Theorem kgencmp2 23489

Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencmp2	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

Proof of Theorem kgencmp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgencmp 23488	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
3	1, 2	eqeltrrd 2836	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
4		cmptop 23338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top)
5		restrcl 23100	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
6	5	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
7	4, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → 𝐾 ∈ V)
8		resttop 23103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
9	7, 8	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
10		toptopon2 22861	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top ↔ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)))
11	9, 10	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)))
12		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13	12	kgenuni 23482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 = ∪ (𝑘Gen‘𝐽))
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ∪ 𝐽 = ∪ (𝑘Gen‘𝐽))
15	14	ineq2d 4200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)))
16	12	restuni2 23110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐾))
17	7, 16	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐾))
18		kgenftop 23483	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
19		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ (𝑘Gen‘𝐽) = ∪ (𝑘Gen‘𝐽)
20	19	restuni2 23110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
21	18, 7, 20	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
22	15, 17, 21	3eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ∪ (𝐽 ↾t 𝐾) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
23	22	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)) = (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
24	11, 23	eleqtrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
25		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
26		kgenss 23486	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
28		ssrest 23119	. . . 4 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
29	18, 27, 28	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
30		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)
31	30	sscmp 23348	. . 3 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
32	24, 25, 29, 31	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
33	3, 32	impbida 800	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  ∪ cuni 4888  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↾_t crest 17439  Topctop 22836  TopOnctopon 22853  Compccmp 23329  𝑘Genckgen 23476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9428  df-rest 17441  df-topgen 17462  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-cmp 23330  df-kgen 23477

This theorem is referenced by:  kgenidm  23490