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Theorem kgencmp2 21858
Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp2 (𝐽 ∈ Top → ((𝐽t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

Proof of Theorem kgencmp2
StepHypRef Expression
1 kgencmp 21857 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2 simpr 477 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ Comp)
31, 2eqeltrrd 2868 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
4 cmptop 21707 . . . . . . 7 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top)
5 restrcl 21469 . . . . . . . 8 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
65simprd 488 . . . . . . 7 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → 𝐾 ∈ V)
8 resttop 21472 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐽t 𝐾) ∈ Top)
97, 8sylan2 583 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ Top)
10 toptopon2 21230 . . . . 5 ((𝐽t 𝐾) ∈ Top ↔ (𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ (𝐽t 𝐾)))
119, 10sylib 210 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ (𝐽t 𝐾)))
12 eqid 2779 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
1312kgenuni 21851 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 = (𝑘Gen‘𝐽))
1413adantr 473 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 = (𝑘Gen‘𝐽))
1514ineq2d 4077 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 𝐽) = (𝐾 (𝑘Gen‘𝐽)))
1612restuni2 21479 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 𝐽) = (𝐽t 𝐾))
177, 16sylan2 583 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 𝐽) = (𝐽t 𝐾))
18 kgenftop 21852 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
19 eqid 2779 . . . . . . . 8 (𝑘Gen‘𝐽) = (𝑘Gen‘𝐽)
2019restuni2 21479 . . . . . . 7 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 (𝑘Gen‘𝐽)) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2118, 7, 20syl2an 586 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 (𝑘Gen‘𝐽)) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2215, 17, 213eqtr3d 2823 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2322fveq2d 6503 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (TopOn‘ (𝐽t 𝐾)) = (TopOn‘ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
2411, 23eleqtrd 2869 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
25 simpr 477 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
26 kgenss 21855 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
2726adantr 473 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
28 ssrest 21488 . . . 4 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2918, 27, 28syl2an2r 672 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
30 eqid 2779 . . . 4 ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)
3130sscmp 21717 . . 3 (((𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp ∧ (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) → (𝐽t 𝐾) ∈ Comp)
3224, 25, 29, 31syl3anc 1351 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ Comp)
333, 32impbida 788 1 (𝐽 ∈ Top → ((𝐽t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3416  cin 3829  wss 3830   cuni 4712  cfv 6188  (class class class)co 6976  t crest 16550  Topctop 21205  TopOnctopon 21222  Compccmp 21698  𝑘Genckgen 21845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-fin 8310  df-fi 8670  df-rest 16552  df-topgen 16573  df-top 21206  df-topon 21223  df-bases 21258  df-cmp 21699  df-kgen 21846
This theorem is referenced by:  kgenidm  21859
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