Proof of Theorem lcmineqlem10
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | lcmineqlem10.2 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 2 | 1 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 3 | | lcmineqlem10.1 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ) |
| 4 | 3 | nncnd 12282 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ) |
| 5 | 2, 4 | subcld 11620 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ) |
| 6 | | elunitcn 13508 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈
ℂ) |
| 7 | 3 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
ℕ0) |
| 8 | | expcl 14120 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
→ (𝑥↑𝑀) ∈
ℂ) |
| 9 | 7, 8 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ) |
| 10 | 9 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ) |
| 11 | 6, 10 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑𝑀) ∈ ℂ) |
| 12 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈
ℂ) |
| 13 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 14 | 12, 13 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈
ℂ) |
| 15 | | lcmineqlem10.3 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁) |
| 16 | 3 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
| 17 | 1 | nnzd 12640 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 18 | | znnsub 12663 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)) |
| 19 | 16, 17, 18 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)) |
| 20 | 15, 19 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ) |
| 21 | | nnm1nn0 12567 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈
ℕ0) |
| 22 | 20, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈
ℕ0) |
| 23 | 22 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) − 1) ∈
ℕ0) |
| 24 | 14, 23 | expcld 14186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) ∈
ℂ) |
| 25 | 6, 24 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) ∈
ℂ) |
| 26 | 11, 25 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈
ℂ) |
| 27 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
| 28 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
| 29 | | expcncf 24953 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (𝑥 ∈ ℂ
↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 30 | 7, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 31 | | 1nn 12277 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 1 ∈
ℕ |
| 32 | 31 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℕ) |
| 33 | 20 | nnge1d 12314 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 − 𝑀)) |
| 34 | 32, 20, 33 | lcmineqlem9 42038 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 35 | 30, 34 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 36 | 35 | resclunitintvd 42028 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 37 | | cnicciblnc 25878 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈
𝐿1) |
| 38 | 27, 28, 36, 37 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈
𝐿1) |
| 39 | 26, 38 | itgcl 25819 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 ∈ ℂ) |
| 40 | 5, 39 | mulneg1d 11716 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥)) |
| 41 | 5 | negcld 11607 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ) |
| 42 | 41, 26, 38 | itgmulc2 25869 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥) |
| 43 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 44 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ) |
| 45 | 43, 44 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ) |
| 46 | 45 | negcld 11607 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ) |
| 47 | 10, 46, 24 | mul12d 11470 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) = (-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) |
| 48 | 6, 47 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) = (-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) |
| 49 | 48 | itgeq2dv 25817 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥) |
| 50 | 2 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 51 | 4 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑀 ∈ ℂ) |
| 52 | 50, 51 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ) |
| 53 | 52 | negcld 11607 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → -(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ) |
| 54 | 53, 25 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈
ℂ) |
| 55 | 11, 54 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈
ℂ) |
| 56 | 27, 28, 55 | itgioo 25851 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥) |
| 57 | | 0le1 11786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 0 ≤
1 |
| 58 | 57 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1) |
| 59 | 30 | resclunitintvd 42028 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑀)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 60 | 3 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ) |
| 61 | 1 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 62 | | ltle 11349 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁)) |
| 63 | 60, 61, 62 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝑀 < 𝑁 → 𝑀 ≤ 𝑁)) |
| 64 | 15, 63 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁) |
| 65 | 3, 1, 64 | lcmineqlem9 42038 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 66 | 65 | resclunitintvd 42028 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 67 | | ssid 4006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ℂ
⊆ ℂ |
| 68 | | cncfmptc 24938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ ℂ
⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 69 | 67, 67, 68 | mp3an23 1455 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑀 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 70 | 4, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑀) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 71 | 70 | resopunitintvd 42027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ 𝑀) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)) |
| 72 | | nnm1nn0 12567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈
ℕ0) |
| 73 | | expcncf 24953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑀 − 1) ∈
ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 74 | 3, 72, 73 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 75 | 74 | resopunitintvd 42027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)) |
| 76 | 71, 75 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)) |
| 77 | | cncfmptc 24938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((-(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆
ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 78 | 67, 67, 77 | mp3an23 1455 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (-(𝑁 − 𝑀) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 79 | 41, 78 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 80 | 79 | resopunitintvd 42027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ -(𝑁 − 𝑀)) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)) |
| 81 | 34 | resopunitintvd 42027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)) |
| 82 | 80, 81 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ ((0(,)1)–cn→ℂ)) |
| 83 | | ioossicc 13473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0(,)1)
⊆ (0[,]1) |
| 84 | 83 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆
(0[,]1)) |
| 85 | | ioombl 25600 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0(,)1)
∈ dom vol |
| 86 | 85 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (0(,)1) ∈ dom
vol) |
| 87 | 79, 34 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 88 | 30, 87 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 89 | 88 | resclunitintvd 42028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 90 | | cnicciblnc 25878 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈
𝐿1) |
| 91 | 27, 28, 89, 90 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈
𝐿1) |
| 92 | 84, 86, 55, 91 | iblss 25840 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) ∈
𝐿1) |
| 93 | 3, 72 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈
ℕ0) |
| 94 | | expcl 14120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑀 − 1) ∈
ℕ0) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈
ℂ) |
| 95 | 93, 94 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝜑) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈
ℂ) |
| 96 | 95 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈
ℂ) |
| 97 | 6, 96 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥↑(𝑀 − 1)) ∈
ℂ) |
| 98 | 51, 97 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈
ℂ) |
| 99 | 20 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ∈
ℕ0) |
| 100 | 99 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑁 − 𝑀) ∈
ℕ0) |
| 101 | 14, 100 | expcld 14186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ) |
| 102 | 6, 101 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) ∈ ℂ) |
| 103 | 98, 102 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ℂ) |
| 104 | 70, 74 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 105 | 104, 65 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 106 | 105 | resclunitintvd 42028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 107 | | cnicciblnc 25878 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈
𝐿1) |
| 108 | 27, 28, 106, 107 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈
𝐿1) |
| 109 | 84, 86, 103, 108 | iblss 25840 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈
𝐿1) |
| 110 | | dvexp 25991 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (ℂ
D (𝑥 ∈ ℂ ↦
(𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))))) |
| 111 | 3, 110 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))))) |
| 112 | 44, 96 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) ∈
ℂ) |
| 113 | 111, 10, 112 | resdvopclptsd 42029 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥↑𝑀))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))))) |
| 114 | 3, 1, 15 | lcmineqlem8 42037 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((1
− 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) |
| 115 | 46, 24 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) ∈
ℂ) |
| 116 | 114, 101,
115 | resdvopclptsd 42029 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((1
− 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) = (𝑥 ∈ (0(,)1) ↦ (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))))) |
| 117 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥↑𝑀) = (0↑𝑀)) |
| 118 | 117 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥↑𝑀) = (0↑𝑀)) |
| 119 | 3 | 0expd 14179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (0↑𝑀) = 0) |
| 120 | 119 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (0↑𝑀) = 0) |
| 121 | 118, 120 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (𝑥↑𝑀) = 0) |
| 122 | 121 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) |
| 123 | | 0cn 11253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 0 ∈
ℂ |
| 124 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 0 ∈
ℂ)) |
| 125 | 123, 124 | mpbiri 258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 126 | 101 | mul02d 11459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · ((1
− 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0) |
| 127 | 125, 126 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → (0 · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0) |
| 128 | 122, 127 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 0) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0) |
| 129 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 −
1)) |
| 130 | | 1m1e0 12338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (1
− 1) = 0 |
| 131 | 129, 130 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = 0) |
| 132 | 131 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 1 → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = (0↑(𝑁 − 𝑀))) |
| 133 | 132 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = (0↑(𝑁 − 𝑀))) |
| 134 | 20 | 0expd 14179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (0↑(𝑁 − 𝑀)) = 0) |
| 135 | 134 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → (0↑(𝑁 − 𝑀)) = 0) |
| 136 | 133, 135 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)) = 0) |
| 137 | 136 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = ((𝑥↑𝑀) · 0)) |
| 138 | | ax-1cn 11213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 139 | | eleq1 2829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 1 ∈
