lcmineqlem12 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem12 42035

Description: Base case for induction. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lcmineqlem12.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem12	⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))

Distinct variable groups: 𝑡,𝑁 𝜑,𝑡

Proof of Theorem lcmineqlem12 Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunitcn 13436	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
2		1m1e0 12265	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
3	2	oveq2i 7401	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡↑(1 − 1)) = (𝑡↑0)
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
5	4	exp0d 14112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑0) = 1)
6	3, 5	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(1 − 1)) = 1)
7	6	oveq1d 7405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))))
8		1cnd 11176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
9	8, 4	subcld 11540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
10		lcmineqlem12.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnm1nn0 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
14	9, 13	expcld 14118	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
15	14	mullidd 11199	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
16	7, 15	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
17	1, 16	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
18	17	itgeq2dv 25690	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
19		0red 11184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
20		1red 11182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21	1, 14	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
22	19, 20, 21	itgioo 25724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
23		eqidd 2731	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
24		oveq2 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑡))
25	24	oveq1d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
27	26	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
29		1cnd 11176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
30		elioore 13343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ)
31		recn 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
32	28, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
33	29, 32	subcld 11540	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
34	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
35	33, 34	expcld 14118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
36	23, 27, 28, 35	fvmptd 6978	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
37	36	itgeq2dv 25690	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
38		cnelprrecn 11168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
40		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
42	40, 41	subcld 11540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
43		nnnn0 12456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
44	10, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
46	42, 45	expcld 14118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
47	45	nn0cnd 12512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
48	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
49	42, 48	expcld 14118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
51	40	negcld 11527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
52	50, 51	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) ∈ ℂ)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
54	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
55	53, 54	expcld 14118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑁) ∈ ℂ)
56	54	nn0cnd 12512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
57	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
58	53, 57	expcld 14118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
59	56, 58	mulcld 11201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
60		0cnd 11174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
61		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
62	39, 61	dvmptc 25869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
63	39	dvmptid 25868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
64	39, 40, 60, 62, 41, 40, 63	dvmptsub 25878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − 1)))
65		df-neg 11415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 = (0 − 1)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -1 = (0 − 1))
67	66	mpteq2dv 5204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − 1)))
68	64, 67	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1))
69		dvexp 25864	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
70	10, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
71		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑𝑁) = ((1 − 𝑥)↑𝑁))
72		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
73	72	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
74	39, 39, 42, 51, 55, 59, 68, 70, 71, 73	dvmptco 25883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)))
75	61	negcld 11527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
76	10	nncnd 12209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
77	10	nnne0d 12243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
78	75, 76, 77	divcld 11965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
79	39, 46, 52, 74, 78	dvmptcmul 25875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))))
80	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
81	80, 50, 51	mulassd 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)))
82	81	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1))
83	80, 47, 49	mulassd 11204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
84	83	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1))
85	84	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
86	82, 85	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
87	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ≠ 0)
88	51, 47, 87	divcan1d 11966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · 𝑁) = -1)
89	88	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
90	89	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
91	86, 90	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
92	51, 51, 49	mul32d 11391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
93	92	eqcomd 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
94	91, 93	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
95	40, 40	mul2negd 11640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) = (1 · 1))
96		1t1e1 12350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 1) = 1
97	95, 96	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) = 1)
98	97	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
99	49	mullidd 11199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
100	98, 99	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
101	94, 100	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
102	101	mpteq2dva 5203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
103	79, 102	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
104	80, 46	mulcld 11201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ℂ)
105	103, 104, 49	resdvopclptsd 42023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
106	105	fveq1d 6863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡))
107	106	ralrimivw 3130	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡))
108		itgeq2 25686	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡)
109	107, 108	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡)
110		0le1 11708	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
111	110	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
112		nfv 1914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
113		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
114		ssid 3972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
115		cncfmptc 24812	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116	113, 114, 114, 115	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
118		cncfmptid 24813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
119	114, 114, 118	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
121	117, 120	subcncf 25352	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
122		expcncf 24827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
123	12, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
124		ssidd 3973	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
125	112, 121, 123, 124, 72	cncfcompt2 24808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
126	125	resopunitintvd 42021	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
127	105	eleq1d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)))
128	126, 127	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
129		ioossicc 13401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ (0[,]1))
131		ioombl 25473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)1) ∈ dom vol
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom vol)
133		elunitcn 13436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
134	133, 49	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
135	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
136	112, 121, 123, 135, 72	cncfcompt2 24808	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
137	136	resclunitintvd 42022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
138	19, 20, 137	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
139		cnicciblnc 25751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿¹)
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿¹)
141	130, 132, 134, 140	iblss 25713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿¹)
142	105, 141	eqeltrd 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ 𝐿¹)
143		cncfmptc 24812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
144	114, 114, 143	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 / 𝑁) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
145	78, 144	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
146	145	resclunitintvd 42022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
147		expcncf 24827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
148	44, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
149	112, 121, 148, 124, 71	cncfcompt2 24808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
150	149	resclunitintvd 42022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
151	146, 150	mulcncf 25353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
152	19, 20, 111, 128, 142, 151	ftc2 25958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0)))
153		eqidd 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))
154		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
155	154	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
156	155, 2	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = 0)
157	156	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
158		0exp 14069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
159	10, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
160	159	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (0↑𝑁) = 0)
161	157, 160	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 0)
162	161	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 0))
163	78	mul01d 11380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0)
164	163	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0)
165	162, 164	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = 0)
166		1elunit 13438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
168		0cnd 11174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
169	153, 165, 167, 168	fvmptd 6978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) = 0)
170		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
171	170	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
172		1m0e1 12309	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 − 0) = 1
173	171, 172	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = 1)
174	173	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (1↑𝑁))
175	44	nn0zd 12562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
176		1exp 14063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
178	177	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1↑𝑁) = 1)
179	174, 178	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 1)
180	179	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 1))
181	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
182	181	mulridd 11198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · 1) = (-1 / 𝑁))
183	180, 182	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = (-1 / 𝑁))
184		0elunit 13437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
186	153, 183, 185, 78	fvmptd 6978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0) = (-1 / 𝑁))
187	169, 186	oveq12d 7408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0)) = (0 − (-1 / 𝑁)))
188	152, 187	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (0 − (-1 / 𝑁)))
189		df-neg 11415	. . . . . . . . . 10 ⊢ --(1 / 𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁))
190	189	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁)))
191	61, 76, 77	divnegd 11978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(1 / 𝑁) = (-1 / 𝑁))
192	191	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 − -(1 / 𝑁)) = (0 − (-1 / 𝑁)))
193	190, 192	eqtr2d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = --(1 / 𝑁))
194	76, 77	reccld 11958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
195	194	negnegd 11531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (1 / 𝑁))
196	193, 195	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = (1 / 𝑁))
197	188, 196	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁))
198	109, 197	eqtr3d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁))
199	37, 198	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁))
200	22, 199	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁))
201		bcn1 14285	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁C1) = 𝑁)
202	44, 201	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁C1) = 𝑁)
203	202	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = (1 · 𝑁))
204	76	mullidd 11199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑁) = 𝑁)
205	203, 204	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = 𝑁)
206	205	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 · (𝑁C1))) = (1 / 𝑁))
207	200, 206	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
208	18, 207	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2926 ∀wral 3045 ⊆ wss 3917 {cpr 4594 class class class wbr 5110 ↦ cmpt 5191 dom cdm 5641 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ℂcc 11073 ℝcr 11074 0cc0 11075 1c1 11076 · cmul 11080 ≤ cle 11216 − cmin 11412 -cneg 11413 / cdiv 11842 ℕcn 12193 ℕ₀cn0 12449 ℤcz 12536 (,)cioo 13313 [,]cicc 13316 ↑cexp 14033 Ccbc 14274 –cn→ccncf 24776 volcvol 25371 𝐿¹cibl 25525 ∫citg 25526 D cdv 25771

