Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem10 40903
Description: Induction step of lcmineqlem13 40906 (deduction form). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem10.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem10.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem10.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem10 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘€

Proof of Theorem lcmineqlem10
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem10.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
21nncnd 12228 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 lcmineqlem10.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
43nncnd 12228 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
52, 4subcld 11571 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
6 elunitcn 13445 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
73nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
8 expcl 14045 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
97, 8sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
109ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
116, 10sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
12 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
13 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1412, 13subcld 11571 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
15 lcmineqlem10.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < ๐‘)
163nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
171nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
18 znnsub 12608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•))
1916, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•))
2015, 19mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•)
21 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2414, 23expcld 14111 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
256, 24sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
2611, 25mulcld 11234 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
27 0red 11217 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
28 1red 11215 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
29 expcncf 24442 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
307, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
31 1nn 12223 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„•
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
3320nnge1d 12260 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘€))
3432, 20, 33lcmineqlem9 40902 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
3530, 34mulcncf 24963 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
3635resclunitintvd 40892 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
37 cnicciblnc 25360 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ๐ฟ1)
3827, 28, 36, 37syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ๐ฟ1)
3926, 38itgcl 25301 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
405, 39mulneg1d 11667 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = -((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ))
415negcld 11558 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
4241, 26, 38itgmulc2 25351 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = โˆซ(0[,]1)(-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ)
432adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
444adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
4543, 44subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
4645negcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
4710, 46, 24mul12d 11423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) = (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
486, 47sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) = (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
4948itgeq2dv 25299 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)(-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ)
502adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
514adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
5250, 51subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5352negcld 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5453, 25mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
5511, 54mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„‚)
5627, 28, 55itgioo 25333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ)
57 0le1 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โ‰ค 1
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
5930resclunitintvd 40892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€)) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
603nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
611nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
62 ltle 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
6360, 61, 62syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
6415, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
653, 1, 64lcmineqlem9 40902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
6665resclunitintvd 40892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
67 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 โ„‚ โŠ† โ„‚
68 cncfmptc 24428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง โ„‚ โŠ† โ„‚ โˆง โ„‚ โŠ† โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐‘€) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
6967, 67, 68mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐‘€) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
704, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐‘€) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
7170resopunitintvd 40891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ๐‘€) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
72 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
73 expcncf 24442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
743, 72, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
7574resopunitintvd 40891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
7671, 75mulcncf 24963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
77 cncfmptc 24428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง โ„‚ โŠ† โ„‚ โˆง โ„‚ โŠ† โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
7867, 67, 77mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
7941, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
8079resopunitintvd 40891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
8134resopunitintvd 40891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
8280, 81mulcncf 24963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
83 ioossicc 13410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)1) โŠ† (0[,]1)
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (0(,)1) โŠ† (0[,]1))
85 ioombl 25082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)1) โˆˆ dom vol
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (0(,)1) โˆˆ dom vol)
8779, 34mulcncf 24963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
8830, 87mulcncf 24963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
8988resclunitintvd 40892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
90 cnicciblnc 25360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ๐ฟ1)
9127, 28, 89, 90syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ๐ฟ1)
9284, 86, 55, 91iblss 25322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ๐ฟ1)
933, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
94 expcl 14045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
9593, 94sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
9695ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
976, 96sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
9851, 97mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
9920nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
10099adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
10114, 100expcld 14111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
1026, 101sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
10398, 102mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
10470, 74mulcncf 24963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
105104, 65mulcncf 24963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
106105resclunitintvd 40892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
107 cnicciblnc 25360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
10827, 28, 106, 107syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
10984, 86, 103, 108iblss 25322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
110 dvexp 25470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))))
1113, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))))
11244, 96mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
113111, 10, 112resdvopclptsd 40893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€))) = (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))))
1143, 1, 15lcmineqlem8 40901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
11546, 24mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
116114, 101, 115resdvopclptsd 40893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
117 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) = (0โ†‘๐‘€))
118117adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) = (0โ†‘๐‘€))
11930expd 14104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (0โ†‘๐‘€) = 0)
120119adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (0โ†‘๐‘€) = 0)
121118, 120eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) = 0)
122121oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = (0 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))))
123 0cn 11206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 โˆˆ โ„‚
124 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†” 0 โˆˆ โ„‚))
125123, 124mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
126101mul02d 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = 0)
127125, 126sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (0 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = 0)
128122, 127eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = 0)
129 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) = (1 โˆ’ 1))
130 1m1e0 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 โˆ’ 1) = 0
131129, 130eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) = 0)
132131oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = (0โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
133132adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = (0โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
134200expd 14104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (0โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = 0)
135134adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ (0โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = 0)
136133, 135eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = 0)
137136oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท 0))
138 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„‚
139 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†” 1 โˆˆ โ„‚))
140138, 139mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
14110mul01d 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท 0) = 0)
142140, 141sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท 0) = 0)
143137, 142eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = 0)
14427, 28, 58, 59, 66, 76, 82, 92, 109, 113, 116, 128, 143itgparts 25564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0(,)1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
14556, 144eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0(,)1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
14627, 28, 103itgioo 25333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)
147146oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0(,)1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
148145, 147eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
149 0m0e0 12332 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 โˆ’ 0) = 0
150149oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)
151148, 150eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
15249, 151eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)(-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
15342, 152eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
15444, 96, 101mulassd 11237 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = (๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))))
1556, 154sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = (๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))))
156155itgeq2dv 25299 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ)
157156oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ))
158153, 157eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ))
15997, 102mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
16074, 65mulcncf 24963 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
161160resclunitintvd 40892 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
162 cnicciblnc 25360 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
16327, 28, 161, 162syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
1644, 159, 163itgmulc2 25351 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ)
165164oveq2d 7425 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ))
166158, 165eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)))
167 df-neg 11447 . . . . . . . 8 -(๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
168166, 167eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = -(๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
16940, 168eqtr3d 2775 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = -(๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
1705, 39mulcld 11234 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
171159, 163itgcl 25301 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1724, 171mulcld 11234 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
173170, 172neg11ad 11567 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = -(๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)))
174169, 173mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
17520nnne0d 12262 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
176172, 5, 39, 175divmuld 12012 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ โ†” ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)))
177174, 176mpbird 257 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ)
178138a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1794, 178pncand 11572 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
180179eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1))
181180oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) = (๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)))
1822, 4, 178subsub4d 11602 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))
183182oveq2d 7425 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1))))
184181, 183oveq12d 7427 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) = ((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))))
185184adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) = ((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))))
186185itgeq2dv 25299 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ)
187177, 186eqtrd 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ)
188187eqcomd 2739 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
1894, 171, 5, 175div23d 12027 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
190188, 189eqtrd 2773 1 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  dom cdm 5677  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  โ†‘cexp 14027  โ€“cnโ†’ccncf 24392  volcvol 24980  ๐ฟ1cibl 25134  โˆซcitg 25135   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  40906
  Copyright terms: Public domain W3C validator