Theorem kgencmp2 23570

Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencmp2	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

Proof of Theorem kgencmp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgencmp 23569	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
3	1, 2	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
4		cmptop 23419	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top)
5		restrcl 23181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
6	5	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → 𝐾 ∈ V)
8		resttop 23184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
9	7, 8	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
10		toptopon2 22940	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top ↔ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)))
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)))
12		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13	12	kgenuni 23563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 = ∪ (𝑘Gen‘𝐽))
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ∪ 𝐽 = ∪ (𝑘Gen‘𝐽))
15	14	ineq2d 4228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)))
16	12	restuni2 23191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐾))
17	7, 16	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐾))
18		kgenftop 23564	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
19		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ (𝑘Gen‘𝐽) = ∪ (𝑘Gen‘𝐽)
20	19	restuni2 23191	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
21	18, 7, 20	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
22	15, 17, 21	3eqtr3d 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ∪ (𝐽 ↾t 𝐾) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
23	22	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)) = (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
24	11, 23	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
25		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
26		kgenss 23567	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
28		ssrest 23200	. . . 4 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
29	18, 27, 28	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
30		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)
31	30	sscmp 23429	. . 3 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
32	24, 25, 29, 31	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
33	3, 32	impbida 801	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∪ cuni 4912  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↾_t crest 17467  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  Compccmp 23410  𝑘Genckgen 23557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-kgen 23558

This theorem is referenced by:  kgenidm  23571