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Theorem kgencmp2 21570
Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp2 (𝐽 ∈ Top → ((𝐽t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

Proof of Theorem kgencmp2
StepHypRef Expression
1 kgencmp 21569 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2 simpr 471 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ Comp)
31, 2eqeltrrd 2851 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
4 cmptop 21419 . . . . . . 7 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top)
5 restrcl 21182 . . . . . . . 8 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
65simprd 483 . . . . . . 7 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → 𝐾 ∈ V)
8 resttop 21185 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐽t 𝐾) ∈ Top)
97, 8sylan2 580 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ Top)
10 eqid 2771 . . . . . 6 (𝐽t 𝐾) = (𝐽t 𝐾)
1110toptopon 20942 . . . . 5 ((𝐽t 𝐾) ∈ Top ↔ (𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ (𝐽t 𝐾)))
129, 11sylib 208 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ (𝐽t 𝐾)))
13 eqid 2771 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
1413kgenuni 21563 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 = (𝑘Gen‘𝐽))
1514adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 = (𝑘Gen‘𝐽))
1615ineq2d 3965 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 𝐽) = (𝐾 (𝑘Gen‘𝐽)))
1713restuni2 21192 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 𝐽) = (𝐽t 𝐾))
187, 17sylan2 580 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 𝐽) = (𝐽t 𝐾))
19 kgenftop 21564 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
20 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑘Gen‘𝐽) = (𝑘Gen‘𝐽)
2120restuni2 21192 . . . . . . 7 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 (𝑘Gen‘𝐽)) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2219, 7, 21syl2an 583 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 (𝑘Gen‘𝐽)) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2316, 18, 223eqtr3d 2813 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2423fveq2d 6336 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (TopOn‘ (𝐽t 𝐾)) = (TopOn‘ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
2512, 24eleqtrd 2852 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
26 simpr 471 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
2719adantr 466 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
28 kgenss 21567 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
2928adantr 466 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
30 ssrest 21201 . . . 4 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
3127, 29, 30syl2anc 573 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
32 eqid 2771 . . . 4 ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)
3332sscmp 21429 . . 3 (((𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp ∧ (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) → (𝐽t 𝐾) ∈ Comp)
3425, 26, 31, 33syl3anc 1476 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ Comp)
353, 34impbida 802 1 (𝐽 ∈ Top → ((𝐽t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723   cuni 4574  cfv 6031  (class class class)co 6793  t crest 16289  Topctop 20918  TopOnctopon 20935  Compccmp 21410  𝑘Genckgen 21557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-fin 8113  df-fi 8473  df-rest 16291  df-topgen 16312  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cmp 21411  df-kgen 21558
This theorem is referenced by:  kgenidm  21571
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