lcmineqlem12 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem12 41563

Description: Base case for induction. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
lcmineqlem12.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem12	⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))

Distinct variable groups: 𝑡,𝑁 𝜑,𝑡

Proof of Theorem lcmineqlem12 Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunitcn 13472	. . . 4 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
2		1m1e0 12309	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
3	2	oveq2i 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡↑(1 − 1)) = (𝑡↑0)
4		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
5	4	exp0d 14131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑0) = 1)
6	3, 5	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(1 − 1)) = 1)
7	6	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))))
8		1cnd 11234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
9	8, 4	subcld 11596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
10		lcmineqlem12.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
11		nnm1nn0 12538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
13	12	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
14	9, 13	expcld 14137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
15	14	mullidd 11257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (1 · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
16	7, 15	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
17	1, 16	sylan2 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
18	17	itgeq2dv 25724	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
19		0red 11242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
20		1red 11240	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21	1, 14	sylan2 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
22	19, 20, 21	itgioo 25758	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
23		eqidd 2726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
24		oveq2 7421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑡))
25	24	oveq1d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑡 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
26	25	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
27	26	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
28		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
29		1cnd 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
30		elioore 13381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ)
31		recn 11223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
32	28, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
33	29, 32	subcld 11596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
34	12	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
35	33, 34	expcld 14137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
36	23, 27, 28, 35	fvmptd 7005	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
37	36	itgeq2dv 25724	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
38		cnelprrecn 11226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
40		1cnd 11234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
41		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
42	40, 41	subcld 11596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
43		nnnn0 12504	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ₀)
44	10, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
45	44	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
46	42, 45	expcld 14137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
47	45	nn0cnd 12559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
48	12	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
49	42, 48	expcld 14137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
50	47, 49	mulcld 11259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
51	40	negcld 11583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
52	50, 51	mulcld 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) ∈ ℂ)
53		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
54	44	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
55	53, 54	expcld 14137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑𝑁) ∈ ℂ)
56	54	nn0cnd 12559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
57	12	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
58	53, 57	expcld 14137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
59	56, 58	mulcld 11259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
60		0cnd 11232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
61		1cnd 11234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
62	39, 61	dvmptc 25903	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
63	39	dvmptid 25902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
64	39, 40, 60, 62, 41, 40, 63	dvmptsub 25912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − 1)))
65		df-neg 11472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -1 = (0 − 1)
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -1 = (0 − 1))
67	66	mpteq2dv 5246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − 1)))
68	64, 67	eqtr4d 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1))
69		dvexp 25898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
70	10, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
71		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑𝑁) = ((1 − 𝑥)↑𝑁))
72		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
73	72	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
74	39, 39, 42, 51, 55, 59, 68, 70, 71, 73	dvmptco 25917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)))
75	61	negcld 11583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
76	10	nncnd 12253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
77	10	nnne0d 12287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
78	75, 76, 77	divcld 12015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
79	39, 46, 52, 74, 78	dvmptcmul 25909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))))
80	78	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
81	80, 50, 51	mulassd 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)))
82	81	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1))
83	80, 47, 49	mulassd 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
84	83	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1))
85	84	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
86	82, 85	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
87	77	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ≠ 0)
88	51, 47, 87	divcan1d 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · 𝑁) = -1)
89	88	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
90	89	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
91	86, 90	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
92	51, 51, 49	mul32d 11449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
93	92	eqcomd 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
94	91, 93	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
95	40, 40	mul2negd 11694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) = (1 · 1))
96		1t1e1 12399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 1) = 1
97	95, 96	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) = 1)
98	97	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
99	49	mullidd 11257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
100	98, 99	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
101	94, 100	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
102	101	mpteq2dva 5244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
103	79, 102	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
104	80, 46	mulcld 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ℂ)
105	103, 104, 49	resdvopclptsd 41551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
