Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elunitcn 12885 |
. . . 4
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈
ℂ) |
2 | | 1m1e0 11731 |
. . . . . . . 8
⊢ (1
− 1) = 0 |
3 | 2 | oveq2i 7154 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑡↑(1 − 1)) = (𝑡↑0) |
4 | | simpr 489 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ) |
5 | 4 | exp0d 13539 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑0) = 1) |
6 | 3, 5 | syl5eq 2806 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(1 − 1)) = 1) |
7 | 6 | oveq1d 7158 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 −
𝑡)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 −
𝑡)↑(𝑁 − 1)))) |
8 | | 1cnd 10659 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 1 ∈
ℂ) |
9 | 8, 4 | subcld 11020 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈
ℂ) |
10 | | lcmineqlem12.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
11 | | nnm1nn0 11960 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
12 | 10, 11 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
13 | 12 | adantr 485 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
14 | 9, 13 | expcld 13545 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
15 | 14 | mulid2d 10682 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · ((1
− 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 −
𝑡)↑(𝑁 − 1))) |
16 | 7, 15 | eqtrd 2794 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 −
𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) |
17 | 1, 16 | sylan2 596 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 −
𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) |
18 | 17 | itgeq2dv 24466 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) ·
((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡) |
19 | | 0red 10667 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
20 | | 1red 10665 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
21 | 1, 14 | sylan2 596 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
22 | 19, 20, 21 | itgioo 24500 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 −
𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡) |
23 | | eqidd 2760 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) |
24 | | oveq2 7151 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑡 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑡)) |
25 | 24 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑡 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) |
26 | 25 | adantl 486 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) |
27 | 26 | adantlr 715 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) |
28 | | simpr 489 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1)) |
29 | | 1cnd 10659 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈
ℂ) |
30 | | elioore 12794 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈
ℝ) |
31 | | recn 10650 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈
ℂ) |
32 | 28, 30, 31 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ) |
33 | 29, 32 | subcld 11020 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈
ℂ) |
34 | 12 | adantr 485 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
35 | 33, 34 | expcld 13545 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
36 | 23, 27, 28, 35 | fvmptd 6759 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) |
37 | 36 | itgeq2dv 24466 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1
− 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡) |
38 | | cnelprrecn 10653 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ℂ
∈ {ℝ, ℂ} |
39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ,
ℂ}) |
40 | | 1cnd 10659 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈
ℂ) |
41 | | simpr 489 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ) |
42 | 40, 41 | subcld 11020 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈
ℂ) |
43 | | nnnn0 11926 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℕ0) |
44 | 10, 43 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℕ0) |
45 | 44 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈
ℕ0) |
46 | 42, 45 | expcld 13545 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ) |
47 | 45 | nn0cnd 11981 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ) |
48 | 12 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
49 | 42, 48 | expcld 13545 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
50 | 47, 49 | mulcld 10684 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈
ℂ) |
51 | 40 | negcld 11007 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -1 ∈
ℂ) |
52 | 50, 51 | mulcld 10684 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) ∈
ℂ) |
53 | | simpr 489 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ) |
54 | 44 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈
ℕ0) |
55 | 53, 54 | expcld 13545 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑁) ∈ ℂ) |
56 | 54 | nn0cnd 11981 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ) |
57 | 12 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈
ℕ0) |
58 | 53, 57 | expcld 13545 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
59 | 56, 58 | mulcld 10684 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈
ℂ) |
60 | | 0cnd 10657 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈
ℂ) |
61 | | 1cnd 10659 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
62 | 39, 61 | dvmptc 24642 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) =
(𝑥 ∈ ℂ ↦
0)) |
63 | 39 | dvmptid 24641 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) |
64 | 39, 40, 60, 62, 41, 40, 63 | dvmptsub 24651 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1
− 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0
− 1))) |
65 | | df-neg 10896 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ -1 = (0
− 1) |
66 | 65 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → -1 = (0 −
1)) |
67 | 66 | mpteq2dv 5121 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0
− 1))) |
68 | 64, 67 | eqtr4d 2797 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1
− 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦
-1)) |
69 | | dvexp 24637 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ
D (𝑦 ∈ ℂ ↦
(𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))))) |
70 | 10, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))))) |
71 | | oveq1 7150 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑𝑁) = ((1 − 𝑥)↑𝑁)) |
72 | | oveq1 7150 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) |
73 | 72 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) |
74 | 39, 39, 42, 51, 55, 59, 68, 70, 71, 73 | dvmptco 24656 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1
− 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ·
-1))) |
75 | 61 | negcld 11007 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → -1 ∈