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-inf2 9601 ax-cc 10395 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153 ax-addf 11154

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-symdif 4219 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-tp 4597 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-iin 4961 df-disj 5078 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-se 5595 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-isom 6523 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-of 7656 df-ofr 7657 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-oadd 8441 df-omul 8442 df-er 8674 df-map 8804 df-pm 8805 df-ixp 8874 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-fsupp 9320 df-fi 9369 df-sup 9400 df-inf 9401 df-oi 9470 df-dju 9861 df-card 9899 df-acn 9902 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-4 12258 df-5 12259 df-6 12260 df-7 12261 df-8 12262 df-9 12263 df-n0 12450 df-z 12537 df-dec 12657 df-uz 12801 df-q 12915 df-rp 12959 df-xneg 13079 df-xadd 13080 df-xmul 13081 df-ioo 13317 df-ioc 13318 df-ico 13319 df-icc 13320 df-fz 13476 df-fzo 13623 df-fl 13761 df-mod 13839 df-seq 13974 df-exp 14034 df-fac 14246 df-bc 14275 df-hash 14303 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-clim 15461 df-rlim 15462 df-sum 15660 df-struct 17124 df-sets 17141 df-slot 17159 df-ndx 17171 df-base 17187 df-ress 17208 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-rest 17392 df-topn 17393 df-0g 17411 df-gsum 17412 df-topgen 17413 df-pt 17414 df-prds 17417 df-xrs 17472 df-qtop 17477 df-imas 17478 df-xps 17480 df-mre 17554 df-mrc 17555 df-acs 17557 df-mgm 18574 df-sgrp 18653 df-mnd 18669 df-submnd 18718 df-mulg 19007 df-cntz 19256 df-cmn 19719 df-psmet 21263 df-xmet 21264 df-met 21265 df-bl 21266 df-mopn 21267 df-fbas 21268 df-fg 21269 df-cnfld 21272 df-top 22788 df-topon 22805 df-topsp 22827 df-bases 22840 df-cld 22913 df-ntr 22914 df-cls 22915 df-nei 22992 df-lp 23030 df-perf 23031 df-cn 23121 df-cnp 23122 df-haus 23209 df-cmp 23281 df-tx 23456 df-hmeo 23649 df-fil 23740 df-fm 23832 df-flim 23833 df-flf 23834 df-xms 24215 df-ms 24216 df-tms 24217 df-cncf 24778 df-ovol 25372 df-vol 25373 df-mbf 25527 df-itg1 25528 df-itg2 25529 df-ibl 25530 df-itg 25531 df-0p 25578 df-limc 25774 df-dv 25775

This theorem is referenced by: lcmineqlem13 42036

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