lcmineqlem10 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem10 42402

Description: Induction step of lcmineqlem13 42405 (deduction form). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lcmineqlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem10	⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑥 𝑥,𝑁 𝑥,𝑀

**Proof of Theorem lcmineqlem10**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem10.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		lcmineqlem10.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
5	2, 4	subcld 11504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
6		elunitcn 13396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	3	nnnn0d 12474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
8		expcl 14014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
9	7, 8	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
10	9	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
11	6, 10	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
12		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
13		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14	12, 13	subcld 11504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
15		lcmineqlem10.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
16	3	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
17	1	nnzd 12526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18		znnsub 12549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
19	16, 17, 18	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
20	15, 19	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)
21		nnm1nn0 12454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
24	14, 23	expcld 14081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
25	6, 24	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
26	11, 25	mulcld 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
27		0red 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
28		1red 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		expcncf 24888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
30	7, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31		1nn 12168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
33	20	nnge1d 12205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
34	32, 20, 33	lcmineqlem9 42401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
35	30, 34	mulcncf 25414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
36	35	resclunitintvd 42391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
37		cnicciblnc 25812	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿¹)
38	27, 28, 36, 37	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿¹)
39	26, 38	itgcl 25753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 ∈ ℂ)
40	5, 39	mulneg1d 11602	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥))
41	5	negcld 11491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
42	41, 26, 38	itgmulc2 25803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥)
43	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
44	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
45	43, 44	subcld 11504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
46	45	negcld 11491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
47	10, 46, 24	mul12d 11354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) = (-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
48	6, 47	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) = (-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
49	48	itgeq2dv 25751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥)
50	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
51	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
52	50, 51	subcld 11504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
53	52	negcld 11491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
54	53, 25	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
55	11, 54	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ℂ)
56	27, 28, 55	itgioo 25785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥)
57		0le1 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 1
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
59	30	resclunitintvd 42391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
60	3	nnred 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
61	1	nnred 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
62		ltle 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
63	60, 61, 62	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
64	15, 63	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
65	3, 1, 64	lcmineqlem9 42401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
66	65	resclunitintvd 42391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
67		ssid 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
68		cncfmptc 24873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
69	67, 67, 68	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
70	4, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
71	70	resopunitintvd 42390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑀) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
72		nnm1nn0 12454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀)
73		expcncf 24888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ₀ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
74	3, 72, 73	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
75	74	resopunitintvd 42390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
76	71, 75	mulcncf 25414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
77		cncfmptc 24873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
78	67, 67, 77	mp3an23 1456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
79	41, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
80	79	resopunitintvd 42390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
81	34	resopunitintvd 42390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
82	80, 81	mulcncf 25414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
83		ioossicc 13361	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ (0[,]1))
85		ioombl 25534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(,)1) ∈ dom vol
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom vol)
87	79, 34	mulcncf 25414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
88	30, 87	mulcncf 25414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
89	88	resclunitintvd 42391	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
90		cnicciblnc 25812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿¹)
91	27, 28, 89, 90	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿¹)
92	84, 86, 55, 91	iblss 25774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿¹)
93	3, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀)
94		expcl 14014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
95	93, 94	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
96	95	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
97	6, 96	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
98	51, 97	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
99	20	nnnn0d 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
101	14, 100	expcld 14081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
102	6, 101	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
103	98, 102	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ℂ)
104	70, 74	mulcncf 25414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
105	104, 65	mulcncf 25414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
106	105	resclunitintvd 42391	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
107		cnicciblnc 25812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
108	27, 28, 106, 107	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
109	84, 86, 103, 108	iblss 25774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
110		dvexp 25925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
111	3, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
112	44, 96	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
113	111, 10, 112	resdvopclptsd 42392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
114	3, 1, 15	lcmineqlem8 42400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
115	46, 24	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
116	114, 101, 115	resdvopclptsd 42392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
117		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥↑𝑀) = (0↑𝑀))
118	117	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥↑𝑀) = (0↑𝑀))
119	3	0expd 14074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑀) = 0)
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (0↑𝑀) = 0)
121	118, 120	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥↑𝑀) = 0)
122	121	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
123		0cn 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℂ
124		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
125	123, 124	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
126	101	mul02d 11343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
127	125, 126	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
128	122, 127	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
129		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
130		1m1e0 12229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 − 1) = 0
131	129, 130	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
132	131	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = (0↑(𝑁 − 𝑀)))
133	132	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = (0↑(𝑁 − 𝑀)))
134	20	0expd 14074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0↑(𝑁 − 𝑀)) = 0)
135	134	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (0↑(𝑁 − 𝑀)) = 0)
136	133, 135	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = 0)
137	136	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = ((𝑥↑𝑀) · 0))
138		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
139		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 1 ∈ ℂ))
140	138, 139	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
141	10	mul01d 11344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥↑𝑀) · 0) = 0)
142	140, 141	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · 0) = 0)
143	137, 142	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
144	27, 28, 58, 59, 66, 76, 82, 92, 109, 113, 116, 128, 143	itgparts 26022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
145	56, 144	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
146	27, 28, 103	itgioo 25785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)
147	146	oveq2d 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
148	145, 147	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
149		0m0e0 12272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − 0) = 0
150	149	oveq1i 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)
151	148, 150	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
152	49, 151	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)(-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
153	42, 152	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
154	44, 96, 101	mulassd 11167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))))
155	6, 154	sylan2 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))))
156	155	itgeq2dv 25751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥)
157	156	oveq2d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥))
158	153, 157	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥))
159	97, 102	mulcld 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ℂ)
160	74, 65	mulcncf 25414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
161	160	resclunitintvd 42391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
162		cnicciblnc 25812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
163	27, 28, 161, 162	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
164	4, 159, 163	itgmulc2 25803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥)
165	164	oveq2d 7384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥))
166	158, 165	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)))
167		df-neg 11379	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
168	166, 167	eqtr4di 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
169	40, 168	eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
170	5, 39	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) ∈ ℂ)
171	159, 163	itgcl 25753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 ∈ ℂ)
172	4, 171	mulcld 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ∈ ℂ)
173	170, 172	neg11ad 11500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ↔ ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)))
174	169, 173	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
175	20	nnne0d 12207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ≠ 0)
176	172, 5, 39, 175	divmuld 11951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 ↔ ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)))
177	174, 176	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥)
178	138	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
179	4, 178	pncand 11505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
180	179	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1))
181	180	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥↑𝑀) = (𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)))
182	2, 4, 178	subsub4d 11535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) − 1) = (𝑁 − (𝑀 + 1)))
183	182	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1))))
184	181, 183	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
185	184	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
186	185	itgeq2dv 25751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
187	177, 186	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
188	187	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)))
189	4, 171, 5, 175	div23d 11966	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
190	188, 189	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ⊆ wss 3903 class class class wbr 5100 ↦ cmpt 5181 dom cdm 5632 (class class class)co 7368 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 < clt 11178 ≤ cle 11179 − cmin 11376 -cneg 11377 / cdiv 11806 ℕcn 12157 ℕ₀cn0 12413 ℤcz 12500 (,)cioo 13273 [,]cicc 13276 ↑cexp 13996 –cn→ccncf 24837 volcvol 25432 𝐿¹cibl 25586 ∫citg 25587 D cdv 25832

