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Theorem lcmineqlem10 42020
Description: Induction step of lcmineqlem13 42023 (deduction form). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem10.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.3 (𝜑𝑀 < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem10 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀

Proof of Theorem lcmineqlem10
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem10.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nncnd 12280 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3 lcmineqlem10.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nncnd 12280 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
52, 4subcld 11618 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
6 elunitcn 13505 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
73nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
8 expcl 14117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑀) ∈ ℂ)
97, 8sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥𝑀) ∈ ℂ)
109ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑀) ∈ ℂ)
116, 10sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥𝑀) ∈ ℂ)
12 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
1412, 13subcld 11618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
15 lcmineqlem10.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 < 𝑁)
163nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
171nnzd 12638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
18 znnsub 12661 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
2015, 19mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
21 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
2414, 23expcld 14183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
256, 24sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
2611, 25mulcld 11279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
27 0red 11262 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
28 1red 11260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29 expcncf 24967 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
307, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31 1nn 12275 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
3320nnge1d 12312 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ (𝑁𝑀))
3432, 20, 33lcmineqlem9 42019 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3530, 34mulcncf 25494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3635resclunitintvd 42009 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
37 cnicciblnc 25893 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿1)
3827, 28, 36, 37syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿1)
3926, 38itgcl 25834 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥 ∈ ℂ)
405, 39mulneg1d 11714 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = -((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥))
415negcld 11605 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -(𝑁𝑀) ∈ ℂ)
4241, 26, 38itgmulc2 25884 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥)
432adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
444adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
4543, 44subcld 11618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
4645negcld 11605 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → -(𝑁𝑀) ∈ ℂ)
4710, 46, 24mul12d 11468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) = (-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
486, 47sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) = (-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
4948itgeq2dv 25832 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥)
502adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
5250, 51subcld 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
5352negcld 11605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → -(𝑁𝑀) ∈ ℂ)
5453, 25mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
5511, 54mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ ℂ)
5627, 28, 55itgioo 25866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥)
57 0le1 11784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 1
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 1)
5930resclunitintvd 42009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑀)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
603nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
611nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
62 ltle 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
6360, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
6415, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀𝑁)
653, 1, 64lcmineqlem9 42019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6665resclunitintvd 42009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
67 ssid 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ ⊆ ℂ
68 cncfmptc 24952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6967, 67, 68mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
704, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7170resopunitintvd 42008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑀) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
72 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
73 expcncf 24967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
743, 72, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7574resopunitintvd 42008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
7671, 75mulcncf 25494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
77 cncfmptc 24952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-(𝑁𝑀) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7867, 67, 77mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-(𝑁𝑀) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7941, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8079resopunitintvd 42008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ -(𝑁𝑀)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
8134resopunitintvd 42008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
8280, 81mulcncf 25494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
83 ioossicc 13470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ (0[,]1))
85 ioombl 25614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)1) ∈ dom vol
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom vol)
8779, 34mulcncf 25494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8830, 87mulcncf 25494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8988resclunitintvd 42009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
90 cnicciblnc 25893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿1)
9127, 28, 89, 90syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿1)
9284, 86, 55, 91iblss 25855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿1)
933, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
94 expcl 14117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
9593, 94sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
9695ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
976, 96sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
9851, 97mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
9920nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
10114, 100expcld 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) ∈ ℂ)
1026, 101sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) ∈ ℂ)
10398, 102mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) ∈ ℂ)
10470, 74mulcncf 25494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
105104, 65mulcncf 25494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
106105resclunitintvd 42009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
107 cnicciblnc 25893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
10827, 28, 106, 107syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
10984, 86, 103, 108iblss 25855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
110 dvexp 26006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
1113, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
11244, 96mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
113111, 10, 112resdvopclptsd 42010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑀))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
1143, 1, 15lcmineqlem8 42018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
11546, 24mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
116114, 101, 115resdvopclptsd 42010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
117 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑀) = (0↑𝑀))
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑥𝑀) = (0↑𝑀))
11930expd 14176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0↑𝑀) = 0)
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 = 0) → (0↑𝑀) = 0)
121118, 120eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑥𝑀) = 0)
122121oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 0) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))))
123 0cn 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℂ
124 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
125123, 124mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
126101mul02d 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = 0)
127125, 126sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 0) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = 0)
128122, 127eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 0) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = 0)
129 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
130 1m1e0 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 − 1) = 0
131129, 130eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
132131oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = (0↑(𝑁𝑀)))
133132adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = (0↑(𝑁𝑀)))
134200expd 14176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0↑(𝑁𝑀)) = 0)
135134adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 = 1) → (0↑(𝑁𝑀)) = 0)
136133, 135eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = 0)
137136oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 1) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = ((𝑥𝑀) · 0))
138 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
139 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 1 ∈ ℂ))
140138, 139mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
14110mul01d 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑀) · 0) = 0)
142140, 141sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 1) → ((𝑥𝑀) · 0) = 0)
143137, 142eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 1) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = 0)
14427, 28, 58, 59, 66, 76, 82, 92, 109, 113, 116, 128, 143itgparts 26103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
14556, 144eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
14627, 28, 103itgioo 25866 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)
147146oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
148145, 147eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
149 0m0e0 12384 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − 0) = 0
150149oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)
151148, 150eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
15249, 151eqtr3d 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0[,]1)(-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
15342, 152eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
15444, 96, 101mulassd 11282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))))
1556, 154sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))))
156155itgeq2dv 25832 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥)
157156oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥))
158153, 157eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥))
15997, 102mulcld 11279 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) ∈ ℂ)
16074, 65mulcncf 25494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
161160resclunitintvd 42009 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
162 cnicciblnc 25893 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
16327, 28, 161, 162syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
1644, 159, 163itgmulc2 25884 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥)
165164oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥))
166158, 165eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)))
167 df-neg 11493 . . . . . . . 8 -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
168166, 167eqtr4di 2793 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
16940, 168eqtr3d 2777 . . . . . 6 (𝜑 → -((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
1705, 39mulcld 11279 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) ∈ ℂ)
171159, 163itgcl 25834 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 ∈ ℂ)
1724, 171mulcld 11279 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) ∈ ℂ)
173170, 172neg11ad 11614 . . . . . 6 (𝜑 → (-((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) ↔ ((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)))
174169, 173mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
17520nnne0d 12314 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑀) ≠ 0)
176172, 5, 39, 175divmuld 12063 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥 ↔ ((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)))
177174, 176mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥)
178138a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1794, 178pncand 11619 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
180179eqcomd 2741 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1))
181180oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑀) = (𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)))
1822, 4, 178subsub4d 11649 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑀) − 1) = (𝑁 − (𝑀 + 1)))
183182oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1))))
184181, 183oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
185184adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
186185itgeq2dv 25832 . . . 4 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
187177, 186eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
188187eqcomd 2741 . 2 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)))
1894, 171, 5, 175div23d 12078 . 2 (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)) = ((𝑀 / (𝑁𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
190188, 189eqtrd 2775 1 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  cexp 14099  cnccncf 24916  volcvol 25512  𝐿1cibl 25666  citg 25667   D cdv 25913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-symdif 4259  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-itg2 25670  df-ibl 25671  df-itg 25672  df-0p 25719  df-limc 25916  df-dv 25917
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