lcmineqlem10 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem10 42070

Description: Induction step of lcmineqlem13 42073 (deduction form). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lcmineqlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem10	⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑥 𝑥,𝑁 𝑥,𝑀

**Proof of Theorem lcmineqlem10**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem10.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		lcmineqlem10.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
5	2, 4	subcld 11469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
6		elunitcn 13365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	3	nnnn0d 12439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
8		expcl 13983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
9	7, 8	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
10	9	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
11	6, 10	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
12		1cnd 11104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
13		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14	12, 13	subcld 11469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
15		lcmineqlem10.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
16	3	nnzd 12492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
17	1	nnzd 12492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18		znnsub 12515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
20	15, 19	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)
21		nnm1nn0 12419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
23	22	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
24	14, 23	expcld 14050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
25	6, 24	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
26	11, 25	mulcld 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
27		0red 11112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
28		1red 11110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		expcncf 24845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
30	7, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31		1nn 12133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
33	20	nnge1d 12170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
34	32, 20, 33	lcmineqlem9 42069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
35	30, 34	mulcncf 25371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
36	35	resclunitintvd 42059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
37		cnicciblnc 25769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿¹)
38	27, 28, 36, 37	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿¹)
39	26, 38	itgcl 25710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 ∈ ℂ)
40	5, 39	mulneg1d 11567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥))
41	5	negcld 11456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
42	41, 26, 38	itgmulc2 25760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥)
43	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
44	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
45	43, 44	subcld 11469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
46	45	negcld 11456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
47	10, 46, 24	mul12d 11319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) = (-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
48	6, 47	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) = (-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
49	48	itgeq2dv 25708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥)
50	2	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
51	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
52	50, 51	subcld 11469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
53	52	negcld 11456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
54	53, 25	mulcld 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
55	11, 54	mulcld 11129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ℂ)
56	27, 28, 55	itgioo 25742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥)
57		0le1 11637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 1
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
59	30	resclunitintvd 42059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
60	3	nnred 12137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
61	1	nnred 12137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
62		ltle 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
63	60, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
64	15, 63	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
65	3, 1, 64	lcmineqlem9 42069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
66	65	resclunitintvd 42059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
67		ssid 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
68		cncfmptc 24830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
69	67, 67, 68	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
70	4, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
71	70	resopunitintvd 42058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑀) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
72		nnm1nn0 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀)
73		expcncf 24845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ₀ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
74	3, 72, 73	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
75	74	resopunitintvd 42058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
76	71, 75	mulcncf 25371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
77		cncfmptc 24830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
78	67, 67, 77	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
79	41, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
80	79	resopunitintvd 42058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
81	34	resopunitintvd 42058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
82	80, 81	mulcncf 25371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
83		ioossicc 13330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ (0[,]1))
85		ioombl 25491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(,)1) ∈ dom vol
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom vol)
87	79, 34	mulcncf 25371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
88	30, 87	mulcncf 25371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
89	88	resclunitintvd 42059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
90		cnicciblnc 25769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿¹)
91	27, 28, 89, 90	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿¹)
92	84, 86, 55, 91	iblss 25731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿¹)
93	3, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀)
94		expcl 13983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
95	93, 94	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
96	95	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
97	6, 96	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
98	51, 97	mulcld 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
99	20	nnnn0d 12439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
101	14, 100	expcld 14050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
