lcmineqlem10 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem10 42615

Description: Induction step of lcmineqlem13 42618 (deduction form). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lcmineqlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem10	⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑥 𝑥,𝑁 𝑥,𝑀

**Proof of Theorem lcmineqlem10**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem10.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		lcmineqlem10.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
5	2, 4	subcld 11535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
6		elunitcn 13465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	3	nnnn0d 12535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
8		expcl 14085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
9	7, 8	sylan2 602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
10	9	ancoms 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
11	6, 10	sylan2 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
12		1cnd 11168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
13		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14	12, 13	subcld 11535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
15		lcmineqlem10.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
16	3	nnzd 12587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
17	1	nnzd 12587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18		znnsub 12610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
19	16, 17, 18	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
20	15, 19	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)
21		nnm1nn0 12515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
23	22	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
24	14, 23	expcld 14152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
25	6, 24	sylan2 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
26	11, 25	mulcld 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
27		0red 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
28		1red 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		expcncf 24975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
30	7, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31		1nn 12214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
33	20	nnge1d 12254	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
34	32, 20, 33	lcmineqlem9 42614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
35	30, 34	mulcncf 25495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
36	35	resclunitintvd 42604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
37		cnicciblnc 25892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿¹)
38	27, 28, 36, 37	syl3anc 1389	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿¹)
39	26, 38	itgcl 25833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 ∈ ℂ)
40	5, 39	mulneg1d 11633	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥))
41	5	negcld 11522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
42	41, 26, 38	itgmulc2 25883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥)
43	2	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
44	4	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
45	43, 44	subcld 11535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
46	45	negcld 11522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
47	10, 46, 24	mul12d 11385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) = (-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
48	6, 47	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) = (-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
49	48	itgeq2dv 25831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥)
50	2	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
51	4	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
52	50, 51	subcld 11535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
53	52	negcld 11522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
54	53, 25	mulcld 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
55	11, 54	mulcld 11195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ℂ)
56	27, 28, 55	itgioo 25865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥)
57		0le1 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 1
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
59	30	resclunitintvd 42604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
60	3	nnred 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
61	1	nnred 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
62		ltle 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
63	60, 61, 62	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
64	15, 63	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
65	3, 1, 64	lcmineqlem9 42614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
66	65	resclunitintvd 42604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
67		ssid 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
68		cncfmptc 24961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
69	67, 67, 68	mp3an23 1473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
70	4, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
71	70	resopunitintvd 42603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑀) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
72		nnm1nn0 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀)
73		expcncf 24975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ₀ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
74	3, 72, 73	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
75	74	resopunitintvd 42603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
76	71, 75	mulcncf 25495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
77		cncfmptc 24961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((-(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
78	67, 67, 77	mp3an23 1473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
79	41, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
80	79	resopunitintvd 42603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
81	34	resopunitintvd 42603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
82	80, 81	mulcncf 25495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
83		ioossicc 13430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ (0[,]1))
85		ioombl 25614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(,)1) ∈ dom vol
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom vol)
87	79, 34	mulcncf 25495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
88	30, 87	mulcncf 25495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
89	88	resclunitintvd 42604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
90		cnicciblnc 25892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿¹)
91	27, 28, 89, 90	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿¹)
92	84, 86, 55, 91	iblss 25854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿¹)
93	3, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀)
94		expcl 14085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
95	93, 94	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
96	95	ancoms 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
97	6, 96	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
98	51, 97	mulcld 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
99	20	nnnn0d 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
