lcmineqlem10 - Mathbox for metakunt

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Theorem lcmineqlem10 43182

Description: Induction step of lcmineqlem13 43185 (deduction form). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lcmineqlem10.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem10.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
lcmineqlem10	⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))

Distinct variable groups: 𝜑,𝑥 𝑥,𝑁 𝑥,𝑀

**Proof of Theorem lcmineqlem10**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem10.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nncnd 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
3		lcmineqlem10.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
5	2, 4	subcld 11673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
6		elunitcn 13603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	3	nnnn0d 12671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ₀)
8		expcl 14226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ₀) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
9	7, 8	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
10	9	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
11	6, 10	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ)
12		1cnd 11306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
13		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
14	12, 13	subcld 11673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
15		lcmineqlem10.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁)
16	3	nnzd 12723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
17	1	nnzd 12723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18		znnsub 12746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
19	16, 17, 18	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
20	15, 19	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)
21		nnm1nn0 12651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈ ℕ₀)
24	14, 23	expcld 14293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
25	6, 24	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
26	11, 25	mulcld 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
27		0red 11315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
28		1red 11313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
29		expcncf 25253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ₀ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
30	7, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31		1nn 12350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℕ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
33	20	nnge1d 12390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀))
34	32, 20, 33	lcmineqlem9 43181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
35	30, 34	mulcncf 25773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
36	35	resclunitintvd 43171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
37		cnicciblnc 26169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿¹)
38	27, 28, 36, 37	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ 𝐿¹)
39	26, 38	itgcl 26110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 ∈ ℂ)
40	5, 39	mulneg1d 11773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( -(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥))
41	5	negcld 11660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
42	41, 26, 38	itgmulc2 26160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ( -(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = ∫(0[,]1)( -(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥)
43	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ)
44	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
45	43, 44	subcld 11673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
46	45	negcld 11660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
47	10, 46, 24	mul12d 11523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) = ( -(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
48	6, 47	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) = ( -(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
49	48	itgeq2dv 26108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)( -(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥)
50	2	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
51	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
52	50, 51	subcld 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
53	52	negcld 11660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ)
54	53, 25	mulcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
55	11, 54	mulcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ℂ)
56	27, 28, 55	itgioo 26142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥)
57		0le1 11843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≤ 1
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
59	30	resclunitintvd 43171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
60	3	nnred 12354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
61	1	nnred 12354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
62		ltle 11402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
63	60, 61, 62	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁))
64	15, 63	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁)
65	3, 1, 64	lcmineqlem9 43181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
66	65	resclunitintvd 43171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
67		ssid 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
68		cncfmptc 25239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
69	67, 67, 68	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
70	4, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
71	70	resopunitintvd 43170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑀) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
72		nnm1nn0 12651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀)
73		expcncf 25253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ₀ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
74	3, 72, 73	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
75	74	resopunitintvd 43170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
76	71, 75	mulcncf 25773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
77		cncfmptc 25239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (( -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
78	67, 67, 77	mp3an23 1482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ( -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
79	41, 78	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
80	79	resopunitintvd 43170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
81	34	resopunitintvd 43170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
82	80, 81	mulcncf 25773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ))
83		ioossicc 13568	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ (0[,]1))
85		ioombl 25892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0(,)1) ∈ dom vol
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom vol)
87	79, 34	mulcncf 25773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
88	30, 87	mulcncf 25773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
89	88	resclunitintvd 43171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
90		cnicciblnc 26169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿¹)
91	27, 28, 89, 90	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿¹)
92	84, 86, 55, 91	iblss 26131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ 𝐿¹)
93	3, 72	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀)
94		expcl 14226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
95	93, 94	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
96	95	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
97	6, 96	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈ ℂ)
