Theorem kgencmp2 23778

Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencmp2	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

Proof of Theorem kgencmp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgencmp 23777	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
3	1, 2	eqeltrrd 2863	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
4		cmptop 23626	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top)
5		restrcl 23388	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
6	5	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
7	4, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → 𝐾 ∈ V)
8		resttop 23391	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
9	7, 8	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
10		toptopon2 23149	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top ↔ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)))
11	9, 10	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)))
12		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
13	12	kgenuni 23771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 = ∪ (𝑘Gen‘𝐽))
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ∪ 𝐽 = ∪ (𝑘Gen‘𝐽))
15	14	ineq2d 4169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)))
16	12	restuni2 23398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐾))
17	7, 16	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ 𝐽) = ∪ (𝐽 ↾t 𝐾))
18		kgenftop 23772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
19		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ (𝑘Gen‘𝐽) = ∪ (𝑘Gen‘𝐽)
20	19	restuni2 23398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
21	18, 7, 20	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 ∩ ∪ (𝑘Gen‘𝐽)) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
22	15, 17, 21	3eqtr3d 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ∪ (𝐽 ↾t 𝐾) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
23	22	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (TopOn‘∪ (𝐽 ↾t 𝐾)) = (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
24	11, 23	eleqtrd 2864	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
25		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
26		kgenss 23775	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
28		ssrest 23407	. . . 4 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
29	18, 27, 28	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
30		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)
31	30	sscmp 23636	. . 3 ⊢ (((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ (TopOn‘∪ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
32	24, 25, 29, 31	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
33	3, 32	impbida 813	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↾_t crest 17511  Topctop 23124  TopOnctopon 23141  Compccmp 23617  𝑘Genckgen 23765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-en 8957  df-fin 8960  df-fi 9385  df-rest 17513  df-topgen 17534  df-top 23125  df-topon 23142  df-bases 23177  df-cmp 23618  df-kgen 23766

This theorem is used by:  kgenidm  23779