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Theorem lcmineqlem10 39275
Description: Induction step of lcmineqlem13 39278 (deduction form). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem10.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.3 (𝜑𝑀 < 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem10 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑁   𝑥,𝑀

Proof of Theorem lcmineqlem10
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem10.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nncnd 11653 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3 lcmineqlem10.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nncnd 11653 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
52, 4subcld 10996 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
6 elunitcn 12858 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
73nnnn0d 11955 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
8 expcl 13455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑀) ∈ ℂ)
97, 8sylan2 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥𝑀) ∈ ℂ)
109ancoms 462 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝑀) ∈ ℂ)
116, 10sylan2 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥𝑀) ∈ ℂ)
12 1cnd 10635 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
13 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
1412, 13subcld 10996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
15 lcmineqlem10.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 < 𝑁)
163nnzd 12086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
171nnzd 12086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
18 znnsub 12028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
1916, 17, 18syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
2015, 19mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
21 nnm1nn0 11938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
2322adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
2414, 23expcld 13518 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
256, 24sylan2 595 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
2611, 25mulcld 10660 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
27 0red 10643 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
28 1red 10641 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29 expcncf 23537 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
307, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31 1nn 11648 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
3320nnge1d 11685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ (𝑁𝑀))
3432, 20, 33lcmineqlem9 39274 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3530, 34mulcncf 24056 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3635resclunitintvd 39264 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
37 cnicciblnc 24452 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿1)
3827, 28, 36, 37syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿1)
3926, 38itgcl 24393 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥 ∈ ℂ)
405, 39mulneg1d 11092 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = -((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥))
415negcld 10983 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -(𝑁𝑀) ∈ ℂ)
4241, 26, 38itgmulc2 24443 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥)
432adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
444adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
4543, 44subcld 10996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
4645negcld 10983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → -(𝑁𝑀) ∈ ℂ)
4710, 46, 24mul12d 10848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) = (-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
486, 47sylan2 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) = (-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
4948itgeq2dv 24391 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥)
502adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
514adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
5250, 51subcld 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑁𝑀) ∈ ℂ)
5352negcld 10983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → -(𝑁𝑀) ∈ ℂ)
5453, 25mulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
5511, 54mulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ ℂ)
5627, 28, 55itgioo 24425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥)
57 0le1 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 1
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ 1)
5930resclunitintvd 39264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑀)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
603nnred 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
611nnred 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
62 ltle 10728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
6360, 61, 62syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 < 𝑁𝑀𝑁))
6415, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀𝑁)
653, 1, 64lcmineqlem9 39274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6665resclunitintvd 39264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
67 ssid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℂ ⊆ ℂ
68 cncfmptc 23523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6967, 67, 68mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
704, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7170resopunitintvd 39263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑀) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
72 nnm1nn0 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
73 expcncf 23537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
743, 72, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7574resopunitintvd 39263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
7671, 75mulcncf 24056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
77 cncfmptc 23523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-(𝑁𝑀) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7867, 67, 77mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-(𝑁𝑀) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7941, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8079resopunitintvd 39263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ -(𝑁𝑀)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
8134resopunitintvd 39263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
8280, 81mulcncf 24056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
83 ioossicc 12823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ (0[,]1))
85 ioombl 24175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)1) ∈ dom vol
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom vol)
8779, 34mulcncf 24056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8830, 87mulcncf 24056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8988resclunitintvd 39264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
90 cnicciblnc 24452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿1)
9127, 28, 89, 90syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿1)
9284, 86, 55, 91iblss 24414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿1)
933, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
94 expcl 13455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
9593, 94sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
9695ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
976, 96sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
9851, 97mulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
9920nnnn0d 11955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
10099adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
10114, 100expcld 13518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) ∈ ℂ)
1026, 101sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) ∈ ℂ)
10398, 102mulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) ∈ ℂ)
10470, 74mulcncf 24056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
105104, 65mulcncf 24056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
106105resclunitintvd 39264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
107 cnicciblnc 24452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
10827, 28, 106, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
