Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem10 41209
Description: Induction step of lcmineqlem13 41212 (deduction form). (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem10.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem10.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
lcmineqlem10.3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < ๐‘)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem10 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ฅ,๐‘€

Proof of Theorem lcmineqlem10
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem10.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
21nncnd 12232 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3 lcmineqlem10.1 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
43nncnd 12232 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
52, 4subcld 11575 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
6 elunitcn 13449 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
73nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
8 expcl 14049 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
97, 8sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
109ancoms 457 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
116, 10sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) โˆˆ โ„‚)
12 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
13 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1412, 13subcld 11575 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
15 lcmineqlem10.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ < ๐‘)
163nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
171nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
18 znnsub 12612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•))
1916, 17, 18syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†” (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•))
2015, 19mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•)
21 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2414, 23expcld 14115 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
256, 24sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
2611, 25mulcld 11238 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
27 0red 11221 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
28 1red 11219 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
29 expcncf 24667 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
307, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
31 1nn 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„•
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
3320nnge1d 12264 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (๐‘ โˆ’ ๐‘€))
3432, 20, 33lcmineqlem9 41208 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
3530, 34mulcncf 25194 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
3635resclunitintvd 41198 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
37 cnicciblnc 25592 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ๐ฟ1)
3827, 28, 36, 37syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ๐ฟ1)
3926, 38itgcl 25533 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
405, 39mulneg1d 11671 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = -((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ))
415negcld 11562 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
4241, 26, 38itgmulc2 25583 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = โˆซ(0[,]1)(-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ)
432adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
444adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
4543, 44subcld 11575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
4645negcld 11562 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
4710, 46, 24mul12d 11427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) = (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
486, 47sylan2 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) = (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
4948itgeq2dv 25531 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)(-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ)
502adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
514adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
5250, 51subcld 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5352negcld 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
5453, 25mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
5511, 54mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„‚)
5627, 28, 55itgioo 25565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ)
57 0le1 11741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 โ‰ค 1
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค 1)
5930resclunitintvd 41198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€)) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
603nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
611nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
62 ltle 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
6360, 61, 62syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ < ๐‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘))
6415, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘)
653, 1, 64lcmineqlem9 41208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
6665resclunitintvd 41198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
67 ssid 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 โ„‚ โІ โ„‚
68 cncfmptc 24652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง โ„‚ โІ โ„‚ โˆง โ„‚ โІ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐‘€) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
6967, 67, 68mp3an23 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐‘€) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
704, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ๐‘€) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
7170resopunitintvd 41197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ๐‘€) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
72 nnm1nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
73 expcncf 24667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
743, 72, 733syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
7574resopunitintvd 41197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
7671, 75mulcncf 25194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
77 cncfmptc 24652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โˆง โ„‚ โІ โ„‚ โˆง โ„‚ โІ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
7867, 67, 77mp3an23 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
7941, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
8079resopunitintvd 41197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ -(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
8134resopunitintvd 41197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
8280, 81mulcncf 25194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ ((0(,)1)โ€“cnโ†’โ„‚))
83 ioossicc 13414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)1) โІ (0[,]1)
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (0(,)1) โІ (0[,]1))
85 ioombl 25314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0(,)1) โˆˆ dom vol
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (0(,)1) โˆˆ dom vol)
8779, 34mulcncf 25194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
8830, 87mulcncf 25194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
8988resclunitintvd 41198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
90 cnicciblnc 25592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ๐ฟ1)
9127, 28, 89, 90syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ๐ฟ1)
9284, 86, 55, 91iblss 25554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))))) โˆˆ ๐ฟ1)
933, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
94 expcl 14049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
9593, 94sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐œ‘) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
9695ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
976, 96sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
9851, 97mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
9920nnnn0d 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
10099adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆˆ โ„•0)
10114, 100expcld 14115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
1026, 101sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
10398, 102mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
10470, 74mulcncf 25194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
105104, 65mulcncf 25194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
106105resclunitintvd 41198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
107 cnicciblnc 25592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
10827, 28, 106, 107syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
10984, 86, 103, 108iblss 25554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
110 dvexp 25705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))))
1113, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))))
