Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem12 42021
Description: Base case for induction. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
lcmineqlem12.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem12 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑁   𝜑,𝑡

Proof of Theorem lcmineqlem12
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elunitcn 13504 . . . 4 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ∈ ℂ)
2 1m1e0 12335 . . . . . . . 8 (1 − 1) = 0
32oveq2i 7441 . . . . . . 7 (𝑡↑(1 − 1)) = (𝑡↑0)
4 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
54exp0d 14176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑0) = 1)
63, 5eqtrid 2786 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(1 − 1)) = 1)
76oveq1d 7445 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))))
8 1cnd 11253 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
98, 4subcld 11617 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
10 lcmineqlem12.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
11 nnm1nn0 12564 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
149, 13expcld 14182 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
1514mullidd 11276 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (1 · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
167, 15eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
171, 16sylan2 593 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
1817itgeq2dv 25831 . 2 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
19 0red 11261 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
20 1red 11259 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
211, 14sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
2219, 20, 21itgioo 25865 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
23 eqidd 2735 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
24 oveq2 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑡 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑡))
2524oveq1d 7445 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
2625adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
2726adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
28 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
29 1cnd 11253 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
30 elioore 13413 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ ℝ)
31 recn 11242 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
3228, 30, 313syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
3329, 32subcld 11617 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑡) ∈ ℂ)
3412adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
3533, 34expcld 14182 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
3623, 27, 28, 35fvmptd 7022 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) = ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)))
3736itgeq2dv 25831 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡)
38 cnelprrecn 11245 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
40 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
41 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4240, 41subcld 11617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
43 nnnn0 12530 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4410, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4642, 45expcld 14182 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
4745nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
4812adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
4942, 48expcld 14182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
5047, 49mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
5140negcld 11604 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → -1 ∈ ℂ)
5250, 51mulcld 11278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) ∈ ℂ)
53 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5444adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5553, 54expcld 14182 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑁) ∈ ℂ)
5654nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
5712adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
5853, 57expcld 14182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
5956, 58mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
60 0cnd 11251 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
61 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6239, 61dvmptc 26010 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
6339dvmptid 26009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
6439, 40, 60, 62, 41, 40, 63dvmptsub 26019 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − 1)))
65 df-neg 11492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 = (0 − 1)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -1 = (0 − 1))
6766mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 − 1)))
6864, 67eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -1))
69 dvexp 26005 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
7010, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑁))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1)))))
71 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦𝑁) = ((1 − 𝑥)↑𝑁))
72 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
7372oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (1 − 𝑥) → (𝑁 · (𝑦↑(𝑁 − 1))) = (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
7439, 39, 42, 51, 55, 59, 68, 70, 71, 73dvmptco 26024 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)))
7561negcld 11604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
7610nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
7710nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ≠ 0)
7875, 76, 77divcld 12040 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
7939, 46, 52, 74, 78dvmptcmul 26016 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))))
8078adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
8180, 50, 51mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)))
8281eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1))
8380, 47, 49mulassd 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))))
8483oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1))
8584eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · (𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))) · -1) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
8682, 85eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
8777adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ≠ 0)
8851, 47, 87divcan1d 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · 𝑁) = -1)
8988oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
9089oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((((-1 / 𝑁) · 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
9186, 90eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
9251, 51, 49mul32d 11468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))
9392eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1) = ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
9491, 93eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
9540, 40mul2negd 11715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) = (1 · 1))
96 1t1e1 12425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 · 1) = 1
9795, 96eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (-1 · -1) = 1)
9897oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
9949mullidd 11276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
10098, 99eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 · -1) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
10194, 100eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))
102101mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((𝑁 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) · -1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
10379, 102eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
10480, 46mulcld 11278 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ℂ)
105103, 104, 49resdvopclptsd 42009 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))))
106105fveq1d 6908 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡))
107106ralrimivw 3147 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡))
108 itgeq2 25827 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ (0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) = ((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡)
