MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencmp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem kgencmp 23049
Description: The compact generator topology is the same as the original topology on compact subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) = ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
Proof of Theorem kgencmp
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgenftop 23044 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top)
21adantr 482 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top)
3 kgenss 23047 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
43adantr 482 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
5 ssrest 22680 . . 3 (((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) βŠ† ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
62, 4, 5syl2anc 585 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) βŠ† ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
7 cmptop 22899 . . . . . 6 ((𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Top)
87adantl 483 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Top)
9 restrcl 22661 . . . . . 6 ((𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Top β†’ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
109simprd 497 . . . . 5 ((𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ V)
118, 10syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ 𝐾 ∈ V)
12 restval 17372 . . . 4 (((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) = ran (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↦ (π‘₯ ∩ 𝐾)))
132, 11, 12syl2anc 585 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) = ran (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↦ (π‘₯ ∩ 𝐾)))
14 simpr 486 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
15 simplr 768 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp)
16 kgeni 23041 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐾) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐾))
1714, 15, 16syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐾) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐾))
1817fmpttd 7115 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↦ (π‘₯ ∩ 𝐾)):(π‘˜Genβ€˜π½)⟢(𝐽 β†Ύt 𝐾))
1918frnd 6726 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ ran (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↦ (π‘₯ ∩ 𝐾)) βŠ† (𝐽 β†Ύt 𝐾))
2013, 19eqsstrd 4021 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) βŠ† (𝐽 β†Ύt 𝐾))
216, 20eqssd 4000 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) = ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β†Ύt crest 17366  Topctop 22395  Compccmp 22890  π‘˜Genckgen 23037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-kgen 23038
This theorem is referenced by:  kgencmp2  23050  kgenidm  23051
  Copyright terms: Public domain W3C validator