Theorem resclunitintvd 42015

Description: Restrict continuous function on closed unit interval. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
resclunitintvd.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
resclunitintvd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))

Proof of Theorem resclunitintvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitsscn 13461	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
2		resmpt 6008	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴)
4		resclunitintvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5		rescncf 24790	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
8	3, 7	eqeltrrid 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5188   ↾ cres 5640  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069  [,]cicc 13309  –cn→ccncf 24769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-icc 13313  df-cncf 24771

This theorem is referenced by:  lcmineqlem10  42026  lcmineqlem12  42028