Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem10 41210
Description: Induction step of lcmineqlem13 41213 (deduction form). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem10.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem10.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem10.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem10 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘€

Proof of Theorem lcmineqlem10
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem10.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
21nncnd 12233 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 lcmineqlem10.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
43nncnd 12233 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
52, 4subcld 11576 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
6 elunitcn 13450 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
73nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
8 expcl 14050 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
97, 8sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
109ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
116, 10sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
12 1cnd 11214 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
13 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1412, 13subcld 11576 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
15 lcmineqlem10.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < ๐‘)
163nnzd 12590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
171nnzd 12590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
18 znnsub 12613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•))
1916, 17, 18syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•))
2015, 19mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•)
21 nnm1nn0 12518 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2414, 23expcld 14116 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
256, 24sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
2611, 25mulcld 11239 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
27 0red 11222 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
28 1red 11220 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
29 expcncf 24668 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
307, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
31 1nn 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„•
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
3320nnge1d 12265 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘€))
3432, 20, 33lcmineqlem9 41209 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
3530, 34mulcncf 25195 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
3635resclunitintvd 41199 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
37 cnicciblnc 25593 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ๐ฟ1)
3827, 28, 36, 37syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ๐ฟ1)
3926, 38itgcl 25534 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
405, 39mulneg1d 11672 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = -((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ))
415negcld 11563 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
4241, 26, 38itgmulc2 25584 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = โˆซ(0[,]1)(-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ)
432adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
444adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
4543, 44subcld 11576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
4645negcld 11563 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
4710, 46, 24mul12d 11428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) = (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
486, 47sylan2 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) = (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
4948itgeq2dv 25532 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)(-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ)
502adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
5250, 51subcld 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5352negcld 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5453, 25mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
5511, 54mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„‚)
5627, 28, 55itgioo 25566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ)
57 0le1 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โ‰ค 1
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
5930resclunitintvd 41199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€)) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
603nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
611nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
62 ltle 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
6360, 61, 62syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
6415, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
653, 1, 64lcmineqlem9 41209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
6665resclunitintvd 41199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
67 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 โ„‚ โŠ† โ„‚
68 cncfmptc 24653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง โ„‚ โŠ† โ„‚ โˆง โ„‚ โŠ† โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐‘€) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
6967, 67, 68mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐‘€) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
704, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐‘€) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
7170resopunitintvd 41198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ๐‘€) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
72 nnm1nn0 12518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
73 expcncf 24668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
743, 72, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
7574resopunitintvd 41198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
7671, 75mulcncf 25195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
77 cncfmptc 24653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง โ„‚ โŠ† โ„‚ โˆง โ„‚ โŠ† โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
7867, 67, 77mp3an23 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
7941, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
8079resopunitintvd 41198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
8134resopunitintvd 41198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
8280, 81mulcncf 25195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
83 ioossicc 13415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)1) โŠ† (0[,]1)
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (0(,)1) โŠ† (0[,]1))
85 ioombl 25315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)1) โˆˆ dom vol
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (0(,)1) โˆˆ dom vol)
8779, 34mulcncf 25195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
8830, 87mulcncf 25195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
8988resclunitintvd 41199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
90 cnicciblnc 25593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ๐ฟ1)
9127, 28, 89, 90syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ๐ฟ1)
9284, 86, 55, 91iblss 25555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ๐ฟ1)
933, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
94 expcl 14050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
9593, 94sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
9695ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
976, 96sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
9851, 97mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
9920nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
10114, 100expcld 14116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
1026, 101sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
10398, 102mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
10470, 74mulcncf 25195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
105104, 65mulcncf 25195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
106105resclunitintvd 41199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
107 cnicciblnc 25593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
10827, 28, 106, 107syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
10984, 86, 103, 108iblss 25555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
110 dvexp 25703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))))
1113, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))))
11244, 96mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
113111, 10, 112resdvopclptsd 41200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€))) = (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))))
1143, 1, 15lcmineqlem8 41208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
11546, 24mulcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
116114, 101, 115resdvopclptsd 41200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
117 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) = (0โ†‘๐‘€))
118117adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) = (0โ†‘๐‘€))
11930expd 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (0โ†‘๐‘€) = 0)
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (0โ†‘๐‘€) = 0)
121118, 120eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) = 0)
122121oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = (0 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))))
123 0cn 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 โˆˆ โ„‚
124 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†” 0 โˆˆ โ„‚))
125123, 124mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
126101mul02d 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = 0)
127125, 126sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (0 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = 0)
128122, 127eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = 0)
129 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) = (1 โˆ’ 1))
130 1m1e0 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 โˆ’ 1) = 0
131129, 130eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) = 0)
132131oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = (0โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
133132adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = (0โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
134200expd 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (0โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = 0)
135134adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ (0โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = 0)
136133, 135eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = 0)
137136oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท 0))
138 ax-1cn 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„‚
139 eleq1 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†” 1 โˆˆ โ„‚))
140138, 139mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
14110mul01d 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท 0) = 0)
142140, 141sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท 0) = 0)
143137, 142eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = 0)
14427, 28, 58, 59, 66, 76, 82, 92, 109, 113, 116, 128, 143itgparts 25797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0(,)1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
14556, 144eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0(,)1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
14627, 28, 103itgioo 25566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)
147146oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0(,)1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
148145, 147eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
149 0m0e0 12337 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 โˆ’ 0) = 0
150149oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)
151148, 150eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
15249, 151eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)(-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
15342, 152eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
15444, 96, 101mulassd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = (๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))))
1556, 154sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = (๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))))
156155itgeq2dv 25532 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ)
157156oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ))
158153, 157eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ))
15997, 102mulcld 11239 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
16074, 65mulcncf 25195 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
161160resclunitintvd 41199 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
162 cnicciblnc 25593 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
16327, 28, 161, 162syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
1644, 159, 163itgmulc2 25584 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ)
165164oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ))
166158, 165eqtr4d 2774 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)))
167 df-neg 11452 . . . . . . . 8 -(๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
168166, 167eqtr4di 2789 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = -(๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
16940, 168eqtr3d 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = -(๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
1705, 39mulcld 11239 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
171159, 163itgcl 25534 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1724, 171mulcld 11239 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
173170, 172neg11ad 11572 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = -(๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)))
174169, 173mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
17520nnne0d 12267 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
176172, 5, 39, 175divmuld 12017 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ โ†” ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)))
177174, 176mpbird 256 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ)
178138a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1794, 178pncand 11577 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
180179eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1))
181180oveq2d 7428 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) = (๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)))
1822, 4, 178subsub4d 11607 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))
183182oveq2d 7428 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1))))
184181, 183oveq12d 7430 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) = ((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))))
185184adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) = ((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))))
186185itgeq2dv 25532 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ)
187177, 186eqtrd 2771 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ)
188187eqcomd 2737 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
1894, 171, 5, 175div23d 12032 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
190188, 189eqtrd 2771 1 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  dom cdm 5677  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  โ†‘cexp 14032  โ€“cnโ†’ccncf 24617  volcvol 25213  ๐ฟ1cibl 25367  โˆซcitg 25368   D cdv 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-ofr 7674  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-mbf 25369  df-itg1 25370  df-itg2 25371  df-ibl 25372  df-itg 25373  df-0p 25420  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  41213
  Copyright terms: Public domain W3C validator