Theorem 3factsumint 42855

Description: Helpful equation for lcm inequality proof. (Contributed by metakunt, 26-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
3factsumint.1	⊢ 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
3factsumint.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
3factsumint.3	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
3factsumint.4	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
3factsumint.5	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
3factsumint.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
3factsumint.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
3factsumint	⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐹 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝑘,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥, 𝑘)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑥, 𝑘)   𝐿(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem 3factsumint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3factsumint.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
2		3factsumint.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
3		cncff 25108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
4	2, 3	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
5		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹)
6	5	fmpt 7110	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
7	4, 6	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐹 ∈ ℂ)
8	7	r19.21bi 3259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ ℂ)
9		3factsumint.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ ℂ)
10		3factsumint.7	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
11		cncff 25108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻):𝐴⟶ℂ)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻):𝐴⟶ℂ)
13		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻)
14	13	fmpt 7110	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐻 ∈ ℂ ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐻):𝐴⟶ℂ)
15	12, 14	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐻 ∈ ℂ)
16	15	r19.21bi 3259	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ)
17		anass 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)))
18		ancom 466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵))
19	18	anbi2i 635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
20	17, 19	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)))
21	20	imbi1i 352	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ))
22	16, 21	mpbi 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐻 ∈ ℂ)
23	1, 8, 9, 22	3factsumint4 42854	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = ∫𝐴(𝐹 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · 𝐻)) d𝑥)
24		3factsumint.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝐿[,]𝑈)
25		3factsumint.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
26		3factsumint.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
27	24, 1, 25, 26, 8, 2, 9, 22, 10	3factsumint1 42851	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥)
28	23, 27	eqtr3d 2802	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐹 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥)
29	8, 9, 22	3factsumint2 42852	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐹 · (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥)
30	24, 25, 26, 8, 2, 9, 22, 10	3factsumint3 42853	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐵 ∫𝐴(𝐺 · (𝐹 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))
31	28, 29, 30	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴(𝐹 · Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · 𝐻)) d𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 (𝐺 · ∫𝐴(𝐹 · 𝐻) d𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6537  (class class class)co 7420  Fincfn 8950  ℂcc 11118  ℝcr 11119   · cmul 11125  [,]cicc 13396  Σcsu 15766  –cn→ccncf 25091  ∫citg 25833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-inf2 9618  ax-cc 10435  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198  ax-addf 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-omul 8465  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8903  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-fsupp 9330  df-fi 9379  df-sup 9410  df-inf 9411  df-oi 9480  df-dju 9904  df-card 9942  df-acn 9945  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-q 12994  df-rp 13038  df-xneg 13158  df-xadd 13159  df-xmul 13160  df-ioo 13397  df-ioc 13398  df-ico 13399  df-icc 13400  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-fl 13848  df-mod 13926  df-seq 14061  df-exp 14121  df-hash 14390  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-limsup 15551  df-clim 15568  df-rlim 15569  df-sum 15767  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-mulr 17351  df-starv 17352  df-sca 17353  df-vsca 17354  df-ip 17355  df-tset 17356  df-ple 17357  df-ds 17359  df-unif 17360  df-hom 17361  df-cco 17362  df-rest 17502  df-topn 17503  df-0g 17521  df-gsum 17522  df-topgen 17523  df-pt 17524  df-prds 17527  df-xrs 17583  df-qtop 17588  df-imas 17589  df-xps 17591  df-mre 17665  df-mrc 17666  df-acs 17668  df-mgm 18725  df-sgrp 18814  df-mnd 18830  df-submnd 18884  df-mulg 19183  df-cntz 19436  df-cmn 19901  df-psmet 21569  df-xmet 21570  df-met 21571  df-bl 21572  df-mopn 21573  df-cnfld 21578  df-top 23106  df-topon 23123  df-topsp 23145  df-bases 23158  df-cn 23439  df-cnp 23440  df-cmp 23599  df-tx 23775  df-hmeo 23968  df-xms 24533  df-ms 24534  df-tms 24535  df-cncf 25093  df-ovol 25679  df-vol 25680  df-mbf 25834  df-itg1 25835  df-itg2 25836  df-ibl 25837  df-itg 25838  df-0p 25885

This theorem is used by:  lcmineqlem2  42860