106	105	fveq1d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡))
107	106	ralrimivw 3140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡))
108		itgeq2 25720	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑡 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡)
109	107, 108	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡)
110		0le1 11762	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≤ 1
111	110	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
112		nfv 1909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
113		ax-1cn 11191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
114		ssid 3996	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
115		cncfmptc 24845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116	113, 114, 114, 115	mp3an 1457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
118		cncfmptid 24846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
119	114, 114, 118	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
121	117, 120	subcncf 25386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
122		expcncf 24860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
123	12, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
124		ssidd 3997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
125	112, 121, 123, 124, 72	cncfcompt2 24841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
126	125	resopunitintvd 41549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
127	105	eleq1d 2810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)))
128	126, 127	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
129		ioossicc 13437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ (0[,]1))
131		ioombl 25507	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)1) ∈ dom vol
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom vol)
133		elunitcn 13472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
134	133, 49	sylan2 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
135	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
136	112, 121, 123, 135, 72	cncfcompt2 24841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
137	136	resclunitintvd 41550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
138	19, 20, 137	3jca 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
139		cnicciblnc 25785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿¹)
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿¹)
141	130, 132, 134, 140	iblss 25747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿¹)
142	105, 141	eqeltrd 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ 𝐿¹)
143		cncfmptc 24845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
144	114, 114, 143	mp3an23 1449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 / 𝑁) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
145	78, 144	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
146	145	resclunitintvd 41550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
147		expcncf 24860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
148	44, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
149	112, 121, 148, 124, 71	cncfcompt2 24841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
150	149	resclunitintvd 41550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
151	146, 150	mulcncf 25387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
152	19, 20, 111, 128, 142, 151	ftc2 25992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0)))
153		eqidd 2726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))
154		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
155	154	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
156	155, 2	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = 0)
157	156	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
158		0exp 14089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
159	10, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
160	159	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (0↑𝑁) = 0)
161	157, 160	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 0)
162	161	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 0))
163	78	mul01d 11438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0)
164	163	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0)
165	162, 164	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = 0)
166		1elunit 13474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
167	166	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
168		0cnd 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
169	153, 165, 167, 168	fvmptd 7005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) = 0)
170		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
171	170	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
172		1m0e1 12358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 − 0) = 1
173	171, 172	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = 1)
174	173	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (1↑𝑁))
175	44	nn0zd 12609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
176		1exp 14083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
178	177	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (1↑𝑁) = 1)
179	174, 178	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 1)
180	179	oveq2d 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 1))
181	78	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
182	181	mulridd 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · 1) = (-1 / 𝑁))
183	180, 182	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = (-1 / 𝑁))
184		0elunit 13473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
186	153, 183, 185, 78	fvmptd 7005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0) = (-1 / 𝑁))
187	169, 186	oveq12d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0)) = (0 − (-1 / 𝑁)))
188	152, 187	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (0 − (-1 / 𝑁)))
189		df-neg 11472	. . . . . . . . . 10 ⊢ --(1 / 𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁))
190	189	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁)))
191	61, 76, 77	divnegd 12028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(1 / 𝑁) = (-1 / 𝑁))
192	191	oveq2d 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 − -(1 / 𝑁)) = (0 − (-1 / 𝑁)))
193	190, 192	eqtr2d 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = --(1 / 𝑁))
194	76, 77	reccld 12008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
195	194	negnegd 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (1 / 𝑁))
196	193, 195	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = (1 / 𝑁))
197	188, 196	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁))
198	109, 197	eqtr3d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁))
199	37, 198	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁))
200	22, 199	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁))
201		bcn1 14299	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁C1) = 𝑁)
202	44, 201	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁C1) = 𝑁)
203	202	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = (1 · 𝑁))
204	76	mullidd 11257	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝑁) = 𝑁)
205	203, 204	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = 𝑁)
206	205	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (1 · (𝑁C1))) = (1 / 𝑁))
207	200, 206	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
208	18, 207	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 394 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2930 ∀wral 3051 ⊆ wss 3941 {cpr 4627 class class class wbr 5144 ↦ cmpt 5227 dom cdm 5673 ‘cfv 6543 (class class class)co 7413 ℂcc 11131 ℝcr 11132 0cc0 11133 1c1 11134 · cmul 11138 ≤ cle 11274 − cmin 11469 -cneg 11470 / cdiv 11896 ℕcn 12237 ℕ₀cn0 12497 ℤcz 12583 (,)cioo 13351 [,]cicc 13354 ↑cexp 14053 Ccbc 14288 –cn→ccncf 24809 volcvol 25405 𝐿¹cibl 25559 ∫citg 25560 D cdv 25805

