Theorem 3factsumint 42643

Description: Helpful equation for lcm inequality proof. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3factsumint.1	⊢ 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
3factsumint.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
3factsumint.3	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
3factsumint.4	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
3factsumint.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
3factsumint.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
3factsumint.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
3factsumint	⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐹 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem 3factsumint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3factsumint.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
2		3factsumint.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
3		cncff 24956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
5		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹)
6	5	fmpt 7092	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
7	4, 6	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ℂ)
8	7	r19.21bi 3255	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
9		3factsumint.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
10		3factsumint.7	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
11		cncff 24956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻):𝐴⟶ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻):𝐴⟶ℂ)
13		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻)
14	13	fmpt 7092	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐻 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻):𝐴⟶ℂ)
15	12, 14	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐻 ∈ ℂ)
16	15	r19.21bi 3255	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ)
17		anass 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
18		ancom 464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
19	18	anbi2i 632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
20	17, 19	bitri 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
21	20	imbi1i 351	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ))
22	16, 21	mpbi 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
23	1, 8, 9, 22	3factsumint4 42642	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = ∫𝐴(𝐹 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · 𝐻)) d𝑥)
24		3factsumint.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
25		3factsumint.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
26		3factsumint.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
27	24, 1, 25, 26, 8, 2, 9, 22, 10	3factsumint1 42639	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥)
28	23, 27	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐹 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥)
29	8, 9, 22	3factsumint2 42640	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥)
30	24, 25, 26, 8, 2, 9, 22, 10	3factsumint3 42641	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))
31	28, 29, 30	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐹 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077   ↦ cmpt 5182  ⟶wf 6518  (class class class)co 7397  Fincfn 8928  ℂcc 11072  ℝcr 11073   · cmul 11079  [,]cicc 13353  Σcsu 15714  –cn→ccncf 24939  ∫citg 25681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-inf2 9597  ax-cc 10393  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5069  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-isom 6531  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-of 7661  df-ofr 7662  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8142  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-oadd 8442  df-omul 8443  df-er 8679  df-map 8811  df-pm 8812  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-fsupp 9309  df-fi 9358  df-sup 9389  df-inf 9390  df-oi 9459  df-dju 9860  df-card 9898  df-acn 9901  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-q 12951  df-rp 12995  df-xneg 13115  df-xadd 13116  df-xmul 13117  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13803  df-mod 13881  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14345  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-limsup 15499  df-clim 15516  df-rlim 15517  df-sum 15715  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-rest 17452  df-topn 17453  df-0g 17471  df-gsum 17472  df-topgen 17473  df-pt 17474  df-prds 17477  df-xrs 17533  df-qtop 17538  df-imas 17539  df-xps 17541  df-mre 17615  df-mrc 17616  df-acs 17618  df-mgm 18675  df-sgrp 18754  df-mnd 18770  df-submnd 18819  df-mulg 19111  df-cntz 19358  df-cmn 19823  df-psmet 21417  df-xmet 21418  df-met 21419  df-bl 21420  df-mopn 21421  df-cnfld 21426  df-top 22955  df-topon 22972  df-topsp 22994  df-bases 23007  df-cn 23288  df-cnp 23289  df-cmp 23448  df-tx 23623  df-hmeo 23816  df-xms 24381  df-ms 24382  df-tms 24383  df-cncf 24941  df-ovol 25527  df-vol 25528  df-mbf 25682  df-itg1 25683  df-itg2 25684  df-ibl 25685  df-itg 25686  df-0p 25733

This theorem is referenced by:  lcmineqlem2  42648