Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem12 40497
Description: Base case for induction. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
lcmineqlem12.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem12 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑁   𝜑,𝑡

Proof of Theorem lcmineqlem12
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunitcn 13385 . . . 4 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
2 1m1e0 12225 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
32oveq2i 7368 . . . . . . 7 (𝑡↑(1 − 1)) = (𝑡↑0)
4 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
54exp0d 14045 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑0) = 1)
63, 5eqtrid 2788 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(1 − 1)) = 1)
76oveq1d 7372 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))))
8 1cnd 11150 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
98, 4subcld 11512 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
10 lcmineqlem12.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
11 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
149, 13expcld 14051 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
1514mulid2d 11173 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (1 · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
167, 15eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
171, 16sylan2 593 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
1817itgeq2dv 25146 . 2 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
19 0red 11158 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
20 1red 11156 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
211, 14sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
2219, 20, 21itgioo 25180 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
23 eqidd 2737 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
24 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑡))
2524oveq1d 7372 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
2625adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
2726adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
28 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
29 1cnd 11150 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
30 elioore 13294 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ)
31 recn 11141 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
3228, 30, 313syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
3329, 32subcld 11512 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
3412adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
3533, 34expcld 14051 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
3623, 27, 28, 35fvmptd 6955 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
3736itgeq2dv 25146 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
38 cnelprrecn 11144 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
40 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
41 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4240, 41subcld 11512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
43 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4410, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4642, 45expcld 14051 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
4745nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
4812adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
4942, 48expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
5047, 49mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
5140negcld 11499 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) ∈ ℂ)
53 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5444adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5553, 54expcld 14051 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑁) ∈ ℂ)
5654nn0cnd 12475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5712adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
5853, 57expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
5956, 58mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
60 0cnd 11148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
61 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6239, 61dvmptc 25322 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
6339dvmptid 25321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
6439, 40, 60, 62, 41, 40, 63dvmptsub 25331 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − 1)))
65 df-neg 11388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 = (0 − 1)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -1 = (0 − 1))
6766mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − 1)))
6864, 67eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1))
69 dvexp 25317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
7010, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
71 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦𝑁) = ((1 − 𝑥)↑𝑁))
72 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
7372oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
7439, 39, 42, 51, 55, 59, 68, 70, 71, 73dvmptco 25336 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)))
7561negcld 11499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
7610nncnd 12169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7710nnne0d 12203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
7875, 76, 77divcld 11931 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
7939, 46, 52, 74, 78dvmptcmul 25328 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))))
8078adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
8180, 50, 51mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)))
8281eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1))
8380, 47, 49mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
8483oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1))
8584eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
8682, 85eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
8777adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ≠ 0)
8851, 47, 87divcan1d 11932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · 𝑁) = -1)
8988oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
9089oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
9186, 90eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
9251, 51, 49mul32d 11365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
9392eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
9491, 93eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
9540, 40mul2negd 11610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) = (1 · 1))
96 1t1e1 12315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 1) = 1
9795, 96eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) = 1)
9897oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
9949mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
10098, 99eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
10194, 100eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
102101mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
10379, 102eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
10480, 46mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ℂ)
105103, 104, 49resdvopclptsd 40485 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
106105fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡))
107106ralrimivw 3147 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡))
108 itgeq2 25142 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡)
109107, 108syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡)
110 0le1 11678 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
111110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 1)
112 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝜑
113 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
114 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ⊆ ℂ
115 cncfmptc 24275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116113, 114, 114, 115mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
118 cncfmptid 24276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
119114, 114, 118mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
121117, 120subcncf 24809 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
122 expcncf 24289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
12312, 122syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
124 ssidd 3967 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
125112, 121, 123, 124, 72cncfcompt2 24271 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
126125resopunitintvd 40483 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
127105eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)))
128126, 127mpbird 256 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
129 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
130129a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ (0[,]1))
131 ioombl 24929 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)1) ∈ dom vol
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom vol)
133 elunitcn 13385 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
134133, 49sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
135114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
136112, 121, 123, 135, 72cncfcompt2 24271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
137136resclunitintvd 40484 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
13819, 20, 1373jca 1128 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
139 cnicciblnc 25207 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿1)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿1)
141130, 132, 134, 140iblss 25169 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿1)
142105, 141eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ 𝐿1)
143 cncfmptc 24275 . . . . . . . . . . . . 13 (((-1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
144114, 114, 143mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 / 𝑁) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
14578, 144syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
146145resclunitintvd 40484 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
147 expcncf 24289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
14844, 147syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
149112, 121, 148, 124, 71cncfcompt2 24271 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
150149resclunitintvd 40484 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
151146, 150mulcncf 24810 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
15219, 20, 111, 128, 142, 151ftc2 25408 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0)))
153 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))
154 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
155154oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
156155, 2eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = 0)
157156oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
158 0exp 14003 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
15910, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
160159adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 1) → (0↑𝑁) = 0)
161157, 160eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 0)
162161oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 0))
16378mul01d 11354 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0)
164163adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0)
165162, 164eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = 0)
166 1elunit 13387 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (0[,]1)
167166a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
168 0cnd 11148 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
169153, 165, 167, 168fvmptd 6955 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) = 0)
170 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
171170oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
172 1m0e1 12274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 − 0) = 1
173171, 172eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = 1)
174173oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (1↑𝑁))
17544nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
176 1exp 13997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
177175, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
178177adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 0) → (1↑𝑁) = 1)
179174, 178eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 1)
180179oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 1))
18178adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 0) → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
182181mulid1d 11172 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · 1) = (-1 / 𝑁))
183180, 182eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = (-1 / 𝑁))
184 0elunit 13386 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,]1)
185184a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
186153, 183, 185, 78fvmptd 6955 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0) = (-1 / 𝑁))
187169, 186oveq12d 7375 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0)) = (0 − (-1 / 𝑁)))
188152, 187eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (0 − (-1 / 𝑁)))
189 df-neg 11388 . . . . . . . . . 10 --(1 / 𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁))
190189a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁)))
19161, 76, 77divnegd 11944 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(1 / 𝑁) = (-1 / 𝑁))
192191oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − -(1 / 𝑁)) = (0 − (-1 / 𝑁)))
193190, 192eqtr2d 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = --(1 / 𝑁))
19476, 77reccld 11924 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
195194negnegd 11503 . . . . . . . 8 (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (1 / 𝑁))
196193, 195eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = (1 / 𝑁))
197188, 196eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁))
198109, 197eqtr3d 2778 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁))
19937, 198eqtr3d 2778 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁))
20022, 199eqtr3d 2778 . . 3 (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁))
201 bcn1 14213 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)
20244, 201syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁C1) = 𝑁)
203202oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = (1 · 𝑁))
20476mulid2d 11173 . . . . 5 (𝜑 → (1 · 𝑁) = 𝑁)
205203, 204eqtrd 2776 . . . 4 (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = 𝑁)
206205oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → (1 / (1 · (𝑁C1))) = (1 / 𝑁))
207200, 206eqtr4d 2779 . 2 (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
20818, 207eqtrd 2776 1 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wss 3910  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  cexp 13967  Ccbc 14202  cnccncf 24239  volcvol 24827  𝐿1cibl 24981  citg 24982   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  40498
  Copyright terms: Public domain W3C validator