ℂ)) |
| 140 | 138, 139 | mpbiri 258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 = 1 → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 141 | 10 | mul01d 11460 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥↑𝑀) · 0) = 0) |
| 142 | 140, 141 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · 0) = 0) |
| 143 | 137, 142 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 1) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = 0) |
| 144 | 27, 28, 58, 59, 66, 76, 82, 92, 109, 113, 116, 128, 143 | itgparts 26088 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) |
| 145 | 56, 144 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) |
| 146 | 27, 28, 103 | itgioo 25851 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → ∫(0(,)1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) |
| 147 | 146 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ((0 − 0) −
∫(0(,)1)((𝑀 ·
(𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ((0 − 0) −
∫(0[,]1)((𝑀 ·
(𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) |
| 148 | 145, 147 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = ((0 − 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) |
| 149 | | 0m0e0 12386 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (0
− 0) = 0 |
| 150 | 149 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((0
− 0) − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) |
| 151 | 148, 150 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · (-(𝑁 − 𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) |
| 152 | 49, 151 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)(-(𝑁 − 𝑀) · ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)))) d𝑥 = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) |
| 153 | 42, 152 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) |
| 154 | 44, 96, 101 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))) |
| 155 | 6, 154 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) = (𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))))) |
| 156 | 155 | itgeq2dv 25817 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑀 · (𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥) |
| 157 | 156 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (0 −
∫(0[,]1)((𝑀 ·
(𝑥↑(𝑀 − 1))) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥)) |
| 158 | 153, 157 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥)) |
| 159 | 97, 102 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) ∈ ℂ) |
| 160 | 74, 65 | mulcncf 25480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) |
| 161 | 160 | resclunitintvd 42028 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 162 | | cnicciblnc 25878 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈
𝐿1) |
| 163 | 27, 28, 161, 162 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) ∈
𝐿1) |
| 164 | 4, 159, 163 | itgmulc2 25869 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥) |
| 165 | 164 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) = (0 − ∫(0[,]1)(𝑀 · ((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀)))) d𝑥)) |
| 166 | 158, 165 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))) |
| 167 | | df-neg 11495 |
. . . . . . . 8
⊢ -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) = (0 − (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) |
| 168 | 166, 167 | eqtr4di 2795 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (-(𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) |
| 169 | 40, 168 | eqtr3d 2779 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → -((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) |
| 170 | 5, 39 | mulcld 11281 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) ∈ ℂ) |
| 171 | 159, 163 | itgcl 25819 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥 ∈ ℂ) |
| 172 | 4, 171 | mulcld 11281 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ∈ ℂ) |
| 173 | 170, 172 | neg11ad 11616 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (-((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = -(𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) ↔ ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))) |
| 174 | 169, 173 | mpbid 232 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) |
| 175 | 20 | nnne0d 12316 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑀) ≠ 0) |
| 176 | 172, 5, 39, 175 | divmuld 12065 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 ↔ ((𝑁 − 𝑀) · ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) = (𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥))) |
| 177 | 174, 176 | mpbird 257 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥) |
| 178 | 138 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
| 179 | 4, 178 | pncand 11621 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀) |
| 180 | 179 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((𝑀 + 1) − 1)) |
| 181 | 180 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑥↑𝑀) = (𝑥↑((𝑀 + 1) − 1))) |
| 182 | 2, 4, 178 | subsub4d 11651 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 𝑀) − 1) = (𝑁 − (𝑀 + 1))) |
| 183 | 182 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1)) = ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) |
| 184 | 181, 183 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1))))) |
| 185 | 184 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) = ((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1))))) |
| 186 | 185 | itgeq2dv 25817 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑𝑀) · ((1 − 𝑥)↑((𝑁 − 𝑀) − 1))) d𝑥 = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥) |
| 187 | 177, 186 | eqtrd 2777 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥) |
| 188 | 187 | eqcomd 2743 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀))) |
| 189 | 4, 171, 5, 175 | div23d 12080 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑀 · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥) / (𝑁 − 𝑀)) = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) |
| 190 | 188, 189 | eqtrd 2777 |
1
⊢ (𝜑 → ∫(0[,]1)((𝑥↑((𝑀 + 1) − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − (𝑀 + 1)))) d𝑥 = ((𝑀 / (𝑁 − 𝑀)) · ∫(0[,]1)((𝑥↑(𝑀 − 1)) · ((1 − 𝑥)↑(𝑁 − 𝑀))) d𝑥)) |