102	6, 101	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
103	98, 102	mulcld 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ℂ)
104	70, 74	mulcncf 25371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
105	104, 65	mulcncf 25371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
106	105	resclunitintvd 42059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
107		cnicciblnc 25769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
108	27, 28, 106, 107	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
109	84, 86, 103, 108	iblss 25731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
110		dvexp 25882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
111	3, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
112	44, 96	mulcld 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
113	111, 10, 112	resdvopclptsd 42060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
114	3, 1, 15	lcmineqlem8 42068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
115	46, 24	mulcld 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
116	114, 101, 115	resdvopclptsd 42060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
117		oveq1 7353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥↑𝑀) = (0↑𝑀))
118	117	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥↑𝑀) = (0↑𝑀))
119	3	0expd 14043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑀) = 0)
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (0↑𝑀) = 0)
121	118, 120	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥↑𝑀) = 0)
122	121	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
123		0cn 11101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℂ
124		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
125	123, 124	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
126	101	mul02d 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
127	125, 126	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
128	122, 127	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
129		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
130		1m1e0 12194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 − 1) = 0
131	129, 130	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
132	131	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = (0↑(𝑁 − 𝑀)))
133	132	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = (0↑(𝑁 − 𝑀)))
134	20	0expd 14043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0↑(𝑁 − 𝑀)) = 0)
135	134	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (0↑(𝑁 − 𝑀)) = 0)
136	133, 135	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = 0)
137	136	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = ((𝑥↑𝑀) · 0))
138		ax-1cn 11061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
139		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 1 ∈ ℂ))
140	138, 139	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
141	10	mul01d 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥↑𝑀) · 0) = 0)
142	140, 141	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · 0) = 0)
143	137, 142	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
144	27, 28, 58, 59, 66, 76, 82, 92, 109, 113, 116, 128, 143	itgparts 25979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
145	56, 144	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
146	27, 28, 103	itgioo 25742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)
147	146	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
148	145, 147	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
149		0m0e0 12237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − 0) = 0
150	149	oveq1i 7356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)
151	148, 150	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
152	49, 151	eqtr3d 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)(-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
153	42, 152	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
154	44, 96, 101	mulassd 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))))
155	6, 154	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))))
156	155	itgeq2dv 25708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥)
157	156	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥))
158	153, 157	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥))
159	97, 102	mulcld 11129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ℂ)
160	74, 65	mulcncf 25371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
161	160	resclunitintvd 42059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
162		cnicciblnc 25769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
163	27, 28, 161, 162	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
164	4, 159, 163	itgmulc2 25760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥)
165	164	oveq2d 7362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥))
166	158, 165	eqtr4d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)))
167		df-neg 11344	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
168	166, 167	eqtr4di 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
169	40, 168	eqtr3d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
170	5, 39	mulcld 11129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) ∈ ℂ)
171	159, 163	itgcl 25710	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 ∈ ℂ)
172	4, 171	mulcld 11129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ∈ ℂ)
173	170, 172	neg11ad 11465	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ↔ ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)))
174	169, 173	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
175	20	nnne0d 12172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ≠ 0)
176	172, 5, 39, 175	divmuld 11916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 ↔ ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)))
177	174, 176	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥)
178	138	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
179	4, 178	pncand 11470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
180	179	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1))
181	180	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥↑𝑀) = (𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)))
182	2, 4, 178	subsub4d 11500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) − 1) = (𝑁 − (𝑀 + 1)))
183	182	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1))))
184	181, 183	oveq12d 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
185	184	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
186	185	itgeq2dv 25708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
187	177, 186	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
188	187	eqcomd 2737	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)))
189	4, 171, 5, 175	div23d 11931	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
190	188, 189	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∈ wcel 2111 ⊆ wss 3902 class class class wbr 5091 ↦ cmpt 5172 dom cdm 5616 (class class class)co 7346 ℂcc 11001 ℝcr 11002 0cc0 11003 1c1 11004 + caddc 11006 · cmul 11008 < clt 11143 ≤ cle 11144 − cmin 11341 -cneg 11342 / cdiv 11771 ℕcn 12122 ℕ₀cn0 12378 ℤcz 12465 (,)cioo 13242 [,]cicc 13245 ↑cexp 13965 –cn→ccncf 24794 volcvol 25389 𝐿¹cibl 25543 ∫citg 25544 D cdv 25789

