MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencmp2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem kgencmp2 23057
Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp2 (𝐽 ∈ Top β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp ↔ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp))
Proof of Theorem kgencmp2
StepHypRef Expression
1 kgencmp 23056 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) = ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
2 simpr 485 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp)
31, 2eqeltrrd 2834 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp)
4 cmptop 22906 . . . . . . 7 (((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Top)
5 restrcl 22668 . . . . . . . 8 (((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Top β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
65simprd 496 . . . . . . 7 (((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ V)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp β†’ 𝐾 ∈ V)
8 resttop 22671 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Top)
97, 8sylan2 593 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Top)
10 toptopon2 22427 . . . . 5 ((𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Top ↔ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐾)))
119, 10sylib 217 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐾)))
12 eqid 2732 . . . . . . . . 9 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
1312kgenuni 23050 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½))
1514ineq2d 4212 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐾 ∩ βˆͺ 𝐽) = (𝐾 ∩ βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½)))
1612restuni2 22678 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) β†’ (𝐾 ∩ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐾))
177, 16sylan2 593 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐾 ∩ βˆͺ 𝐽) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐾))
18 kgenftop 23051 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top)
19 eqid 2732 . . . . . . . 8 βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½) = βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½)
2019restuni2 22678 . . . . . . 7 (((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) β†’ (𝐾 ∩ βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½)) = βˆͺ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
2118, 7, 20syl2an 596 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐾 ∩ βˆͺ (π‘˜Genβ€˜π½)) = βˆͺ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
2215, 17, 213eqtr3d 2780 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐾) = βˆͺ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
2322fveq2d 6895 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (TopOnβ€˜βˆͺ (𝐽 β†Ύt 𝐾)) = (TopOnβ€˜βˆͺ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾)))
2411, 23eleqtrd 2835 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾)))
25 simpr 485 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp)
26 kgenss 23054 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
2726adantr 481 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
28 ssrest 22687 . . . 4 (((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) βŠ† ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
2918, 27, 28syl2an2r 683 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) βŠ† ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
30 eqid 2732 . . . 4 βˆͺ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) = βˆͺ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾)
3130sscmp 22916 . . 3 (((𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾)) ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) βŠ† ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp)
3224, 25, 29, 31syl3anc 1371 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp)
333, 32impbida 799 1 (𝐽 ∈ Top β†’ ((𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp ↔ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) ∈ Comp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17368  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  Compccmp 22897  π‘˜Genckgen 23044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cmp 22898  df-kgen 23045
This theorem is referenced by:  kgenidm  23058
  Copyright terms: Public domain W3C validator