lcmineqlem12 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem12 41402

Description: Base case for induction. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lcmineqlem12.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem12	⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))

Distinct variable groups: 𝑡,𝑁 𝜑,𝑡

Proof of Theorem lcmineqlem12 Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunitcn 13443	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
2		1m1e0 12282	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
3	2	oveq2i 7413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡↑(1 − 1)) = (𝑡↑0)
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
5	4	exp0d 14103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑0) = 1)
6	3, 5	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(1 − 1)) = 1)
7	6	oveq1d 7417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))))
8		1cnd 11207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
9	8, 4	subcld 11569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
10		lcmineqlem12.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnm1nn0 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
14	9, 13	expcld 14109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
15	14	mullidd 11230	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
16	7, 15	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
17	1, 16	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
18	17	itgeq2dv 25635	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
19		0red 11215	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
20		1red 11213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21	1, 14	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
22	19, 20, 21	itgioo 25669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
23		eqidd 2725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
24		oveq2 7410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑡))
25	24	oveq1d 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
26	25	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
27	26	adantlr 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
28		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
29		1cnd 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
30		elioore 13352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ)
31		recn 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
32	28, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
33	29, 32	subcld 11569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
34	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
35	33, 34	expcld 14109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
36	23, 27, 28, 35	fvmptd 6996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
37	36	itgeq2dv 25635	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
38		cnelprrecn 11200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
40		1cnd 11207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
41		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
42	40, 41	subcld 11569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
43		nnnn0 12477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
44	10, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
46	42, 45	expcld 14109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
47	45	nn0cnd 12532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
48	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
49	42, 48	expcld 14109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
51	40	negcld 11556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
52	50, 51	mulcld 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) ∈ ℂ)
53		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
54	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
55	53, 54	expcld 14109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑁) ∈ ℂ)
56	54	nn0cnd 12532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
57	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
58	53, 57	expcld 14109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
59	56, 58	mulcld 11232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
60		0cnd 11205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
61		1cnd 11207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
62	39, 61	dvmptc 25814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
63	39	dvmptid 25813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
64	39, 40, 60, 62, 41, 40, 63	dvmptsub 25823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − 1)))
65		df-neg 11445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 = (0 − 1)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -1 = (0 − 1))
67	66	mpteq2dv 5241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − 1)))
68	64, 67	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1))
69		dvexp 25809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
70	10, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
71		oveq1 7409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑𝑁) = ((1 − 𝑥)↑𝑁))
72		oveq1 7409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
73	72	oveq2d 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
74	39, 39, 42, 51, 55, 59, 68, 70, 71, 73	dvmptco 25828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)))
75	61	negcld 11556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
76	10	nncnd 12226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
77	10	nnne0d 12260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
78	75, 76, 77	divcld 11988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
79	39, 46, 52, 74, 78	dvmptcmul 25820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))))
80	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
81	80, 50, 51	mulassd 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)))
82	81	eqcomd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1))
83	80, 47, 49	mulassd 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
84	83	oveq1d 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1))
85	84	eqcomd 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
86	82, 85	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
87	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ≠ 0)
88	51, 47, 87	divcan1d 11989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · 𝑁) = -1)
89	88	oveq1d 7417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
90	89	oveq1d 7417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
91	86, 90	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
92	51, 51, 49	mul32d 11422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
93	92	eqcomd 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
94	91, 93	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
95	40, 40	mul2negd 11667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) = (1 · 1))
96		1t1e1 12372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 1) = 1
97	95, 96	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) = 1)
98	97	oveq1d 7417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
99	49	mullidd 11230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
100	98, 99	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
101	94, 100	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
102	101	mpteq2dva 5239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
103	79, 102	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
104	80, 46	mulcld 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ℂ)
105	103, 104, 49	resdvopclptsd 41390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
106	105	fveq1d 6884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡))