98	51, 97	mulcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
99	20	nnnn0d 12671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
100	99	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ₀)
101	14, 100	expcld 14293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
102	6, 101	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ)
103	98, 102	mulcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ℂ)
104	70, 74	mulcncf 25773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
105	104, 65	mulcncf 25773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
106	105	resclunitintvd 43171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
107		cnicciblnc 26169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
108	27, 28, 106, 107	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
109	84, 86, 103, 108	iblss 26131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
110		dvexp 26279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
111	3, 110	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
112	44, 96	mulcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
113	111, 10, 112	resdvopclptsd 43172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))))
114	3, 1, 15	lcmineqlem8 43180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
115	46, 24	mulcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
116	114, 101, 115	resdvopclptsd 43172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))))
117		oveq1 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥↑𝑀) = (0↑𝑀))
118	117	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥↑𝑀) = (0↑𝑀))
119	3	0expd 14286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0↑𝑀) = 0)
120	119	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (0↑𝑀) = 0)
121	118, 120	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥↑𝑀) = 0)
122	121	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))
123		0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℂ
124		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
125	123, 124	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ)
126	101	mul02d 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
127	125, 126	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
128	122, 127	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
129		oveq2 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
130		1m1e0 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1 − 1) = 0
131	129, 130	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0)
132	131	oveq1d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = (0↑(𝑁 − 𝑀)))
133	132	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = (0↑(𝑁 − 𝑀)))
134	20	0expd 14286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0↑(𝑁 − 𝑀)) = 0)
135	134	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (0↑(𝑁 − 𝑀)) = 0)
136	133, 135	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = 0)
137	136	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = ((𝑥↑𝑀) · 0))
138		ax-1cn 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℂ
139		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 1 ∈ ℂ))
140	138, 139	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ)
141	10	mul01d 11513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥↑𝑀) · 0) = 0)
142	140, 141	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · 0) = 0)
143	137, 142	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0)
144	27, 28, 58, 59, 66, 76, 82, 92, 109, 113, 116, 128, 143	itgparts 26373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
145	56, 144	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
146	27, 28, 103	itgioo 26142	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)
147	146	oveq2d 7437	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
148	145, 147	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
149		0m0e0 12465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 − 0) = 0
150	149	oveq1i 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)
151	148, 150	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ( -(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
152	49, 151	eqtr3d 2797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)( -(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
153	42, 152	eqtrd 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ( -(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
154	44, 96, 101	mulassd 11336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))))
155	6, 154	sylan2 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))))
156	155	itgeq2dv 26108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥)
157	156	oveq2d 7437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥))
158	153, 157	eqtrd 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( -(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥))
159	97, 102	mulcld 11333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ℂ)
160	74, 65	mulcncf 25773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
161	160	resclunitintvd 43171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
162		cnicciblnc 26169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
163	27, 28, 161, 162	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ 𝐿¹)
164	4, 159, 163	itgmulc2 26160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥)
165	164	oveq2d 7437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥))
166	158, 165	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( -(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)))
167		df-neg 11548	. . . . . . . 8 ⊢ -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
168	166, 167	eqtr4di 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ( -(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
169	40, 168	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
170	5, 39	mulcld 11333	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) ∈ ℂ)
171	159, 163	itgcl 26110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 ∈ ℂ)
172	4, 171	mulcld 11333	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ∈ ℂ)
173	170, 172	neg11ad 11669	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ↔ ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)))
174	169, 173	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
175	20	nnne0d 12392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ≠ 0)
176	172, 5, 39, 175	divmuld 12119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 ↔ ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)))
177	174, 176	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥)
178	138	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
179	4, 178	pncand 11674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
180	179	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1))
181	180	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥↑𝑀) = (𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)))
182	2, 4, 178	subsub4d 11704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) − 1) = (𝑁 − (𝑀 + 1)))
183	182	oveq2d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1))))
184	181, 183	oveq12d 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
185	184	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))))
186	185	itgeq2dv 26108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
187	177, 186	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥)
188	187	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)))
189	4, 171, 5, 175	div23d 12134	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))
190	188, 189	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ⊆ wss 3895 class class class wbr 5102 ↦ cmpt 5185 dom cdm 5650 (class class class)co 7421 ℂcc 11202 ℝcr 11203 0cc0 11204 1c1 11205 + caddc 11207 · cmul 11209 < clt 11347 ≤ cle 11348 − cmin 11545 -cneg 11546 / cdiv 11977 ℕcn 12339 ℕ₀cn0 12610 ℤcz 12697 (,)cioo 13480 [,]cicc 13483 ↑cexp 14208 –cn→ccncf 25203 volcvol 25790 𝐿¹cibl 25944 ∫citg 25945 D cdv 26189

