Theorem 3factsumint 40878

Description: Helpful equation for lcm inequality proof. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3factsumint.1	⊢ 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
3factsumint.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
3factsumint.3	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
3factsumint.4	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
3factsumint.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
3factsumint.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
3factsumint.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
3factsumint	⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐹 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem 3factsumint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3factsumint.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
2		3factsumint.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
3		cncff 24400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
5		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹)
6	5	fmpt 7106	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
7	4, 6	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ℂ)
8	7	r19.21bi 3248	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
9		3factsumint.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
10		3factsumint.7	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
11		cncff 24400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻):𝐴⟶ℂ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻):𝐴⟶ℂ)
13		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻)
14	13	fmpt 7106	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐻 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻):𝐴⟶ℂ)
15	12, 14	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐻 ∈ ℂ)
16	15	r19.21bi 3248	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ)
17		anass 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
18		ancom 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
19	18	anbi2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
20	17, 19	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
21	20	imbi1i 349	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ))
22	16, 21	mpbi 229	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
23	1, 8, 9, 22	3factsumint4 40877	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = ∫𝐴(𝐹 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · 𝐻)) d𝑥)
24		3factsumint.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
25		3factsumint.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
26		3factsumint.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
27	24, 1, 25, 26, 8, 2, 9, 22, 10	3factsumint1 40874	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥)
28	23, 27	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐹 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥)
29	8, 9, 22	3factsumint2 40875	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥)
30	24, 25, 26, 8, 2, 9, 22, 10	3factsumint3 40876	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))
31	28, 29, 30	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐹 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6536  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  ℂcc 11104  ℝcr 11105   · cmul 11111  [,]cicc 13323  Σcsu 15628  –cn→ccncf 24383  ∫citg 25126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-ibl 25130  df-itg 25131  df-0p 25178

This theorem is referenced by:  lcmineqlem2  40883