100	99	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
101	14, 100	expcld 14152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
102	6, 101	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
103	98, 102	mulcld 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ℂ)
104	70, 74	mulcncf 25495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
105	104, 65	mulcncf 25495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
106	105	resclunitintvd 42604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
107		cnicciblnc 25892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
108	27, 28, 106, 107	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
109	84, 86, 103, 108	iblss 25854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
110		dvexp 26002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
111	3, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
112	44, 96	mulcld 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
113	111, 10, 112	resdvopclptsd 42605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
114	3, 1, 15	lcmineqlem8 42613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
115	46, 24	mulcld 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
116	114, 101, 115	resdvopclptsd 42605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
117		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥↑𝑀) = (0↑𝑀))
118	117	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥↑𝑀) = (0↑𝑀))
119	3	0expd 14145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑀) = 0)
120	119	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (0↑𝑀) = 0)
121	118, 120	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥↑𝑀) = 0)
122	121	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
123		0cn 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℂ
124		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
125	123, 124	mpbiri 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
126	101	mul02d 11374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
127	125, 126	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
128	122, 127	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
129		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
130		1m1e0 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 − 1) = 0
131	129, 130	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
132	131	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = (0↑(𝑁 − 𝑀)))
133	132	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = (0↑(𝑁 − 𝑀)))
134	20	0expd 14145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0↑(𝑁 − 𝑀)) = 0)
135	134	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (0↑(𝑁 − 𝑀)) = 0)
136	133, 135	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = 0)
137	136	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = ((𝑥↑𝑀) · 0))
138		ax-1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
139		eleq1 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 1 ∈ ℂ))
140	138, 139	mpbiri 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
141	10	mul01d 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥↑𝑀) · 0) = 0)
142	140, 141	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · 0) = 0)
143	137, 142	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
144	27, 28, 58, 59, 66, 76, 82, 92, 109, 113, 116, 128, 143	itgparts 26096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
145	56, 144	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
146	27, 28, 103	itgioo 25865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)
147	146	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
148	145, 147	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
149		0m0e0 12329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − 0) = 0
150	149	oveq1i 7400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)
151	148, 150	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
152	49, 151	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)(-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
153	42, 152	eqtrd 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
154	44, 96, 101	mulassd 11198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))))
155	6, 154	sylan2 602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))))
156	155	itgeq2dv 25831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥)
157	156	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥))
158	153, 157	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥))
159	97, 102	mulcld 11195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ℂ)
160	74, 65	mulcncf 25495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
161	160	resclunitintvd 42604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
162		cnicciblnc 25892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
163	27, 28, 161, 162	syl3anc 1389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
164	4, 159, 163	itgmulc2 25883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥)
165	164	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥))
166	158, 165	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)))
167		df-neg 11410	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
168	166, 167	eqtr4di 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
169	40, 168	eqtr3d 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
170	5, 39	mulcld 11195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) ∈ ℂ)
171	159, 163	itgcl 25833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 ∈ ℂ)
172	4, 171	mulcld 11195	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ∈ ℂ)
173	170, 172	neg11ad 11531	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ↔ ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)))
174	169, 173	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
175	20	nnne0d 12256	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ≠ 0)
176	172, 5, 39, 175	divmuld 11982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 ↔ ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)))
177	174, 176	mpbird 259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥)
178	138	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
179	4, 178	pncand 11536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
180	179	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1))
181	180	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥↑𝑀) = (𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)))
182	2, 4, 178	subsub4d 11566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) − 1) = (𝑁 − (𝑀 + 1)))
183	182	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1))))
184	181, 183	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
185	184	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
186	185	itgeq2dv 25831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
187	177, 186	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
188	187	eqcomd 2767	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)))
189	4, 171, 5, 175	div23d 11997	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
190	188, 189	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 399 = wceq 1559 ∈ wcel 2141 ⊆ wss 3902 class class class wbr 5097 ↦ cmpt 5178 dom cdm 5643 (class class class)co 7390 ℂcc 11064 ℝcr 11065 0cc0 11066 1c1 11067 + caddc 11069 · cmul 11071 < clt 11209 ≤ cle 11210 − cmin 11407 -cneg 11408 / cdiv 11837 ℕcn 12203 ℕ₀cn0 12474 ℤcz 12561 (,)cioo 13342 [,]cicc 13345 ↑cexp 14067 –cn→ccncf 24925 volcvol 25512 𝐿¹cibl 25666 ∫citg 25667 D cdv 25912