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-rep 5231 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7752 ax-inf2 9646 ax-cc 10517 ax-cnex 11260 ax-resscn 11261 ax-1cn 11262 ax-icn 11263 ax-addcl 11264 ax-addrcl 11265 ax-mulcl 11266 ax-mulrcl 11267 ax-mulcom 11268 ax-addass 11269 ax-mulass 11270 ax-distr 11271 ax-i2m1 11272 ax-1ne0 11273 ax-1rid 11274 ax-rnegex 11275 ax-rrecex 11276 ax-cnre 11277 ax-pre-lttri 11278 ax-pre-lttrn 11279 ax-pre-ltadd 11280 ax-pre-mulgt0 11281 ax-pre-sup 11282 ax-addf 11283

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3847 df-ss 3896 df-pss 4014 df-dif 4047 df-in 4091 df-un 4151 df-symdif 4198 df-nul 4279 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4835 df-uni 4867 df-int 4907 df-iun 4952 df-iin 4953 df-disj 5070 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5545 df-eprel 5550 df-po 5558 df-so 5559 df-fr 5603 df-se 5604 df-we 5605 df-xp 5656 df-rel 5657 df-cnv 5658 df-co 5659 df-dm 5660 df-rn 5661 df-res 5662 df-ima 5663 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6541 df-fn 6542 df-f 6543 df-f1 6544 df-fo 6545 df-f1o 6546 df-fv 6547 df-isom 6548 df-riota 7378 df-ov 7424 df-oprab 7425 df-mpo 7426 df-of 7694 df-ofr 7695 df-om 7879 df-1st 8002 df-2nd 8003 df-supp 8181 df-frecs 8303 df-wrecs 8334 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-1o 8480 df-2o 8481 df-oadd 8484 df-omul 8485 df-er 8721 df-map 8853 df-pm 8854 df-ixp 8930 df-en 8978 df-dom 8979 df-sdom 8980 df-fin 8981 df-fsupp 9358 df-fi 9407 df-sup 9438 df-inf 9439 df-oi 9508 df-dju 9986 df-card 10024 df-acn 10027 df-pnf 11349 df-mnf 11350 df-xr 11351 df-ltxr 11352 df-le 11353 df-sub 11547 df-neg 11548 df-div 11978 df-nn 12340 df-2 12409 df-3 12410 df-4 12411 df-5 12412 df-6 12413 df-7 12414 df-8 12415 df-9 12416 df-n0 12611 df-z 12698 df-dec 12819 df-uz 12970 df-q 13080 df-rp 13125 df-xneg 13245 df-xadd 13246 df-xmul 13247 df-ioo 13484 df-ioc 13485 df-ico 13486 df-icc 13487 df-fz 13644 df-fzo 13793 df-fl 13936 df-mod 14014 df-seq 14149 df-exp 14209 df-hash 14479 df-cj 15272 df-re 15273 df-im 15274 df-sqrt 15408 df-abs 15409 df-clim 15661 df-rlim 15662 df-sum 15860 df-struct 17331 df-sets 17348 df-slot 17366 df-ndx 17378 df-base 17394 df-ress 17415 df-plusg 17447 df-mulr 17448 df-starv 17449 df-sca 17450 df-vsca 17451 df-ip 17452 df-tset 17453 df-ple 17454 df-ds 17456 df-unif 17457 df-hom 17458 df-cco 17459 df-rest 17599 df-topn 17600 df-0g 17618 df-gsum 17619 df-topgen 17620 df-pt 17621 df-prds 17624 df-xrs 17680 df-qtop 17685 df-imas 17686 df-xps 17688 df-mre 17762 df-mrc 17763 df-acs 17765 df-mgm 18822 df-sgrp 18914 df-mnd 18930 df-submnd 18985 df-mulg 19284 df-cntz 19537 df-cmn 20002 df-psmet 21676 df-xmet 21677 df-met 21678 df-bl 21679 df-mopn 21680 df-fbas 21681 df-fg 21682 df-cnfld 21685 df-top 23218 df-topon 23235 df-topsp 23257 df-bases 23270 df-cld 23343 df-ntr 23344 df-cls 23345 df-nei 23422 df-lp 23460 df-perf 23461 df-cn 23551 df-cnp 23552 df-haus 23639 df-cmp 23711 df-tx 23887 df-hmeo 24080 df-fil 24171 df-fm 24263 df-flim 24264 df-flf 24265 df-xms 24645 df-ms 24646 df-tms 24647 df-cncf 25205 df-ovol 25791 df-vol 25792 df-mbf 25946 df-itg1 25947 df-itg2 25948 df-ibl 25949 df-itg 25950 df-0p 25997 df-limc 26192 df-dv 26193

This theorem is used by: lcmineqlem13 43185

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