Theorem kgencmp 23463

Description: The compact generator topology is the same as the original topology on compact subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencmp	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))

Proof of Theorem kgencmp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgenftop 23458	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
3		kgenss 23461	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
5		ssrest 23094	. . 3 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
7		cmptop 23313	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
9		restrcl 23075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
10	9	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐾 ∈ V)
12		restval 17334	. . . 4 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)))
13	2, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)))
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽))
15		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
16		kgeni 23455	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑥 ∩ 𝐾) ∈ (𝐽 ↾t 𝐾))
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝑥 ∩ 𝐾) ∈ (𝐽 ↾t 𝐾))
18	17	fmpttd 7056	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)):(𝑘Gen‘𝐽)⟶(𝐽 ↾t 𝐾))
19	18	frnd 6666	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)) ⊆ (𝐽 ↾t 𝐾))
20	13, 19	eqsstrd 3965	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ⊆ (𝐽 ↾t 𝐾))
21	6, 20	eqssd 3948	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5176  ran crn 5622  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ↾_t crest 17328  Topctop 22811  Compccmp 23304  𝑘Genckgen 23451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-en 8878  df-fin 8881  df-fi 9304  df-rest 17330  df-topgen 17351  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22864  df-cmp 23305  df-kgen 23452

This theorem is referenced by:  kgencmp2  23464  kgenidm  23465