107	106	ralrimivw 3142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡))
108		itgeq2 25631	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡)
109	107, 108	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡)
110		0le1 11735	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
111	110	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
112		nfv 1909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
113		ax-1cn 11165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
114		ssid 3997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
115		cncfmptc 24756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116	113, 114, 114, 115	mp3an 1457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
118		cncfmptid 24757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
119	114, 114, 118	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
121	117, 120	subcncf 25297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
122		expcncf 24771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
123	12, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
124		ssidd 3998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
125	112, 121, 123, 124, 72	cncfcompt2 24752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
126	125	resopunitintvd 41388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
127	105	eleq1d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)))
128	126, 127	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
129		ioossicc 13408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ (0[,]1))
131		ioombl 25418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)1) ∈ dom vol
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom vol)
133		elunitcn 13443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
134	133, 49	sylan2 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
135	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
136	112, 121, 123, 135, 72	cncfcompt2 24752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
137	136	resclunitintvd 41389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
138	19, 20, 137	3jca 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
139		cnicciblnc 25696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿¹)
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿¹)
141	130, 132, 134, 140	iblss 25658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿¹)
142	105, 141	eqeltrd 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ 𝐿¹)
143		cncfmptc 24756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
144	114, 114, 143	mp3an23 1449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 / 𝑁) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
145	78, 144	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
146	145	resclunitintvd 41389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
147		expcncf 24771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
148	44, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
149	112, 121, 148, 124, 71	cncfcompt2 24752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
150	149	resclunitintvd 41389	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
151	146, 150	mulcncf 25298	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
152	19, 20, 111, 128, 142, 151	ftc2 25903	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0)))
153		eqidd 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))
154		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
155	154	oveq2d 7418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
156	155, 2	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = 0)
157	156	oveq1d 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
158		0exp 14061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
159	10, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
160	159	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (0↑𝑁) = 0)
161	157, 160	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 0)
162	161	oveq2d 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 0))
163	78	mul01d 11411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0)
164	163	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0)
165	162, 164	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = 0)
166		1elunit 13445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
168		0cnd 11205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
169	153, 165, 167, 168	fvmptd 6996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) = 0)
170		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
171	170	oveq2d 7418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
172		1m0e1 12331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 − 0) = 1
173	171, 172	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = 1)
174	173	oveq1d 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (1↑𝑁))
175	44	nn0zd 12582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
176		1exp 14055	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
178	177	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1↑𝑁) = 1)
179	174, 178	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 1)
180	179	oveq2d 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 1))
181	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
182	181	mulridd 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · 1) = (-1 / 𝑁))
183	180, 182	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = (-1 / 𝑁))
184		0elunit 13444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
186	153, 183, 185, 78	fvmptd 6996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0) = (-1 / 𝑁))
187	169, 186	oveq12d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0)) = (0 − (-1 / 𝑁)))
188	152, 187	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (0 − (-1 / 𝑁)))
189		df-neg 11445	. . . . . . . . . 10 ⊢ --(1 / 𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁))
190	189	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁)))
191	61, 76, 77	divnegd 12001	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(1 / 𝑁) = (-1 / 𝑁))
192	191	oveq2d 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 − -(1 / 𝑁)) = (0 − (-1 / 𝑁)))
193	190, 192	eqtr2d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = --(1 / 𝑁))
194	76, 77	reccld 11981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
195	194	negnegd 11560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (1 / 𝑁))
196	193, 195	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = (1 / 𝑁))
197	188, 196	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁))
198	109, 197	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁))
199	37, 198	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁))
200	22, 199	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁))
201		bcn1 14271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁C1) = 𝑁)
202	44, 201	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁C1) = 𝑁)
203	202	oveq2d 7418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = (1 · 𝑁))
204	76	mullidd 11230	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑁) = 𝑁)
205	203, 204	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = 𝑁)
206	205	oveq2d 7418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 · (𝑁C1))) = (1 / 𝑁))
207	200, 206	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
208	18, 207	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2932 ∀wral 3053 ⊆ wss 3941 {cpr 4623 class class class wbr 5139 ↦ cmpt 5222 dom cdm 5667 ‘cfv 6534 (class class class)co 7402 ℂcc 11105 ℝcr 11106 0cc0 11107 1c1 11108 · cmul 11112 ≤ cle 11247 − cmin 11442 -cneg 11443 / cdiv 11869 ℕcn 12210 ℕ₀cn0 12470 ℤcz 12556 (,)cioo 13322 [,]cicc 13325 ↑cexp 14025 Ccbc 14260 –cn→ccncf 24720 volcvol 25316 𝐿¹cibl 25470 ∫citg 25471 D cdv 25716

