Theorem kgencmp 23488

Description: The compact generator topology is the same as the original topology on compact subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencmp	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))

Proof of Theorem kgencmp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgenftop 23483	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
3		kgenss 23486	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
5		ssrest 23119	. . 3 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
7		cmptop 23338	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
9		restrcl 23100	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
10	9	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐾 ∈ V)
12		restval 17445	. . . 4 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)))
13	2, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)))
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽))
15		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
16		kgeni 23480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑥 ∩ 𝐾) ∈ (𝐽 ↾t 𝐾))
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝑥 ∩ 𝐾) ∈ (𝐽 ↾t 𝐾))
18	17	fmpttd 7110	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)):(𝑘Gen‘𝐽)⟶(𝐽 ↾t 𝐾))
19	18	frnd 6719	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)) ⊆ (𝐽 ↾t 𝐾))
20	13, 19	eqsstrd 3998	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ⊆ (𝐽 ↾t 𝐾))
21	6, 20	eqssd 3981	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931   ↦ cmpt 5206  ran crn 5660  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↾_t crest 17439  Topctop 22836  Compccmp 23329  𝑘Genckgen 23476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-en 8965  df-fin 8968  df-fi 9428  df-rest 17441  df-topgen 17462  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-cmp 23330  df-kgen 23477

This theorem is referenced by:  kgencmp2  23489  kgenidm  23490