Theorem resmpt 6038

Description: Restriction of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resmpt	⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem resmpt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resopab2 6037	. 2 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶)} ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐶)})
2		df-mpt 5233	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶)}
3	2	reseq1i 5978	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶)} ↾ 𝐵)
4		df-mpt 5233	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝐶)}
5	1, 3, 4	3eqtr4g 2798	1 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  {copab 5211   ↦ cmpt 5232   ↾ cres 5679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-xp 5683  df-rel 5684  df-res 5689

This theorem is referenced by:  resmpt3  6039  resmptf  6040  resmptd  6041  mptss  6043  fvresex  7946  f1stres  7999  f2ndres  8000  tposss  8212  dftpos2  8228  dftpos4  8230  resixpfo  8930  rlimresb  15509  lo1eq  15512  rlimeq  15513  fsumss  15671  isumclim3  15705  divcnvshft  15801  fprodss  15892  iprodclim3  15944  fprodefsum  16038  bitsf1ocnv  16385  conjsubg  19124  odf1o2  19441  sylow1lem2  19467  sylow2blem1  19488  gsumzres  19777  gsumzsplit  19795  gsumpr  19823  gsumzunsnd  19824  gsum2dlem2  19839  gsummptnn0fz  19854  dprd2da  19912  dpjidcl  19928  ablfac1b  19940  frlmsplit2  21328  psrass1lemOLD  21493  psrass1lem  21496  coe1mul2lem2  21790  ofco2  21953  mdetralt  22110  mdetunilem9  22122  tgrest  22663  cmpfi  22912  fmss  23450  txflf  23510  tmdgsum  23599  tgpconncomp  23617  tsmssplit  23656  iscmet3lem3  24807  mbfss  25163  mbfadd  25178  mbfsub  25179  mbflimsup  25183  mbfmul  25244  itg2cnlem1  25279  ellimc2  25394  dvreslem  25426  dvres2lem  25427  dvidlem  25432  dvmptresicc  25433  dvcnp2  25437  dvmulbr  25456  dvcobr  25463  dvrec  25472  dvmptntr  25488  dvcnvlem  25493  lhop1lem  25530  lhop2  25532  itgparts  25564  itgsubstlem  25565  itgpowd  25567  tdeglem4OLD  25578  plypf1  25726  taylthlem2  25886  pserdvlem2  25940  abelth  25953  pige3ALT  26029  efifo  26056  eff1olem  26057  dvlog2  26161  resqrtcn  26257  sqrtcn  26258  dvatan  26440  rlimcnp2  26471  xrlimcnp  26473  efrlim  26474  cxp2lim  26481  chpo1ub  26983  dchrisum0lem2a  27020  pnt2  27116  pnt  27117  wlknwwlksnbij  29142  elimampt  31862  ressnm  32128  gsummpt2d  32201  rmulccn  32908  xrge0mulc1cn  32921  gsumesum  33057  esumsnf  33062  esumcvg  33084  omsmon  33297  carsggect  33317  eulerpartlem1  33366  eulerpartgbij  33371  gsumnunsn  33552  cxpcncf1  33607  itgexpif  33618  reprpmtf1o  33638  elmsubrn  34519  divcnvlin  34702  gg-dvcnp2  35174  gg-dvmulbr  35175  gg-dvcobr  35176  gg-rmulccn  35179  mptsnunlem  36219  dissneqlem  36221  broucube  36522  mbfposadd  36535  itggt0cn  36558  ftc1anclem3  36563  ftc1anclem8  36568  dvasin  36572  dvacos  36573  areacirc  36581  sdclem2  36610  cncfres  36633  resopunitintvd  40891  resclunitintvd  40892  lcmineqlem2  40895  evlsbagval  41138  pwssplit4  41831  pwfi2f1o  41838  hbtlem6  41871  areaquad  41965  hashnzfzclim  43081  lhe4.4ex1a  43088  resmpti  43874  climresmpt  44375  dvcosre  44628  itgsinexplem1  44670  itgcoscmulx  44685  dirkeritg  44818  dirkercncflem2  44820  fourierdlem16  44839  fourierdlem21  44844  fourierdlem22  44845  fourierdlem57  44879  fourierdlem58  44880  fourierdlem62  44884  fourierdlem83  44905  fourierdlem111  44933  fouriersw  44947  0ome  45245