Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem12 41435
Description: Base case for induction. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
lcmineqlem12.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem12 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘กโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) d๐‘ก = (1 / (1 ยท (๐‘C1))))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐‘   ๐œ‘,๐‘ก

Proof of Theorem lcmineqlem12
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunitcn 13463 . . . 4 (๐‘ก โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
2 1m1e0 12300 . . . . . . . 8 (1 โˆ’ 1) = 0
32oveq2i 7425 . . . . . . 7 (๐‘กโ†‘(1 โˆ’ 1)) = (๐‘กโ†‘0)
4 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
54exp0d 14122 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘กโ†‘0) = 1)
63, 5eqtrid 2779 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘กโ†‘(1 โˆ’ 1)) = 1)
76oveq1d 7429 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘กโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (1 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
8 1cnd 11225 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
98, 4subcld 11587 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) โˆˆ โ„‚)
10 lcmineqlem12.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
11 nnm1nn0 12529 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
149, 13expcld 14128 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
1514mullidd 11248 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
167, 15eqtrd 2767 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘กโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
171, 16sylan2 592 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘กโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
1817itgeq2dv 25685 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘กโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) d๐‘ก = โˆซ(0[,]1)((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) d๐‘ก)
19 0red 11233 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
20 1red 11231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
211, 14sylan2 592 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
2219, 20, 21itgioo 25719 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) d๐‘ก = โˆซ(0[,]1)((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) d๐‘ก)
23 eqidd 2728 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
24 oveq2 7422 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) = (1 โˆ’ ๐‘ก))
2524oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ก โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐‘ก) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
2726adantlr 714 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ (0(,)1)) โˆง ๐‘ฅ = ๐‘ก) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
28 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ (0(,)1))
29 1cnd 11225 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ (0(,)1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
30 elioore 13372 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„)
31 recn 11214 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
3228, 30, 313syl 18 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„‚)
3329, 32subcld 11587 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) โˆˆ โ„‚)
3412adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
3533, 34expcld 14128 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
3623, 27, 28, 35fvmptd 7006 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ (0(,)1)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘ก) = ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
3736itgeq2dv 25685 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘ก) d๐‘ก = โˆซ(0(,)1)((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) d๐‘ก)
38 cnelprrecn 11217 . . . . . . . . . . . . 13 โ„‚ โˆˆ {โ„, โ„‚}
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โ„‚ โˆˆ {โ„, โ„‚})
40 1cnd 11225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
41 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
4240, 41subcld 11587 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
43 nnnn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
4410, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
4642, 45expcld 14128 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
4745nn0cnd 12550 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4812adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
4942, 48expcld 14128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5047, 49mulcld 11250 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
5140negcld 11574 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
5250, 51mulcld 11250 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1) โˆˆ โ„‚)
53 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
5444adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
5553, 54expcld 14128 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆโ†‘๐‘) โˆˆ โ„‚)
5654nn0cnd 12550 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5712adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5853, 57expcld 14128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5956, 58mulcld 11250 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
60 0cnd 11223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
61 1cnd 11225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6239, 61dvmptc 25864 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ 1)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ 0))
6339dvmptid 25863 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ 1))
6439, 40, 60, 62, 41, 40, 63dvmptsub 25873 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (1 โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (0 โˆ’ 1)))
65 df-neg 11463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 = (0 โˆ’ 1)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ -1 = (0 โˆ’ 1))
6766mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ -1) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (0 โˆ’ 1)))
6864, 67eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (1 โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ -1))
69 dvexp 25859 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘๐‘))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ ยท (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
7010, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘๐‘))) = (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ ยท (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
71 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆโ†‘๐‘) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))
72 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ = (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
7372oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ = (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
7439, 39, 42, 51, 55, 59, 68, 70, 71, 73dvmptco 25878 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1)))
7561negcld 11574 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
7610nncnd 12244 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7710nnne0d 12278 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โ‰  0)
7875, 76, 77divcld 12006 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (-1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
7939, 46, 52, 74, 78dvmptcmul 25870 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1))))