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5281 ax-sep 5295 ax-nul 5302 ax-pow 5360 ax-pr 5424 ax-un 7735 ax-inf2 9659 ax-cc 10453 ax-cnex 11189 ax-resscn 11190 ax-1cn 11191 ax-icn 11192 ax-addcl 11193 ax-addrcl 11194 ax-mulcl 11195 ax-mulrcl 11196 ax-mulcom 11197 ax-addass 11198 ax-mulass 11199 ax-distr 11200 ax-i2m1 11201 ax-1ne0 11202 ax-1rid 11203 ax-rnegex 11204 ax-rrecex 11205 ax-cnre 11206 ax-pre-lttri 11207 ax-pre-lttrn 11208 ax-pre-ltadd 11209 ax-pre-mulgt0 11210 ax-pre-sup 11211 ax-addf 11212

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3961 df-symdif 4238 df-nul 4320 df-if 4526 df-pw 4601 df-sn 4626 df-pr 4628 df-tp 4630 df-op 4632 df-uni 4905 df-int 4946 df-iun 4994 df-iin 4995 df-disj 5110 df-br 5145 df-opab 5207 df-mpt 5228 df-tr 5262 df-id 5571 df-eprel 5577 df-po 5585 df-so 5586 df-fr 5628 df-se 5629 df-we 5630 df-xp 5679 df-rel 5680 df-cnv 5681 df-co 5682 df-dm 5683 df-rn 5684 df-res 5685 df-ima 5686 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-of 7679 df-ofr 7680 df-om 7866 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-supp 8159 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-1o 8480 df-2o 8481 df-oadd 8484 df-omul 8485 df-er 8718 df-map 8840 df-pm 8841 df-ixp 8910 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-fin 8961 df-fsupp 9381 df-fi 9429 df-sup 9460 df-inf 9461 df-oi 9528 df-dju 9919 df-card 9957 df-acn 9960 df-pnf 11275 df-mnf 11276 df-xr 11277 df-ltxr 11278 df-le 11279 df-sub 11471 df-neg 11472 df-div 11897 df-nn 12238 df-2 12300 df-3 12301 df-4 12302 df-5 12303 df-6 12304 df-7 12305 df-8 12306 df-9 12307 df-n0 12498 df-z 12584 df-dec 12703 df-uz 12848 df-q 12958 df-rp 13002 df-xneg 13119 df-xadd 13120 df-xmul 13121 df-ioo 13355 df-ioc 13356 df-ico 13357 df-icc 13358 df-fz 13512 df-fzo 13655 df-fl 13784 df-mod 13862 df-seq 13994 df-exp 14054 df-fac 14260 df-bc 14289 df-hash 14317 df-cj 15073 df-re 15074 df-im 15075 df-sqrt 15209 df-abs 15210 df-clim 15459 df-rlim 15460 df-sum 15660 df-struct 17110 df-sets 17127 df-slot 17145 df-ndx 17157 df-base 17175 df-ress 17204 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-rest 17398 df-topn 17399 df-0g 17417 df-gsum 17418 df-topgen 17419 df-pt 17420 df-prds 17423 df-xrs 17478 df-qtop 17483 df-imas 17484 df-xps 17486 df-mre 17560 df-mrc 17561 df-acs 17563 df-mgm 18594 df-sgrp 18673 df-mnd 18689 df-submnd 18735 df-mulg 19023 df-cntz 19267 df-cmn 19736 df-psmet 21270 df-xmet 21271 df-met 21272 df-bl 21273 df-mopn 21274 df-fbas 21275 df-fg 21276 df-cnfld 21279 df-top 22809 df-topon 22826 df-topsp 22848 df-bases 22862 df-cld 22936 df-ntr 22937 df-cls 22938 df-nei 23015 df-lp 23053 df-perf 23054 df-cn 23144 df-cnp 23145 df-haus 23232 df-cmp 23304 df-tx 23479 df-hmeo 23672 df-fil 23763 df-fm 23855 df-flim 23856 df-flf 23857 df-xms 24239 df-ms 24240 df-tms 24241 df-cncf 24811 df-ovol 25406 df-vol 25407 df-mbf 25561 df-itg1 25562 df-itg2 25563 df-ibl 25564 df-itg 25565 df-0p 25612 df-limc 25808 df-dv 25809

This theorem is referenced by: lcmineqlem13 41564

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