Theorem kgencmp2 23575

Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencmp2	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

Proof of Theorem kgencmp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgencmp 23574	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
3	1, 2	eqeltrrd 2845	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
4		cmptop 23424	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top)
5		restrcl 23186	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
6	5	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → 𝐾 ∈ V)
8		resttop 23189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
9	7, 8	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
10		toptopon2 22945	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top ↔ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)))
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)))
12		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13	12	kgenuni 23568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 = ∪ (𝑘Gen‘𝐽))
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ∪ 𝐽 = ∪ (𝑘Gen‘𝐽))
15	14	ineq2d 4241	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)))
16	12	restuni2 23196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐾))
17	7, 16	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐾))
18		kgenftop 23569	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
19		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ (𝑘Gen‘𝐽) = ∪ (𝑘Gen‘𝐽)
20	19	restuni2 23196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
21	18, 7, 20	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
22	15, 17, 21	3eqtr3d 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ∪ (𝐽 ↾t 𝐾) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
23	22	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)) = (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
24	11, 23	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
25		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
26		kgenss 23572	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
28		ssrest 23205	. . . 4 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
29	18, 27, 28	syl2an2r 684	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
30		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)
31	30	sscmp 23434	. . 3 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
32	24, 25, 29, 31	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
33	3, 32	impbida 800	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↾_t crest 17480  Topctop 22920  TopOnctopon 22937  Compccmp 23415  𝑘Genckgen 23562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-en 9004  df-fin 9007  df-fi 9480  df-rest 17482  df-topgen 17503  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cmp 23416  df-kgen 23563

This theorem is referenced by:  kgenidm  23576