8078adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
8180, 50, 51mulassd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((-1 / ๐‘) ยท (๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) ยท -1) = ((-1 / ๐‘) ยท ((๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1)))
8281eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท ((๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1)) = (((-1 / ๐‘) ยท (๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) ยท -1))
8380, 47, 49mulassd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((-1 / ๐‘) ยท ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((-1 / ๐‘) ยท (๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))))
8483oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((-1 / ๐‘) ยท ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1) = (((-1 / ๐‘) ยท (๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) ยท -1))
8584eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((-1 / ๐‘) ยท (๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))) ยท -1) = ((((-1 / ๐‘) ยท ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1))
8682, 85eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท ((๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1)) = ((((-1 / ๐‘) ยท ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1))
8777adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
8851, 47, 87divcan1d 12007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท ๐‘) = -1)
8988oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (((-1 / ๐‘) ยท ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (-1 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
9089oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((((-1 / ๐‘) ยท ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1) = ((-1 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1))
9186, 90eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท ((๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1)) = ((-1 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1))
9251, 51, 49mul32d 11440 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((-1 ยท -1) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((-1 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1))
9392eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((-1 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1) = ((-1 ยท -1) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
9491, 93eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท ((๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1)) = ((-1 ยท -1) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
9540, 40mul2negd 11685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 ยท -1) = (1 ยท 1))
96 1t1e1 12390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ยท 1) = 1
9795, 96eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-1 ยท -1) = 1)
9897oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((-1 ยท -1) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = (1 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
9949mullidd 11248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
10098, 99eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((-1 ยท -1) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
10194, 100eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท ((๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))
102101mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((๐‘ ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) ยท -1))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
10379, 102eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
10480, 46mulcld 11250 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„‚)
105103, 104, 49resdvopclptsd 41423 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))))
106105fveq1d 6893 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))))โ€˜๐‘ก) = ((๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘ก))
107106ralrimivw 3145 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ก โˆˆ (0(,)1)((โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))))โ€˜๐‘ก) = ((๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘ก))
108 itgeq2 25681 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ก โˆˆ (0(,)1)((โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))))โ€˜๐‘ก) = ((๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘ก) โ†’ โˆซ(0(,)1)((โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))))โ€˜๐‘ก) d๐‘ก = โˆซ(0(,)1)((๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘ก) d๐‘ก)
109107, 108syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))))โ€˜๐‘ก) d๐‘ก = โˆซ(0(,)1)((๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘ก) d๐‘ก)
110 0le1 11753 . . . . . . . . . 10 0 โ‰ค 1
111110a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
112 nfv 1910 . . . . . . . . . . . 12 โ„ฒ๐‘ฅ๐œ‘
113 ax-1cn 11182 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 โˆˆ โ„‚
114 ssid 4000 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„‚ โІ โ„‚
115 cncfmptc 24806 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง โ„‚ โІ โ„‚ โˆง โ„‚ โІ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ 1) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
116113, 114, 114, 115mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ 1) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚)
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ 1) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
118 cncfmptid 24807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โ„‚ โІ โ„‚ โˆง โ„‚ โІ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐‘ฅ) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
119114, 114, 118mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐‘ฅ) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚)
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐‘ฅ) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
121117, 120subcncf 25347 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (1 โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
122 expcncf 24821 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
12312, 122syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
124 ssidd 4001 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โ„‚ โІ โ„‚)
125112, 121, 123, 124, 72cncfcompt2 24802 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
126125resopunitintvd 41421 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
127105eleq1d 2813 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚)))
128126, 127mpbird 257 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
129 ioossicc 13428 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)1) โІ (0[,]1)
130129a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (0(,)1) โІ (0[,]1))
131 ioombl 25468 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)1) โˆˆ dom vol
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (0(,)1) โˆˆ dom vol)
133 elunitcn 13463 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
134133, 49sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
135114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โ„‚ โІ โ„‚)
136112, 121, 123, 135, 72cncfcompt2 24802 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
137136resclunitintvd 41422 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
13819, 20, 1373jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)))
139 cnicciblnc 25746 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ ๐ฟ1)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ ๐ฟ1)