109107, 108syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡)
110 0le1 11783 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
111110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 1)
112 nfv 1911 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝜑
113 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
114 ssid 4017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℂ ⊆ ℂ
115 cncfmptc 24951 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
116113, 114, 114, 115mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
118 cncfmptid 24952 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
119114, 114, 118mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
121117, 120subcncf 25492 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
122 expcncf 24966 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
12312, 122syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
124 ssidd 4018 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
125112, 121, 123, 124, 72cncfcompt2 24947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
126125resopunitintvd 42007 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
127105eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)))
128126, 127mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
129 ioossicc 13469 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
130129a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ (0[,]1))
131 ioombl 25613 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)1) ∈ dom vol
132131a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom vol)
133 elunitcn 13504 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
134133, 49sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
135114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
136112, 121, 123, 135, 72cncfcompt2 24947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
137136resclunitintvd 42008 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
13819, 20, 1373jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
139 cnicciblnc 25892 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿1)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿1)
141130, 132, 134, 140iblss 25854 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1))) ∈ 𝐿1)
142105, 141eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))) ∈ 𝐿1)
143 cncfmptc 24951 . . . . . . . . . . . . 13 (((-1 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
144114, 114, 143mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 / 𝑁) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
14578, 144syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
146145resclunitintvd 42008 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (-1 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
147 expcncf 24966 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
14844, 147syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
149112, 121, 148, 124, 71cncfcompt2 24947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
150149resclunitintvd 42008 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
151146, 150mulcncf 25493 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
15219, 20, 111, 128, 142, 151ftc2 26099 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0)))
153 eqidd 2735 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))
154 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 1) → 𝑥 = 1)
155154oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
156155, 2eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 1) → (1 − 𝑥) = 0)
157156oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (0↑𝑁))
158 0exp 14134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
15910, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0↑𝑁) = 0)
160159adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 1) → (0↑𝑁) = 0)
161157, 160eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 0)
162161oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 0))
16378mul01d 11457 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0)
164163adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · 0) = 0)
165162, 164eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 1) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = 0)
166 1elunit 13506 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ (0[,]1)
167166a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
168 0cnd 11251 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
169153, 165, 167, 168fvmptd 7022 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) = 0)
170 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 0) → 𝑥 = 0)
171170oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
172 1m0e1 12384 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 − 0) = 1
173171, 172eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 = 0) → (1 − 𝑥) = 1)
174173oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = (1↑𝑁))
17544nn0zd 12636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
176 1exp 14128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
177175, 176syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
178177adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 = 0) → (1↑𝑁) = 1)
179174, 178eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 0) → ((1 − 𝑥)↑𝑁) = 1)
180179oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = ((-1 / 𝑁) · 1))
18178adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 = 0) → (-1 / 𝑁) ∈ ℂ)
182181mulridd 11275 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · 1) = (-1 / 𝑁))
183180, 182eqtrd 2774 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 0) → ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)) = (-1 / 𝑁))
184 0elunit 13505 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,]1)
185184a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
186153, 183, 185, 78fvmptd 7022 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0) = (-1 / 𝑁))
187169, 186oveq12d 7448 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘1) − ((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁)))‘0)) = (0 − (-1 / 𝑁)))
188152, 187eqtrd 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (0 − (-1 / 𝑁)))
189 df-neg 11492 . . . . . . . . . 10 --(1 / 𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁))
190189a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (0 − -(1 / 𝑁)))
19161, 76, 77divnegd 12053 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(1 / 𝑁) = (-1 / 𝑁))
192191oveq2d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − -(1 / 𝑁)) = (0 − (-1 / 𝑁)))
193190, 192eqtr2d 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = --(1 / 𝑁))
19476, 77reccld 12033 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
195194negnegd 11608 . . . . . . . 8 (𝜑 → --(1 / 𝑁) = (1 / 𝑁))
196193, 195eqtrd 2774 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 − (-1 / 𝑁)) = (1 / 𝑁))
197188, 196eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)1)((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((-1 / 𝑁) · ((1 − 𝑥)↑𝑁))))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁))
198109, 197eqtr3d 2776 . . . . 5 (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 1)))‘𝑡) d𝑡 = (1 / 𝑁))
19937, 198eqtr3d 2776 . . . 4 (𝜑 → ∫(0(,)1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁))
20022, 199eqtr3d 2776 . . 3 (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / 𝑁))
201 bcn1 14348 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C1) = 𝑁)
20244, 201syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁C1) = 𝑁)
203202oveq2d 7446 . . . . 5 (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = (1 · 𝑁))
20476mullidd 11276 . . . . 5 (𝜑 → (1 · 𝑁) = 𝑁)
205203, 204eqtrd 2774 . . . 4 (𝜑 → (1 · (𝑁C1)) = 𝑁)
206205oveq2d 7446 . . 3 (𝜑 → (1 / (1 · (𝑁C1))) = (1 / 𝑁))
207200, 206eqtr4d 2777 . 2 (𝜑 → ∫(0[,]1)((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1)) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
20818, 207eqtrd 2774 1 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑡↑(1 − 1)) · ((1 − 𝑡)↑(𝑁 − 1))) d𝑡 = (1 / (1 · (𝑁C1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wss 3962  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  0cn0 12523  cz 12610  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  cexp 14098  Ccbc 14337  cnccncf 24915  volcvol 25511  𝐿1cibl 25665  citg 25666   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916
This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  42022
  Copyright terms: Public domain W3C validator