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-rep 5217 ax-sep 5234 ax-nul 5244 ax-pow 5303 ax-pr 5370 ax-un 7668 ax-inf2 9531 ax-cc 10323 ax-cnex 11059 ax-resscn 11060 ax-1cn 11061 ax-icn 11062 ax-addcl 11063 ax-addrcl 11064 ax-mulcl 11065 ax-mulrcl 11066 ax-mulcom 11067 ax-addass 11068 ax-mulass 11069 ax-distr 11070 ax-i2m1 11071 ax-1ne0 11072 ax-1rid 11073 ax-rnegex 11074 ax-rrecex 11075 ax-cnre 11076 ax-pre-lttri 11077 ax-pre-lttrn 11078 ax-pre-ltadd 11079 ax-pre-mulgt0 11080 ax-pre-sup 11081 ax-addf 11082

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3742 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-symdif 4203 df-nul 4284 df-if 4476 df-pw 4552 df-sn 4577 df-pr 4579 df-tp 4581 df-op 4583 df-uni 4860 df-int 4898 df-iun 4943 df-iin 4944 df-disj 5059 df-br 5092 df-opab 5154 df-mpt 5173 df-tr 5199 df-id 5511 df-eprel 5516 df-po 5524 df-so 5525 df-fr 5569 df-se 5570 df-we 5571 df-xp 5622 df-rel 5623 df-cnv 5624 df-co 5625 df-dm 5626 df-rn 5627 df-res 5628 df-ima 5629 df-pred 6248 df-ord 6309 df-on 6310 df-lim 6311 df-suc 6312 df-iota 6437 df-fun 6483 df-fn 6484 df-f 6485 df-f1 6486 df-fo 6487 df-f1o 6488 df-fv 6489 df-isom 6490 df-riota 7303 df-ov 7349 df-oprab 7350 df-mpo 7351 df-of 7610 df-ofr 7611 df-om 7797 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-supp 8091 df-frecs 8211 df-wrecs 8242 df-recs 8291 df-rdg 8329 df-1o 8385 df-2o 8386 df-oadd 8389 df-omul 8390 df-er 8622 df-map 8752 df-pm 8753 df-ixp 8822 df-en 8870 df-dom 8871 df-sdom 8872 df-fin 8873 df-fsupp 9246 df-fi 9295 df-sup 9326 df-inf 9327 df-oi 9396 df-dju 9791 df-card 9829 df-acn 9832 df-pnf 11145 df-mnf 11146 df-xr 11147 df-ltxr 11148 df-le 11149 df-sub 11343 df-neg 11344 df-div 11772 df-nn 12123 df-2 12185 df-3 12186 df-4 12187 df-5 12188 df-6 12189 df-7 12190 df-8 12191 df-9 12192 df-n0 12379 df-z 12466 df-dec 12586 df-uz 12730 df-q 12844 df-rp 12888 df-xneg 13008 df-xadd 13009 df-xmul 13010 df-ioo 13246 df-ioc 13247 df-ico 13248 df-icc 13249 df-fz 13405 df-fzo 13552 df-fl 13693 df-mod 13771 df-seq 13906 df-exp 13966 df-hash 14235 df-cj 15003 df-re 15004 df-im 15005 df-sqrt 15139 df-abs 15140 df-clim 15392 df-rlim 15393 df-sum 15591 df-struct 17055 df-sets 17072 df-slot 17090 df-ndx 17102 df-base 17118 df-ress 17139 df-plusg 17171 df-mulr 17172 df-starv 17173 df-sca 17174 df-vsca 17175 df-ip 17176 df-tset 17177 df-ple 17178 df-ds 17180 df-unif 17181 df-hom 17182 df-cco 17183 df-rest 17323 df-topn 17324 df-0g 17342 df-gsum 17343 df-topgen 17344 df-pt 17345 df-prds 17348 df-xrs 17403 df-qtop 17408 df-imas 17409 df-xps 17411 df-mre 17485 df-mrc 17486 df-acs 17488 df-mgm 18545 df-sgrp 18624 df-mnd 18640 df-submnd 18689 df-mulg 18978 df-cntz 19227 df-cmn 19692 df-psmet 21281 df-xmet 21282 df-met 21283 df-bl 21284 df-mopn 21285 df-fbas 21286 df-fg 21287 df-cnfld 21290 df-top 22807 df-topon 22824 df-topsp 22846 df-bases 22859 df-cld 22932 df-ntr 22933 df-cls 22934 df-nei 23011 df-lp 23049 df-perf 23050 df-cn 23140 df-cnp 23141 df-haus 23228 df-cmp 23300 df-tx 23475 df-hmeo 23668 df-fil 23759 df-fm 23851 df-flim 23852 df-flf 23853 df-xms 24233 df-ms 24234 df-tms 24235 df-cncf 24796 df-ovol 25390 df-vol 25391 df-mbf 25545 df-itg1 25546 df-itg2 25547 df-ibl 25548 df-itg 25549 df-0p 25596 df-limc 25792 df-dv 25793

This theorem is referenced by: lcmineqlem13 42073

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