ℂ) |
76 | 10 | nncnd 11675 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
77 | 10 | nnne0d 11709 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0) |
78 | 75, 76, 77 | divcld 11439 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ) |
79 | 39, 46, 52, 74, 78 | dvmptcmul 24648 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 /
𝑁) · ((1 −
𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ·
-1)))) |
80 | 78 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 / 𝑁) ∈
ℂ) |
81 | 80, 50, 51 | mulassd 10687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ·
-1))) |
82 | 81 | eqcomd 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ·
-1)) |
83 | 80, 47, 49 | mulassd 10687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))) |
84 | 83 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) ·
-1)) |
85 | 84 | eqcomd 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) |
86 | 82, 85 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) |
87 | 77 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ≠ 0) |
88 | 51, 47, 87 | divcan1d 11440 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · 𝑁) = -1) |
89 | 88 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (-1 · ((1 −
𝑥)↑(𝑁 − 1)))) |
90 | 89 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = ((-1 ·
((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ·
-1)) |
91 | 86, 90 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 ·
((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ·
-1)) |
92 | 51, 51, 49 | mul32d 10873 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1)
· ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 · ((1 −
𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) |
93 | 92 | eqcomd 2765 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · ((1
− 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) =
((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) |
94 | 91, 93 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 ·
-1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) |
95 | 40, 40 | mul2negd 11118 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) = (1
· 1)) |
96 | | 1t1e1 11821 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (1
· 1) = 1 |
97 | 95, 96 | eqtrdi 2810 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) =
1) |
98 | 97 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1)
· ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 −
𝑥)↑(𝑁 − 1)))) |
99 | 49 | mulid2d 10682 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · ((1
− 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 −
𝑥)↑(𝑁 − 1))) |
100 | 98, 99 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1)
· ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) |
101 | 94, 100 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((1 −
𝑥)↑(𝑁 − 1))) |
102 | 101 | mpteq2dva 5120 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1
− 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) |
103 | 79, 102 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 /
𝑁) · ((1 −
𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) |
104 | 80, 46 | mulcld 10684 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ℂ) |
105 | 103, 104,
49 | resdvopclptsd 39580 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 /
𝑁) · ((1 −
𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) |
106 | 105 | fveq1d 6653 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 /
𝑁) · ((1 −
𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡)) |
107 | 106 | ralrimivw 3112 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 /
𝑁) · ((1 −
𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡)) |
108 | | itgeq2 24462 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑡 ∈
(0(,)1)((ℝ D (𝑥
∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 /
𝑁) · ((1 −
𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡) |
109 | 107, 108 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D
(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦
((-1 / 𝑁) · ((1
− 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡) |
110 | | 0le1 11186 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 0 ≤
1 |
111 | 110 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1) |
112 | | nfv 1916 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑥𝜑 |
113 | | ax-1cn 10618 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 1 ∈
ℂ |
114 | | ssid 3910 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ℂ
⊆ ℂ |
115 | | cncfmptc 23598 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
→ (𝑥 ∈ ℂ
↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
116 | 113, 114,
114, 115 | mp3an 1459 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
∈ (ℂ–cn→ℂ) |
117 | 116 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈
(ℂ–cn→ℂ)) |
118 | | cncfmptid 23599 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℂ
⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
119 | 114, 114,
118 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ) |
120 | 119 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
121 | 117, 120 | subcncf 24130 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
122 | | expcncf 23612 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑁 − 1) ∈
ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
123 | 12, 122 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
124 | | ssidd 3911 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ℂ ⊆
ℂ) |
125 | 112, 121,
123, 124, 72 | cncfcompt2 23594 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
126 | 125 | resopunitintvd 39578 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)) |
127 | 105 | eleq1d 2835 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 /
𝑁) · ((1 −
𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))) |
128 | 126, 127 | mpbird 260 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 /
𝑁) · ((1 −
𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)) |
129 | | ioossicc 12850 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (0(,)1)
⊆ (0[,]1) |
130 | 129 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆
(0[,]1)) |
131 | | ioombl 24250 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (0(,)1)
∈ dom vol |
132 | 131 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom
vol) |
133 | | elunitcn 12885 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈
ℂ) |
134 | 133, 49 | sylan2 596 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈
ℂ) |
135 | 114 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ℂ ⊆
ℂ) |
136 | 112, 121,
123, 135, 72 | cncfcompt2 23594 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
137 | 136 | resclunitintvd 39579 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
138 | 19, 20, 137 | 3jca 1126 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 1
∈ ℝ ∧ (𝑥
∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))) |
139 | | cnicciblnc 24527 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈
𝐿1) |
140 | 138, 139 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈
𝐿1) |
141 | 130, 132,
134, 140 | iblss 24489 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈
𝐿1) |
142 | 105, 141 | eqeltrd 2851 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 /
𝑁) · ((1 −
𝑥)↑𝑁)))) ∈
𝐿1) |
143 | | cncfmptc 23598 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((-1 /
𝑁) ∈ ℂ ∧
ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 /
𝑁)) ∈
(ℂ–cn→ℂ)) |
144 | 114, 114,
143 | mp3an23 1451 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((-1 /
𝑁) ∈ ℂ →
(𝑥 ∈ ℂ ↦
(-1 / 𝑁)) ∈
(ℂ–cn→ℂ)) |
145 | 78, 144 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
146 | 145 | resclunitintvd 39579 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
147 | | expcncf 23612 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑦 ∈ ℂ
↦ (𝑦↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
148 | 44, 147 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
149 | 112, 121,
148, 124, 71 | cncfcompt2 23594 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
150 | 149 | resclunitintvd 39579 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
151 | 146, 150 | mulcncf 24131 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
152 | 19, 20, 111, 128, 142, 151 | ftc2 24728 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D
(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦
((-1 / 𝑁) · ((1
− 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0))) |
153 | | eqidd 2760 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) |
154 | | simpr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1) |
155 | 154 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = (1 − 1)) |
156 | 155, 2 | eqtrdi 2810 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = 0) |
157 | 156 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁)) |
158 | | 0exp 13499 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
(0↑𝑁) =
0) |
159 | 10, 158 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0) |
160 | 159 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (0↑𝑁) = 0) |
161 | 157, 160 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 0) |
162 | 161 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 0)) |
163 | 78 | mul01d 10862 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0) |
164 | 163 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0) |
165 | 162, 164 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = 0) |
166 | | 1elunit 12887 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
(0[,]1) |
167 | 166 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ∈
(0[,]1)) |
168 | | 0cnd 10657 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℂ) |
169 | 153, 165,
167, 168 | fvmptd 6759 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) = 0) |
170 | | simpr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0) |
171 | 170 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = (1 − 0)) |
172 | | 1m0e1 11780 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (1
− 0) = 1 |
173 | 171, 172 | eqtrdi 2810 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = 1) |
174 | 173 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (1↑𝑁)) |
175 | 44 | nn0zd 12109 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
176 | | 1exp 13493 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ∈ ℤ →
(1↑𝑁) =
1) |
177 | 175, 176 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1) |
178 | 177 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1↑𝑁) = 1) |
179 | 174, 178 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 1) |
180 | 179 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 1)) |
181 | 78 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ) |
182 | 181 | mulid1d 10681 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · 1) = (-1 / 𝑁)) |
183 | 180, 182 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = (-1 / 𝑁)) |
184 | | 0elunit 12886 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 ∈
(0[,]1) |
185 | 184 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 ∈
(0[,]1)) |
186 | 153, 183,
185, 78 | fvmptd 6759 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0) = (-1 / 𝑁)) |
187 | 169, 186 | oveq12d 7161 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0)) = (0 − (-1 / 𝑁))) |
188 | 152, 187 | eqtrd 2794 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D
(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦
((-1 / 𝑁) · ((1
− 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (0 − (-1 / 𝑁))) |
189 | | df-neg 10896 |
. . . . . . . . . 10
⊢ --(1 /
𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁)) |
190 | 189 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁))) |
191 | 61, 76, 77 | divnegd 11452 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → -(1 / 𝑁) = (-1 / 𝑁)) |
192 | 191 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (0 − -(1 / 𝑁)) = (0 − (-1 / 𝑁))) |
193 | 190, 192 | eqtr2d 2795 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = --(1 / 𝑁)) |
194 | 76, 77 | reccld 11432 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ) |
195 | 194 | negnegd 11011 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (1 / 𝑁)) |
196 | 193, 195 | eqtrd 2794 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = (1 / 𝑁)) |
197 | 188, 196 | eqtrd 2794 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D
(𝑥 ∈ (0[,]1) ↦
((-1 / 𝑁) · ((1
− 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁)) |
198 | 109, 197 | eqtr3d 2796 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1
− 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁)) |
199 | 37, 198 | eqtr3d 2796 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 −
𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁)) |
200 | 22, 199 | eqtr3d 2796 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 −
𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁)) |
201 | | bcn1 13708 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁C1) = 𝑁) |
202 | 44, 201 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑁C1) = 𝑁) |
203 | 202 | oveq2d 7159 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = (1 · 𝑁)) |
204 | 76 | mulid2d 10682 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (1 · 𝑁) = 𝑁) |
205 | 203, 204 | eqtrd 2794 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = 𝑁) |
206 | 205 | oveq2d 7159 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (1 / (1 · (𝑁C1))) = (1 / 𝑁)) |
207 | 200, 206 | eqtr4d 2797 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 −
𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1)))) |
208 | 18, 207 | eqtrd 2794 |
1
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) ·
((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1)))) |