lcmineqlem12 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem12 40893

Description: Base case for induction. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lcmineqlem12.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem12	⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))

Distinct variable groups: 𝑡,𝑁 𝜑,𝑡

Proof of Theorem lcmineqlem12 Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunitcn 13441	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
2		1m1e0 12280	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
3	2	oveq2i 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡↑(1 − 1)) = (𝑡↑0)
4		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
5	4	exp0d 14101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑0) = 1)
6	3, 5	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(1 − 1)) = 1)
7	6	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))))
8		1cnd 11205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
9	8, 4	subcld 11567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
10		lcmineqlem12.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnm1nn0 12509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
14	9, 13	expcld 14107	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
15	14	mullidd 11228	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
16	7, 15	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
17	1, 16	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
18	17	itgeq2dv 25290	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
19		0red 11213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
20		1red 11211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21	1, 14	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
22	19, 20, 21	itgioo 25324	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
23		eqidd 2733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
24		oveq2 7413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑡))
25	24	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
26	25	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
27	26	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
28		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
29		1cnd 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
30		elioore 13350	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ)
31		recn 11196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
32	28, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
33	29, 32	subcld 11567	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
34	12	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
35	33, 34	expcld 14107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
36	23, 27, 28, 35	fvmptd 7002	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
37	36	itgeq2dv 25290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
38		cnelprrecn 11199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
40		1cnd 11205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
41		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
42	40, 41	subcld 11567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
43		nnnn0 12475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
44	10, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
46	42, 45	expcld 14107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
47	45	nn0cnd 12530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
48	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
49	42, 48	expcld 14107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
51	40	negcld 11554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
52	50, 51	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) ∈ ℂ)
53		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
54	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
55	53, 54	expcld 14107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑁) ∈ ℂ)
56	54	nn0cnd 12530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
57	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
58	53, 57	expcld 14107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
59	56, 58	mulcld 11230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
60		0cnd 11203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
61		1cnd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
62	39, 61	dvmptc 25466	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
63	39	dvmptid 25465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
64	39, 40, 60, 62, 41, 40, 63	dvmptsub 25475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − 1)))
65		df-neg 11443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 = (0 − 1)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -1 = (0 − 1))
67	66	mpteq2dv 5249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − 1)))
68	64, 67	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1))
69		dvexp 25461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
70	10, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
71		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑𝑁) = ((1 − 𝑥)↑𝑁))
72		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
73	72	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
74	39, 39, 42, 51, 55, 59, 68, 70, 71, 73	dvmptco 25480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)))
75	61	negcld 11554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
76	10	nncnd 12224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
77	10	nnne0d 12258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
78	75, 76, 77	divcld 11986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
79	39, 46, 52, 74, 78	dvmptcmul 25472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))))
80	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
81	80, 50, 51	mulassd 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)))
82	81	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1))
83	80, 47, 49	mulassd 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
84	83	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1))
85	84	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
86	82, 85	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
87	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ≠ 0)
88	51, 47, 87	divcan1d 11987	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · 𝑁) = -1)
89	88	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
90	89	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
91	86, 90	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
92	51, 51, 49	mul32d 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
93	92	eqcomd 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
94	91, 93	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
95	40, 40	mul2negd 11665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) = (1 · 1))
96		1t1e1 12370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 1) = 1
97	95, 96	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) = 1)
98	97	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
99	49	mullidd 11228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
100	98, 99	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
101	94, 100	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
102	101	mpteq2dva 5247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
103	79, 102	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
104	80, 46	mulcld 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ℂ)
105	103, 104, 49	resdvopclptsd 40881	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
106	105	fveq1d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡))
107	106	ralrimivw 3150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡))
108		itgeq2 25286	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡)
109	107, 108	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡)
110		0le1 11733	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
111	110	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
112		nfv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
113		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
114		ssid 4003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
115		cncfmptc 24419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116	113, 114, 114, 115	mp3an 1461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
118		cncfmptid 24420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
119	114, 114, 118	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
121	117, 120	subcncf 24953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
122		expcncf 24433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
123	12, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
124		ssidd 4004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
125	112, 121, 123, 124, 72	cncfcompt2 24415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
126	125	resopunitintvd 40879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
127	105	eleq1d 2818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)))
128	126, 127	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
129		ioossicc 13406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ (0[,]1))
131		ioombl 25073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)1) ∈ dom vol
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom vol)
133		elunitcn 13441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
134	133, 49	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
135	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
136	112, 121, 123, 135, 72	cncfcompt2 24415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
137	136	resclunitintvd 40880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
138	19, 20, 137	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
139		cnicciblnc 25351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿¹)
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿¹)
141	130, 132, 134, 140	iblss 25313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿¹)
142	105, 141	eqeltrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ 𝐿¹)
143		cncfmptc 24419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
144	114, 114, 143	mp3an23 1453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 / 𝑁) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
145	78, 144	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
146	145	resclunitintvd 40880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
147		expcncf 24433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
148	44, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
149	112, 121, 148, 124, 71	cncfcompt2 24415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
150	149	resclunitintvd 40880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
151	146, 150	mulcncf 24954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
152	19, 20, 111, 128, 142, 151	ftc2 25552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0)))
153		eqidd 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))
154		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
155	154	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
156	155, 2	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = 0)
157	156	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
158		0exp 14059	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
159	10, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (0↑𝑁) = 0)
161	157, 160	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 0)
162	161	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 0))
163	78	mul01d 11409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0)
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0)
165	162, 164	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = 0)
166		1elunit 13443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
168		0cnd 11203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
169	153, 165, 167, 168	fvmptd 7002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) = 0)
170		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
171	170	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
172		1m0e1 12329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 − 0) = 1
173	171, 172	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = 1)
174	173	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (1↑𝑁))
175	44	nn0zd 12580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
176		1exp 14053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
178	177	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1↑𝑁) = 1)
179	174, 178	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 1)
180	179	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 1))
181	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
182	181	mulridd 11227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · 1) = (-1 / 𝑁))
183	180, 182	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = (-1 / 𝑁))
184		0elunit 13442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
186	153, 183, 185, 78	fvmptd 7002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0) = (-1 / 𝑁))
187	169, 186	oveq12d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0)) = (0 − (-1 / 𝑁)))
188	152, 187	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (0 − (-1 / 𝑁)))
189		df-neg 11443	. . . . . . . . . 10 ⊢ --(1 / 𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁))
190	189	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁)))
191	61, 76, 77	divnegd 11999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(1 / 𝑁) = (-1 / 𝑁))
192	191	oveq2d 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 − -(1 / 𝑁)) = (0 − (-1 / 𝑁)))
193	190, 192	eqtr2d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = --(1 / 𝑁))
194	76, 77	reccld 11979	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
195	194	negnegd 11558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (1 / 𝑁))
196	193, 195	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = (1 / 𝑁))
197	188, 196	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁))
198	109, 197	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁))
199	37, 198	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁))
200	22, 199	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁))
201		bcn1 14269	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁C1) = 𝑁)
202	44, 201	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁C1) = 𝑁)
203	202	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = (1 · 𝑁))
204	76	mullidd 11228	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑁) = 𝑁)
205	203, 204	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = 𝑁)
206	205	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 · (𝑁C1))) = (1 / 𝑁))
207	200, 206	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
208	18, 207	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 ⊆ wss 3947 {cpr 4629 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 dom cdm 5675 ‘cfv 6540 (class class class)co 7405 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 · cmul 11111 ≤ cle 11245 − cmin 11440 -cneg 11441 / cdiv 11867 ℕcn 12208 ℕ₀cn0 12468 ℤcz 12554 (,)cioo 13320 [,]cicc 13323 ↑cexp 14023 Ccbc 14258 –cn→ccncf 24383 volcvol 24971 𝐿¹cibl 25125 ∫citg 25126 D cdv 25371