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1814 ax-4 1828 ax-5 1929 ax-6 1986 ax-7 2027 ax-8 2143 ax-9 2151 ax-10 2174 ax-11 2190 ax-12 2211 ax-ext 2733 ax-rep 5224 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5319 ax-pr 5387 ax-un 7712 ax-inf2 9589 ax-cc 10385 ax-cnex 11122 ax-resscn 11123 ax-1cn 11124 ax-icn 11125 ax-addcl 11126 ax-addrcl 11127 ax-mulcl 11128 ax-mulrcl 11129 ax-mulcom 11130 ax-addass 11131 ax-mulass 11132 ax-distr 11133 ax-i2m1 11134 ax-1ne0 11135 ax-1rid 11136 ax-rnegex 11137 ax-rrecex 11138 ax-cnre 11139 ax-pre-lttri 11140 ax-pre-lttrn 11141 ax-pre-ltadd 11142 ax-pre-mulgt0 11143 ax-pre-sup 11144 ax-addf 11145

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 400 df-or 859 df-3or 1098 df-3an 1099 df-tru 1562 df-fal 1572 df-ex 1799 df-nf 1803 df-sb 2090 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3061 df-ral 3076 df-rex 3086 df-rmo 3366 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3455 df-sbc 3743 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-symdif 4203 df-nul 4284 df-if 4478 df-pw 4554 df-sn 4580 df-pr 4582 df-tp 4584 df-op 4586 df-uni 4863 df-int 4903 df-iun 4948 df-iin 4949 df-disj 5065 df-br 5098 df-opab 5160 df-mpt 5179 df-tr 5205 df-id 5538 df-eprel 5543 df-po 5551 df-so 5552 df-fr 5596 df-se 5597 df-we 5598 df-xp 5649 df-rel 5650 df-cnv 5651 df-co 5652 df-dm 5653 df-rn 5654 df-res 5655 df-ima 5656 df-pred 6282 df-ord 6343 df-on 6344 df-lim 6345 df-suc 6346 df-iota 6471 df-fun 6517 df-fn 6518 df-f 6519 df-f1 6520 df-fo 6521 df-f1o 6522 df-fv 6523 df-isom 6524 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-of 7654 df-ofr 7655 df-om 7841 df-1st 7964 df-2nd 7965 df-supp 8134 df-frecs 8255 df-wrecs 8286 df-recs 8335 df-rdg 8374 df-1o 8430 df-2o 8431 df-oadd 8434 df-omul 8435 df-er 8671 df-map 8803 df-pm 8804 df-ixp 8873 df-en 8921 df-dom 8922 df-sdom 8923 df-fin 8924 df-fsupp 9301 df-fi 9350 df-sup 9381 df-inf 9382 df-oi 9451 df-dju 9852 df-card 9890 df-acn 9893 df-pnf 11211 df-mnf 11212 df-xr 11213 df-ltxr 11214 df-le 11215 df-sub 11409 df-neg 11410 df-div 11838 df-nn 12204 df-2 12273 df-3 12274 df-4 12275 df-5 12276 df-6 12277 df-7 12278 df-8 12279 df-9 12280 df-n0 12475 df-z 12562 df-dec 12682 df-uz 12833 df-q 12943 df-rp 12987 df-xneg 13107 df-xadd 13108 df-xmul 13109 df-ioo 13346 df-ioc 13347 df-ico 13348 df-icc 13349 df-fz 13506 df-fzo 13653 df-fl 13795 df-mod 13873 df-seq 14008 df-exp 14068 df-hash 14337 df-cj 15116 df-re 15117 df-im 15118 df-sqrt 15252 df-abs 15253 df-clim 15505 df-rlim 15506 df-sum 15704 df-struct 17173 df-sets 17190 df-slot 17208 df-ndx 17220 df-base 17236 df-ress 17257 df-plusg 17289 df-mulr 17290 df-starv 17291 df-sca 17292 df-vsca 17293 df-ip 17294 df-tset 17295 df-ple 17296 df-ds 17298 df-unif 17299 df-hom 17300 df-cco 17301 df-rest 17441 df-topn 17442 df-0g 17460 df-gsum 17461 df-topgen 17462 df-pt 17463 df-prds 17466 df-xrs 17522 df-qtop 17527 df-imas 17528 df-xps 17530 df-mre 17604 df-mrc 17605 df-acs 17607 df-mgm 18664 df-sgrp 18743 df-mnd 18759 df-submnd 18808 df-mulg 19100 df-cntz 19347 df-cmn 19812 df-psmet 21403 df-xmet 21404 df-met 21405 df-bl 21406 df-mopn 21407 df-fbas 21408 df-fg 21409 df-cnfld 21412 df-top 22941 df-topon 22958 df-topsp 22980 df-bases 22993 df-cld 23066 df-ntr 23067 df-cls 23068 df-nei 23145 df-lp 23183 df-perf 23184 df-cn 23274 df-cnp 23275 df-haus 23362 df-cmp 23434 df-tx 23609 df-hmeo 23802 df-fil 23893 df-fm 23985 df-flim 23986 df-flf 23987 df-xms 24367 df-ms 24368 df-tms 24369 df-cncf 24927 df-ovol 25513 df-vol 25514 df-mbf 25668 df-itg1 25669 df-itg2 25670 df-ibl 25671 df-itg 25672 df-0p 25719 df-limc 25915 df-dv 25916

This theorem is referenced by: lcmineqlem13 42618

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