141130, 132, 134, 140iblss 25708 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) โˆˆ ๐ฟ1)
142105, 141eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)))) โˆˆ ๐ฟ1)
143 cncfmptc 24806 . . . . . . . . . . . . 13 (((-1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง โ„‚ โІ โ„‚ โˆง โ„‚ โІ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (-1 / ๐‘)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
144114, 114, 143mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (-1 / ๐‘)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
14578, 144syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (-1 / ๐‘)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
146145resclunitintvd 41422 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (-1 / ๐‘)) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
147 expcncf 24821 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘๐‘)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
14844, 147syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฆโ†‘๐‘)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
149112, 121, 148, 124, 71cncfcompt2 24802 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
150149resclunitintvd 41422 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
151146, 150mulcncf 25348 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
15219, 20, 111, 128, 142, 151ftc2 25953 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))))โ€˜๐‘ก) d๐‘ก = (((๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)))โ€˜1) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)))โ€˜0)))
153 eqidd 2728 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))) = (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))))
154 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ๐‘ฅ = 1)
155154oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) = (1 โˆ’ 1))
156155, 2eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) = 0)
157156oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘) = (0โ†‘๐‘))
158 0exp 14080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (0โ†‘๐‘) = 0)
15910, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (0โ†‘๐‘) = 0)
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ (0โ†‘๐‘) = 0)
161157, 160eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘) = 0)
162161oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)) = ((-1 / ๐‘) ยท 0))
16378mul01d 11429 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท 0) = 0)
164163adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท 0) = 0)
165162, 164eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)) = 0)
166 1elunit 13465 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ (0[,]1)
167166a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ (0[,]1))
168 0cnd 11223 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
169153, 165, 167, 168fvmptd 7006 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)))โ€˜1) = 0)
170 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ๐‘ฅ = 0)
171170oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) = (1 โˆ’ 0))
172 1m0e1 12349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 โˆ’ 0) = 1
173171, 172eqtrdi 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) = 1)
174173oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘) = (1โ†‘๐‘))
17544nn0zd 12600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
176 1exp 14074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
177175, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
178177adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
179174, 178eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘) = 1)
180179oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)) = ((-1 / ๐‘) ยท 1))
18178adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (-1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
182181mulridd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท 1) = (-1 / ๐‘))
183180, 182eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)) = (-1 / ๐‘))
184 0elunit 13464 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ (0[,]1)
185184a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ (0[,]1))
186153, 183, 185, 78fvmptd 7006 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)))โ€˜0) = (-1 / ๐‘))
187169, 186oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)))โ€˜1) โˆ’ ((๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘)))โ€˜0)) = (0 โˆ’ (-1 / ๐‘)))
188152, 187eqtrd 2767 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))))โ€˜๐‘ก) d๐‘ก = (0 โˆ’ (-1 / ๐‘)))
189 df-neg 11463 . . . . . . . . . 10 --(1 / ๐‘) = (0 โˆ’ -(1 / ๐‘))
190189a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ --(1 / ๐‘) = (0 โˆ’ -(1 / ๐‘)))
19161, 76, 77divnegd 12019 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ -(1 / ๐‘) = (-1 / ๐‘))
192191oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ -(1 / ๐‘)) = (0 โˆ’ (-1 / ๐‘)))
193190, 192eqtr2d 2768 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ (-1 / ๐‘)) = --(1 / ๐‘))
19476, 77reccld 11999 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1 / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
195194negnegd 11578 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ --(1 / ๐‘) = (1 / ๐‘))
196193, 195eqtrd 2767 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ (-1 / ๐‘)) = (1 / ๐‘))
197188, 196eqtrd 2767 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((-1 / ๐‘) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘๐‘))))โ€˜๐‘ก) d๐‘ก = (1 / ๐‘))
198109, 197eqtr3d 2769 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)))โ€˜๐‘ก) d๐‘ก = (1 / ๐‘))
19937, 198eqtr3d 2769 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) d๐‘ก = (1 / ๐‘))
20022, 199eqtr3d 2769 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) d๐‘ก = (1 / ๐‘))
201 bcn1 14290 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘C1) = ๐‘)
20244, 201syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘C1) = ๐‘)
203202oveq2d 7430 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (๐‘C1)) = (1 ยท ๐‘))
20476mullidd 11248 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
205203, 204eqtrd 2767 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (๐‘C1)) = ๐‘)
206205oveq2d 7430 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (1 / (1 ยท (๐‘C1))) = (1 / ๐‘))
207200, 206eqtr4d 2770 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1)) d๐‘ก = (1 / (1 ยท (๐‘C1))))
20818, 207eqtrd 2767 1 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘กโ†‘(1 โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ก)โ†‘(๐‘ โˆ’ 1))) d๐‘ก = (1 / (1 ยท (๐‘C1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆ€wral 3056   โІ wss 3944  {cpr 4626   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  dom cdm 5672  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   ยท cmul 11129   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  โ„•cn 12228  โ„•0cn0 12488  โ„คcz 12574  (,)cioo 13342  [,]cicc 13345  โ†‘cexp 14044  Ccbc 14279  โ€“cnโ†’ccncf 24770  volcvol 25366  ๐ฟ1cibl 25520  โˆซcitg 25521   D cdv 25766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-symdif 4238  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-cmp 23265  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-ovol 25367  df-vol 25368  df-mbf 25522  df-itg1 25523  df-itg2 25524  df-ibl 25525  df-itg 25526  df-0p 25573  df-limc 25769  df-dv 25770
This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  41436
  Copyright terms: Public domain W3C validator