11244, 96mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
113111, 10, 112resdvopclptsd 41199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ฅโ†‘๐‘€))) = (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)))))
1143, 1, 15lcmineqlem8 41207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (โ„‚ D (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
11546, 24mulcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
116114, 101, 115resdvopclptsd 41199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โ„ D (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) = (๐‘ฅ โˆˆ (0(,)1) โ†ฆ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))))
117 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) = (0โ†‘๐‘€))
118117adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) = (0โ†‘๐‘€))
11930expd 14108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (0โ†‘๐‘€) = 0)
120119adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (0โ†‘๐‘€) = 0)
121118, 120eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) = 0)
122121oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = (0 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))))
123 0cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 โˆˆ โ„‚
124 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†” 0 โˆˆ โ„‚))
125123, 124mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
126101mul02d 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (0 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = 0)
127125, 126sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ (0 ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = 0)
128122, 127eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 0) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = 0)
129 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) = (1 โˆ’ 1))
130 1m1e0 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 โˆ’ 1) = 0
131129, 130eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) = 0)
132131oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = (0โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
133132adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = (0โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
134200expd 14108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (0โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = 0)
135134adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ (0โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = 0)
136133, 135eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = 0)
137136oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท 0))
138 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 โˆˆ โ„‚
139 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†” 1 โˆˆ โ„‚))
140138, 139mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
14110mul01d 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท 0) = 0)
142140, 141sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท 0) = 0)
143137, 142eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = 1) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = 0)
14427, 28, 58, 59, 66, 76, 82, 92, 109, 113, 116, 128, 143itgparts 25799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0(,)1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
14556, 144eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0(,)1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
14627, 28, 103itgioo 25565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0(,)1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)
147146oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0(,)1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
148145, 147eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
149 0m0e0 12336 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 โˆ’ 0) = 0
150149oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆ’ 0) โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)
151148, 150eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
15249, 151eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)(-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)))) d๐‘ฅ = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
15342, 152eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
15444, 96, 101mulassd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = (๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))))
1556, 154sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) = (๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))))
156155itgeq2dv 25531 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ)
157156oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)((๐‘€ ยท (๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1))) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ))
158153, 157eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ))
15997, 102mulcld 11238 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
16074, 65mulcncf 25194 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ (โ„‚โ€“cnโ†’โ„‚))
161160resclunitintvd 41198 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚))
162 cnicciblnc 25592 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ((0[,]1)โ€“cnโ†’โ„‚)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
16327, 28, 161, 162syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) โˆˆ ๐ฟ1)
1644, 159, 163itgmulc2 25583 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ)
165164oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (0 โˆ’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)) = (0 โˆ’ โˆซ(0[,]1)(๐‘€ ยท ((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€)))) d๐‘ฅ))
166158, 165eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)))
167 df-neg 11451 . . . . . . . 8 -(๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) = (0 โˆ’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
168166, 167eqtr4di 2788 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (-(๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = -(๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
16940, 168eqtr3d 2772 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ -((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = -(๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
1705, 39mulcld 11238 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
171159, 163itgcl 25533 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1724, 171mulcld 11238 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
173170, 172neg11ad 11571 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (-((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = -(๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)))
174169, 173mpbid 231 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
17520nnne0d 12266 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘€) โ‰  0)
176172, 5, 39, 175divmuld 12016 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ โ†” ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ) = (๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ)))
177174, 176mpbird 256 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ)
178138a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1794, 178pncand 11576 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
180179eqcomd 2736 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ = ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1))
181180oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘€) = (๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)))
1822, 4, 178subsub4d 11606 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))
183182oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1)) = ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1))))
184181, 183oveq12d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) = ((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))))
185184adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) = ((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))))
186185itgeq2dv 25531 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘๐‘€) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘€) โˆ’ 1))) d๐‘ฅ = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ)
187177, 186eqtrd 2770 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ)
188187eqcomd 2736 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)))
1894, 171, 5, 175div23d 12031 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘€ ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ) / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) = ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
190188, 189eqtrd 2770 1 (๐œ‘ โ†’ โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ (๐‘€ + 1)))) d๐‘ฅ = ((๐‘€ / (๐‘ โˆ’ ๐‘€)) ยท โˆซ(0[,]1)((๐‘ฅโ†‘(๐‘€ โˆ’ 1)) ยท ((1 โˆ’ ๐‘ฅ)โ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘€))) d๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โІ wss 3947   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  dom cdm 5675  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  (,)cioo 13328  [,]cicc 13331  โ†‘cexp 14031  โ€“cnโ†’ccncf 24616  volcvol 25212  ๐ฟ1cibl 25366  โˆซcitg 25367   D cdv 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  lcmineqlem13  41212
  Copyright terms: Public domain W3C validator