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-inf2 9633 ax-cc 10427 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 ax-pre-sup 11185 ax-addf 11186

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-symdif 4235 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-tp 4626 df-op 4628 df-uni 4901 df-int 4942 df-iun 4990 df-iin 4991 df-disj 5105 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-se 5623 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-isom 6543 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-of 7664 df-ofr 7665 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-supp 8142 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-2o 8463 df-oadd 8466 df-omul 8467 df-er 8700 df-map 8819 df-pm 8820 df-ixp 8889 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-fsupp 9359 df-fi 9403 df-sup 9434 df-inf 9435 df-oi 9502 df-dju 9893 df-card 9931 df-acn 9934 df-pnf 11248 df-mnf 11249 df-xr 11250 df-ltxr 11251 df-le 11252 df-sub 11444 df-neg 11445 df-div 11870 df-nn 12211 df-2 12273 df-3 12274 df-4 12275 df-5 12276 df-6 12277 df-7 12278 df-8 12279 df-9 12280 df-n0 12471 df-z 12557 df-dec 12676 df-uz 12821 df-q 12931 df-rp 12973 df-xneg 13090 df-xadd 13091 df-xmul 13092 df-ioo 13326 df-ioc 13327 df-ico 13328 df-icc 13329 df-fz 13483 df-fzo 13626 df-fl 13755 df-mod 13833 df-seq 13965 df-exp 14026 df-fac 14232 df-bc 14261 df-hash 14289 df-cj 15044 df-re 15045 df-im 15046 df-sqrt 15180 df-abs 15181 df-clim 15430 df-rlim 15431 df-sum 15631 df-struct 17081 df-sets 17098 df-slot 17116 df-ndx 17128 df-base 17146 df-ress 17175 df-plusg 17211 df-mulr 17212 df-starv 17213 df-sca 17214 df-vsca 17215 df-ip 17216 df-tset 17217 df-ple 17218 df-ds 17220 df-unif 17221 df-hom 17222 df-cco 17223 df-rest 17369 df-topn 17370 df-0g 17388 df-gsum 17389 df-topgen 17390 df-pt 17391 df-prds 17394 df-xrs 17449 df-qtop 17454 df-imas 17455 df-xps 17457 df-mre 17531 df-mrc 17532 df-acs 17534 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-submnd 18706 df-mulg 18988 df-cntz 19225 df-cmn 19694 df-psmet 21222 df-xmet 21223 df-met 21224 df-bl 21225 df-mopn 21226 df-fbas 21227 df-fg 21228 df-cnfld 21231 df-top 22720 df-topon 22737 df-topsp 22759 df-bases 22773 df-cld 22847 df-ntr 22848 df-cls 22849 df-nei 22926 df-lp 22964 df-perf 22965 df-cn 23055 df-cnp 23056 df-haus 23143 df-cmp 23215 df-tx 23390 df-hmeo 23583 df-fil 23674 df-fm 23766 df-flim 23767 df-flf 23768 df-xms 24150 df-ms 24151 df-tms 24152 df-cncf 24722 df-ovol 25317 df-vol 25318 df-mbf 25472 df-itg1 25473 df-itg2 25474 df-ibl 25475 df-itg 25476 df-0p 25523 df-limc 25719 df-dv 25720

This theorem is referenced by: lcmineqlem13 41403

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