Theorem resclunitintvd 42835

Description: Restrict continuous function on closed unit interval. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
resclunitintvd.1	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
resclunitintvd	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))

Proof of Theorem resclunitintvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitsscn 13545	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
2		resmpt 6044	. . 3 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0[,]1)) = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴)
4		resclunitintvd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5		rescncf 25093	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)))
6	1, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
7	4, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝐴) ↾ (0[,]1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
8	3, 7	eqeltrrid 2871	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ 𝐴) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908   ↦ cmpt 5197   ↾ cres 5668  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  0cc0 11118  1c1 11119  [,]cicc 13393  –cn→ccncf 25072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-icc 13397  df-cncf 25074

This theorem is used by:  lcmineqlem10  42846  lcmineqlem12  42848