669  elmsubrn  34550  divcnvlin  34733  gg-dvcnp2  35205  gg-dvmulbr  35206  gg-dvcobr  35207  gg-rmulccn  35210  mptsnunlem  36267  dissneqlem  36269  broucube  36570  mbfposadd  36583  itggt0cn  36606  ftc1anclem3  36611  ftc1anclem8  36616  dvasin  36620  dvacos  36621  areacirc  36629  sdclem2  36658  cncfres  36681  resopunitintvd  40939  resclunitintvd  40940  lcmineqlem2  40943  evlsbagval  41186  pwssplit4  41879  pwfi2f1o  41886  hbtlem6  41919  areaquad  42013  hashnzfzclim  43129  lhe4.4ex1a  43136  resmpti  43922  climresmpt  44423  dvcosre  44676  itgsinexplem1  44718  itgcoscmulx  44733  dirkeritg  44866  dirkercncflem2  44868  fourierdlem16  44887  fourierdlem21  44892  fourierdlem22  44893  fourierdlem57  44927  fourierdlem58  44928  fourierdlem62  44932  fourierdlem83  44953  fourierdlem111  44981  fouriersw  44995  0ome  45293