10984, 86, 103, 108iblss 24414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
110 dvexp 24562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
1113, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
11244, 96mulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
113111, 10, 112resdvopclptsd 39265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝑀))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
1143, 1, 15lcmineqlem8 39273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
11546, 24mulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
116114, 101, 115resdvopclptsd 39265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))))
117 oveq1 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑀) = (0↑𝑀))
118117adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑥𝑀) = (0↑𝑀))
11930expd 13511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0↑𝑀) = 0)
120119adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 = 0) → (0↑𝑀) = 0)
121118, 120eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑥𝑀) = 0)
122121oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 0) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))))
123 0cn 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℂ
124 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
125123, 124mpbiri 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
126101mul02d 10837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = 0)
127125, 126sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 0) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = 0)
128122, 127eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 0) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = 0)
129 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
130 1m1e0 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 − 1) = 0
131129, 130syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
132131oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = (0↑(𝑁𝑀)))
133132adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = (0↑(𝑁𝑀)))
134200expd 13511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0↑(𝑁𝑀)) = 0)
135134adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 = 1) → (0↑(𝑁𝑀)) = 0)
136133, 135eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)) = 0)
137136oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 1) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = ((𝑥𝑀) · 0))
138 ax-1cn 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
139 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 1 ∈ ℂ))
140138, 139mpbiri 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
14110mul01d 10838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝑀) · 0) = 0)
142140, 141sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 = 1) → ((𝑥𝑀) · 0) = 0)
143137, 142eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = 1) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = 0)
14427, 28, 58, 59, 66, 76, 82, 92, 109, 113, 116, 128, 143itgparts 24656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
14556, 144eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
14627, 28, 103itgioo 24425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)
147146oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
148145, 147eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
149 0m0e0 11757 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − 0) = 0
150149oveq1i 7160 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)
151148, 150syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · (-(𝑁𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
15249, 151eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0[,]1)(-(𝑁𝑀) · ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
15342, 152eqtrd 2859 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
15444, 96, 101mulassd 10663 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))))
1556, 154sylan2 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))))
156155itgeq2dv 24391 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥)
157156oveq2d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥))
158153, 157eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥))
15997, 102mulcld 10660 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) ∈ ℂ)
16074, 65mulcncf 24056 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
161160resclunitintvd 39264 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
162 cnicciblnc 24452 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
16327, 28, 161, 162syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) ∈ 𝐿1)
1644, 159, 163itgmulc2 24443 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥)
165164oveq2d 7166 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀)))) d𝑥))
166158, 165eqtr4d 2862 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)))
167 df-neg 10872 . . . . . . . 8 -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
168166, 167syl6eqr 2877 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
16940, 168eqtr3d 2861 . . . . . 6 (𝜑 → -((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
1705, 39mulcld 10660 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) ∈ ℂ)
171159, 163itgcl 24393 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥 ∈ ℂ)
1724, 171mulcld 10660 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) ∈ ℂ)
173170, 172neg11ad 10992 . . . . . 6 (𝜑 → (-((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) ↔ ((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)))
174169, 173mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
17520nnne0d 11687 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑀) ≠ 0)
176172, 5, 39, 175divmuld 11437 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥 ↔ ((𝑁𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥)))
177174, 176mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥)
178138a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
1794, 178pncand 10997 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
180179eqcomd 2830 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1))
181180oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑀) = (𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)))
1822, 4, 178subsub4d 11027 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑀) − 1) = (𝑁 − (𝑀 + 1)))
183182oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1))))
184181, 183oveq12d 7168 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
185184adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
186185itgeq2dv 24391 . . . 4 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁𝑀) − 1))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
187177, 186eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
188187eqcomd 2830 . 2 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)))
1894, 171, 5, 175div23d 11452 . 2 (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥) / (𝑁𝑀)) = ((𝑀 / (𝑁𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
190188, 189eqtrd 2859 1 (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁𝑀))) d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3920   class class class wbr 5053  cmpt 5133  dom cdm 5543  (class class class)co 7150  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   < clt 10674  cle 10675  cmin 10869  -cneg 10870   / cdiv 11296  cn 11637  0cn0 11897  cz 11981  (,)cioo 12738  [,]cicc 12741  cexp 13437  cnccncf 23487  volcvol 24073  𝐿1cibl 24227  citg 24228   D cdv 24472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cc 9856  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-symdif 4205  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-ofr 7405  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-omul 8104  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-fi 8873  df-sup 8904  df-inf 8905  df-oi 8972  df-dju 9328  df-card 9366  df-acn 9369  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-xneg 12507  df-xadd 12508  df-xmul 12509  df-ioo 12742  df-ioc 12743  df-ico 12744  df-icc 12745  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-fl 13169  df-mod 13245  df-seq 13377  df-exp 13438  df-hash 13699  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-cmp 21998  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-ovol 24074  df-vol 24075  df-mbf 24229  df-itg1 24230  df-itg2 24231  df-ibl 24232  df-itg 24233  df-0p 24280  df-limc 24475  df-dv 24476
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