Theorem kgencmp 23844

Description: The compact generator topology is the same as the original topology on compact subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencmp	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))

Proof of Theorem kgencmp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgenftop 23839	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
3		kgenss 23842	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
5		ssrest 23474	. . 3 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
6	2, 4, 5	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
7		cmptop 23693	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
8	7	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
9		restrcl 23455	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
10	9	simprd 501	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
11	8, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐾 ∈ V)
12		restval 17577	. . . 4 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)))
13	2, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)))
14		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽))
15		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
16		kgeni 23836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑥 ∩ 𝐾) ∈ (𝐽 ↾t 𝐾))
17	14, 15, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝑥 ∩ 𝐾) ∈ (𝐽 ↾t 𝐾))
18	17	fmpttd 7107	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)):(𝑘Gen‘𝐽)⟶(𝐽 ↾t 𝐾))
19	18	frnd 6710	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)) ⊆ (𝐽 ↾t 𝐾))
20	13, 19	eqsstrd 3965	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ⊆ (𝐽 ↾t 𝐾))
21	6, 20	eqssd 3948	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ↾_t crest 17571  Topctop 23191  Compccmp 23684  𝑘Genckgen 23832

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-en 8958  df-fin 8961  df-fi 9387  df-rest 17573  df-topgen 17594  df-top 23192  df-topon 23209  df-bases 23244  df-cmp 23685  df-kgen 23833

This theorem is used by:  kgencmp2  23845  kgenidm  23846