Theorem kgencmp2 23870

Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencmp2	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

Proof of Theorem kgencmp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgencmp 23869	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
3	1, 2	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
4		cmptop 23718	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top)
5		restrcl 23480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
6	5	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
7	4, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → 𝐾 ∈ V)
8		resttop 23483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
9	7, 8	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
10		toptopon2 23241	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top ↔ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)))
11	9, 10	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)))
12		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13	12	kgenuni 23863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 = ∪ (𝑘Gen‘𝐽))
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ∪ 𝐽 = ∪ (𝑘Gen‘𝐽))
15	14	ineq2d 4117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)))
16	12	restuni2 23490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐾))
17	7, 16	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐾))
18		kgenftop 23864	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
19		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ (𝑘Gen‘𝐽) = ∪ (𝑘Gen‘𝐽)
20	19	restuni2 23490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
21	18, 7, 20	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
22	15, 17, 21	3eqtr3d 2803	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ∪ (𝐽 ↾t 𝐾) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
23	22	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)) = (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
24	11, 23	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
25		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
26		kgenss 23867	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
28		ssrest 23499	. . . 4 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
29	18, 27, 28	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
30		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)
31	30	sscmp 23728	. . 3 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
32	24, 25, 29, 31	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
33	3, 32	impbida 813	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↾_t crest 17596  Topctop 23216  TopOnctopon 23233  Compccmp 23709  𝑘Genckgen 23857

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-en 8977  df-fin 8980  df-fi 9406  df-rest 17598  df-topgen 17619  df-top 23217  df-topon 23234  df-bases 23269  df-cmp 23710  df-kgen 23858

This theorem is used by:  kgenidm  23871