Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3factsumint Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3factsumint 40878
Description: Helpful equation for lcm inequality proof. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
3factsumint.1 𝐴 = (𝐿[,]π‘ˆ)
3factsumint.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
3factsumint.3 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
3factsumint.4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
3factsumint.5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
3factsumint.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ β„‚)
3factsumint.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
Assertion
Ref Expression
3factsumint (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐹 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 (𝐺 Β· 𝐻)) dπ‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 (𝐺 Β· ∫𝐴(𝐹 Β· 𝐻) dπ‘₯))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,π‘₯   𝐡,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯,π‘˜)   𝐹(π‘₯)   𝐺(π‘˜)   𝐻(π‘₯,π‘˜)   𝐿(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem 3factsumint
StepHypRef Expression
1 3factsumint.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ Fin)
2 3factsumint.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
3 cncff 24400 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚)
5 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹)
65fmpt 7106 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚)
74, 6sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐹 ∈ β„‚)
87r19.21bi 3248 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
9 3factsumint.6 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ β„‚)
10 3factsumint.7 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚))
11 cncff 24400 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cnβ†’β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐻):π΄βŸΆβ„‚)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐻):π΄βŸΆβ„‚)
13 eqid 2732 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐻)
1413fmpt 7106 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐻 ∈ β„‚ ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐻):π΄βŸΆβ„‚)
1512, 14sylibr 233 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝐻 ∈ β„‚)
1615r19.21bi 3248 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐻 ∈ β„‚)
17 anass 469 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)))
18 ancom 461 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐡))
1918anbi2i 623 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)))
2017, 19bitri 274 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ↔ (πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)))
2120imbi1i 349 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐻 ∈ β„‚) ↔ ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐻 ∈ β„‚))
2216, 21mpbi 229 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ π‘˜ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐻 ∈ β„‚)
231, 8, 9, 223factsumint4 40877 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ«π΄Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 (𝐹 Β· (𝐺 Β· 𝐻)) dπ‘₯ = ∫𝐴(𝐹 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 (𝐺 Β· 𝐻)) dπ‘₯)
24 3factsumint.1 . . . 4 𝐴 = (𝐿[,]π‘ˆ)
25 3factsumint.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
26 3factsumint.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
2724, 1, 25, 26, 8, 2, 9, 22, 103factsumint1 40874 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ«π΄Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 (𝐹 Β· (𝐺 Β· 𝐻)) dπ‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 ∫𝐴(𝐹 Β· (𝐺 Β· 𝐻)) dπ‘₯)
2823, 27eqtr3d 2774 . 2 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐹 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 (𝐺 Β· 𝐻)) dπ‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 ∫𝐴(𝐹 Β· (𝐺 Β· 𝐻)) dπ‘₯)
298, 9, 223factsumint2 40875 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 ∫𝐴(𝐹 Β· (𝐺 Β· 𝐻)) dπ‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 ∫𝐴(𝐺 Β· (𝐹 Β· 𝐻)) dπ‘₯)
3024, 25, 26, 8, 2, 9, 22, 103factsumint3 40876 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 ∫𝐴(𝐺 Β· (𝐹 Β· 𝐻)) dπ‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 (𝐺 Β· ∫𝐴(𝐹 Β· 𝐻) dπ‘₯))
3128, 29, 303eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ ∫𝐴(𝐹 Β· Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 (𝐺 Β· 𝐻)) dπ‘₯ = Ξ£π‘˜ ∈ 𝐡 (𝐺 Β· ∫𝐴(𝐹 Β· 𝐻) dπ‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6536  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105   Β· cmul 11111  [,]cicc 13323  Ξ£csu 15628  β€“cnβ†’ccncf 24383  βˆ«citg 25126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-ibl 25130  df-itg 25131  df-0p 25178
This theorem is referenced by:  lcmineqlem2  40883
  Copyright terms: Public domain W3C validator