Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem10 40495
Description: Induction step of lcmineqlem13 40498 (deduction form). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem10.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.3 (𝜑𝑀 < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem10 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀

Proof of Theorem lcmineqlem10
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem10.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nncnd 12169 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3 lcmineqlem10.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nncnd 12169 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
52, 4subcld 11512 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
6 elunitcn 13385 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
73nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
8 expcl 13985 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑀) ∈ ℂ)
97, 8sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥𝑀) ∈ ℂ)
109ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑀) ∈ ℂ)
116, 10sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥𝑀) ∈ ℂ)
12 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
13 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
1412, 13subcld 11512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
15 lcmineqlem10.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 < 𝑁)
163nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
171nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
18 znnsub 12549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
2015, 19mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
21 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
2414, 23expcld 14051 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
256, 24sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
2611, 25mulcld 11175 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
27 0red 11158 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
28 1red 11156 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29 expcncf 24289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
307, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31 1nn 12164 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
3320nnge1d 12201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ (𝑁𝑀))
3432, 20, 33lcmineqlem9 40494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3530, 34mulcncf 24810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3635resclunitintvd 40484 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
37 cnicciblnc 25207 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿1)
3827, 28, 36, 37syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿1)
3926, 38itgcl 25148 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥 ∈ ℂ)
405, 39mulneg1d 11608 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = -((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥))
415negcld 11499 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -(𝑁𝑀) ∈ ℂ)
4241, 26, 38itgmulc2 25198 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥)
432adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
444adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
4543, 44subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
4645negcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → -(𝑁𝑀) ∈ ℂ)
4710, 46, 24mul12d 11364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) = (-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
486, 47sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) = (-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
4948itgeq2dv 25146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥)
502adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
5250, 51subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
5352negcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → -(𝑁𝑀) ∈ ℂ)
5453, 25mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
5511, 54mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ ℂ)
5627, 28, 55itgioo 25180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥)
57 0le1 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 1
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 1)
5930resclunitintvd 40484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑀)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
603nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
611nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
62 ltle 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
6360, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
6415, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀𝑁)
653, 1, 64lcmineqlem9 40494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6665resclunitintvd 40484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
67 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ ⊆ ℂ
68 cncfmptc 24275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6967, 67, 68mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
704, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7170resopunitintvd 40483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑀) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
72 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
73 expcncf 24289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
743, 72, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7574resopunitintvd 40483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
7671, 75mulcncf 24810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
77 cncfmptc 24275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-(𝑁𝑀) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7867, 67, 77mp3an23 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-(𝑁𝑀) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7941, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8079resopunitintvd 40483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ -(𝑁𝑀)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
8134resopunitintvd 40483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
8280, 81mulcncf 24810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
83 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ (0[,]1))
85 ioombl 24929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)1) ∈ dom vol
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom vol)
8779, 34mulcncf 24810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8830, 87mulcncf 24810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8988resclunitintvd 40484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
90 cnicciblnc 25207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿1)
9127, 28, 89, 90syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿1)
9284, 86, 55, 91iblss 25169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿1)
933, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
94 expcl 13985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
9593, 94sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
9695ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
976, 96sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
9851, 97mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
9920nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
10114, 100expcld 14051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) ∈ ℂ)
1026, 101sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) ∈ ℂ)
10398, 102mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) ∈ ℂ)
10470, 74mulcncf 24810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
105104, 65mulcncf 24810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
106105resclunitintvd 40484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
107 cnicciblnc 25207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
10827, 28, 106, 107syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
10984, 86, 103, 108iblss 25169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
110 dvexp 25317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
1113, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
11244, 96mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
113111, 10, 112resdvopclptsd 40485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑀))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
1143, 1, 15lcmineqlem8 40493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
11546, 24mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
116114, 101, 115resdvopclptsd 40485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
117 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑀) = (0↑𝑀))
118117adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑥𝑀) = (0↑𝑀))
11930expd 14044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0↑𝑀) = 0)
120119adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 = 0) → (0↑𝑀) = 0)
121118, 120eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑥𝑀) = 0)
122121oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 0) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))))
123 0cn 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℂ
124 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
125123, 124mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
126101mul02d 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = 0)
127125, 126sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 0) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = 0)
128122, 127eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 0) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = 0)
129 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
130 1m1e0 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 − 1) = 0
131129, 130eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
132131oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = (0↑(𝑁𝑀)))
133132adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = (0↑(𝑁𝑀)))
134200expd 14044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0↑(𝑁𝑀)) = 0)
135134adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 = 1) → (0↑(𝑁𝑀)) = 0)
136133, 135eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = 0)
137136oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 1) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = ((𝑥𝑀) · 0))
138 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
139 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 1 ∈ ℂ))
140138, 139mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
14110mul01d 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑀) · 0) = 0)
142140, 141sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 1) → ((𝑥𝑀) · 0) = 0)
143137, 142eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 1) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = 0)
14427, 28, 58, 59, 66, 76, 82, 92, 109, 113, 116, 128, 143itgparts 25411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
14556, 144eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
14627, 28, 103itgioo 25180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)
147146oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
148145, 147eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
149 0m0e0 12273 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − 0) = 0
150149oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)
151148, 150eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
15249, 151eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0[,]1)(-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
15342, 152eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
15444, 96, 101mulassd 11178 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))))
1556, 154sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))))
156155itgeq2dv 25146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥)
157156oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥))
158153, 157eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥))
15997, 102mulcld 11175 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) ∈ ℂ)
16074, 65mulcncf 24810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
161160resclunitintvd 40484 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
162 cnicciblnc 25207 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
16327, 28, 161, 162syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
1644, 159, 163itgmulc2 25198 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥)
165164oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥))
166158, 165eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)))
167 df-neg 11388 . . . . . . . 8 -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
168166, 167eqtr4di 2794 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
16940, 168eqtr3d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → -((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
1705, 39mulcld 11175 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) ∈ ℂ)
171159, 163itgcl 25148 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 ∈ ℂ)
1724, 171mulcld 11175 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) ∈ ℂ)
173170, 172neg11ad 11508 . . . . . 6 (𝜑 → (-((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) ↔ ((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)))
174169, 173mpbid 231 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
17520nnne0d 12203 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑀) ≠ 0)
176172, 5, 39, 175divmuld 11953 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥 ↔ ((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)))
177174, 176mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥)
178138a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1794, 178pncand 11513 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
180179eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1))
181180oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑀) = (𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)))
1822, 4, 178subsub4d 11543 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑀) − 1) = (𝑁 − (𝑀 + 1)))
183182oveq2d 7373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1))))
184181, 183oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
185184adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
186185itgeq2dv 25146 . . . 4 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
187177, 186eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
188187eqcomd 2742 . 2 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)))
1894, 171, 5, 175div23d 11968 . 2 (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)) = ((𝑀 / (𝑁𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
190188, 189eqtrd 2776 1 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  cexp 13967  cnccncf 24239  volcvol 24827  𝐿1cibl 24981  citg 24982   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  40498
  Copyright terms: Public domain W3C validator