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-inf2 9632 ax-cc 10426 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183 ax-pre-sup 11184 ax-addf 11185 ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-symdif 4241 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-iin 4999 df-disj 5113 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-isom 6549 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7666 df-ofr 7667 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-oadd 8466 df-omul 8467 df-er 8699 df-map 8818 df-pm 8819 df-ixp 8888 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-fin 8939 df-fsupp 9358 df-fi 9402 df-sup 9433 df-inf 9434 df-oi 9501 df-dju 9892 df-card 9930 df-acn 9933 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-2 12271 df-3 12272 df-4 12273 df-5 12274 df-6 12275 df-7 12276 df-8 12277 df-9 12278 df-n0 12469 df-z 12555 df-dec 12674 df-uz 12819 df-q 12929 df-rp 12971 df-xneg 13088 df-xadd 13089 df-xmul 13090 df-ioo 13324 df-ioc 13325 df-ico 13326 df-icc 13327 df-fz 13481 df-fzo 13624 df-fl 13753 df-mod 13831 df-seq 13963 df-exp 14024 df-fac 14230 df-bc 14259 df-hash 14287 df-cj 15042 df-re 15043 df-im 15044 df-sqrt 15178 df-abs 15179 df-clim 15428 df-rlim 15429 df-sum 15629 df-struct 17076 df-sets 17093 df-slot 17111 df-ndx 17123 df-base 17141 df-ress 17170 df-plusg 17206 df-mulr 17207 df-starv 17208 df-sca 17209 df-vsca 17210 df-ip 17211 df-tset 17212 df-ple 17213 df-ds 17215 df-unif 17216 df-hom 17217 df-cco 17218 df-rest 17364 df-topn 17365 df-0g 17383 df-gsum 17384 df-topgen 17385 df-pt 17386 df-prds 17389 df-xrs 17444 df-qtop 17449 df-imas 17450 df-xps 17452 df-mre 17526 df-mrc 17527 df-acs 17529 df-mgm 18557 df-sgrp 18606 df-mnd 18622 df-submnd 18668 df-mulg 18945 df-cntz 19175 df-cmn 19644 df-psmet 20928 df-xmet 20929 df-met 20930 df-bl 20931 df-mopn 20932 df-fbas 20933 df-fg 20934 df-cnfld 20937 df-top 22387 df-topon 22404 df-topsp 22426 df-bases 22440 df-cld 22514 df-ntr 22515 df-cls 22516 df-nei 22593 df-lp 22631 df-perf 22632 df-cn 22722 df-cnp 22723 df-haus 22810 df-cmp 22882 df-tx 23057 df-hmeo 23250 df-fil 23341 df-fm 23433 df-flim 23434 df-flf 23435 df-xms 23817 df-ms 23818 df-tms 23819 df-cncf 24385 df-ovol 24972 df-vol 24973 df-mbf 25127 df-itg1 25128 df-itg2 25129 df-ibl 25130 df-itg 25131 df-0p 25178 df-limc 25374 df-dv 25375

This theorem is referenced by: lcmineqlem13 40894

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