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5226 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-inf2 9562 ax-cc 10357 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116 ax-addf 11117

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-symdif 4207 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-tp 4587 df-op 4589 df-uni 4866 df-int 4905 df-iun 4950 df-iin 4951 df-disj 5068 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-se 5586 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-of 7632 df-ofr 7633 df-om 7819 df-1st 7943 df-2nd 7944 df-supp 8113 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-1o 8407 df-2o 8408 df-oadd 8411 df-omul 8412 df-er 8645 df-map 8777 df-pm 8778 df-ixp 8848 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-fsupp 9277 df-fi 9326 df-sup 9357 df-inf 9358 df-oi 9427 df-dju 9825 df-card 9863 df-acn 9866 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-div 11807 df-nn 12158 df-2 12220 df-3 12221 df-4 12222 df-5 12223 df-6 12224 df-7 12225 df-8 12226 df-9 12227 df-n0 12414 df-z 12501 df-dec 12620 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12918 df-xneg 13038 df-xadd 13039 df-xmul 13040 df-ioo 13277 df-ioc 13278 df-ico 13279 df-icc 13280 df-fz 13436 df-fzo 13583 df-fl 13724 df-mod 13802 df-seq 13937 df-exp 13997 df-hash 14266 df-cj 15034 df-re 15035 df-im 15036 df-sqrt 15170 df-abs 15171 df-clim 15423 df-rlim 15424 df-sum 15622 df-struct 17086 df-sets 17103 df-slot 17121 df-ndx 17133 df-base 17149 df-ress 17170 df-plusg 17202 df-mulr 17203 df-starv 17204 df-sca 17205 df-vsca 17206 df-ip 17207 df-tset 17208 df-ple 17209 df-ds 17211 df-unif 17212 df-hom 17213 df-cco 17214 df-rest 17354 df-topn 17355 df-0g 17373 df-gsum 17374 df-topgen 17375 df-pt 17376 df-prds 17379 df-xrs 17435 df-qtop 17440 df-imas 17441 df-xps 17443 df-mre 17517 df-mrc 17518 df-acs 17520 df-mgm 18577 df-sgrp 18656 df-mnd 18672 df-submnd 18721 df-mulg 19010 df-cntz 19258 df-cmn 19723 df-psmet 21313 df-xmet 21314 df-met 21315 df-bl 21316 df-mopn 21317 df-fbas 21318 df-fg 21319 df-cnfld 21322 df-top 22850 df-topon 22867 df-topsp 22889 df-bases 22902 df-cld 22975 df-ntr 22976 df-cls 22977 df-nei 23054 df-lp 23092 df-perf 23093 df-cn 23183 df-cnp 23184 df-haus 23271 df-cmp 23343 df-tx 23518 df-hmeo 23711 df-fil 23802 df-fm 23894 df-flim 23895 df-flf 23896 df-xms 24276 df-ms 24277 df-tms 24278 df-cncf 24839 df-ovol 25433 df-vol 25434 df-mbf 25588 df-itg1 25589 df-itg2 25590 df-ibl 25591 df-itg 25592 df-0p 25639 df-limc 25835 df-dv 25836

This theorem is referenced by: lcmineqlem13 42405

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