MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencmp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgencmp2 23555
Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp2 (𝐽 ∈ Top → ((𝐽t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

Proof of Theorem kgencmp2
StepHypRef Expression
1 kgencmp 23554 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2 simpr 484 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ Comp)
31, 2eqeltrrd 2841 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
4 cmptop 23404 . . . . . . 7 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top)
5 restrcl 23166 . . . . . . . 8 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
65simprd 495 . . . . . . 7 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → 𝐾 ∈ V)
8 resttop 23169 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐽t 𝐾) ∈ Top)
97, 8sylan2 593 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ Top)
10 toptopon2 22925 . . . . 5 ((𝐽t 𝐾) ∈ Top ↔ (𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ (𝐽t 𝐾)))
119, 10sylib 218 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ (𝐽t 𝐾)))
12 eqid 2736 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
1312kgenuni 23548 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 = (𝑘Gen‘𝐽))
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 = (𝑘Gen‘𝐽))
1514ineq2d 4219 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 𝐽) = (𝐾 (𝑘Gen‘𝐽)))
1612restuni2 23176 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 𝐽) = (𝐽t 𝐾))
177, 16sylan2 593 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 𝐽) = (𝐽t 𝐾))
18 kgenftop 23549 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
19 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑘Gen‘𝐽) = (𝑘Gen‘𝐽)
2019restuni2 23176 . . . . . . 7 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 (𝑘Gen‘𝐽)) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2118, 7, 20syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 (𝑘Gen‘𝐽)) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2215, 17, 213eqtr3d 2784 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2322fveq2d 6909 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (TopOn‘ (𝐽t 𝐾)) = (TopOn‘ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
2411, 23eleqtrd 2842 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
25 simpr 484 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
26 kgenss 23552 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
2726adantr 480 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
28 ssrest 23185 . . . 4 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2918, 27, 28syl2an2r 685 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
30 eqid 2736 . . . 4 ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)
3130sscmp 23414 . . 3 (((𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp ∧ (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) → (𝐽t 𝐾) ∈ Comp)
3224, 25, 29, 31syl3anc 1372 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ Comp)
333, 32impbida 800 1 (𝐽 ∈ Top → ((𝐽t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  cin 3949  wss 3950   cuni 4906  cfv 6560  (class class class)co 7432  t crest 17466  Topctop 22900  TopOnctopon 22917  Compccmp 23395  𝑘Genckgen 23542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-en 8987  df-fin 8990  df-fi 9452  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22901  df-topon 22918  df-bases 22954  df-cmp 23396  df-kgen 23543
This theorem is referenced by:  kgenidm  23556
  Copyright terms: Public domain W3C validator