MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencmp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem kgencmp 23269
Description: The compact generator topology is the same as the original topology on compact subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) = ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
Proof of Theorem kgencmp
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgenftop 23264 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top)
21adantr 479 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top)
3 kgenss 23267 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
43adantr 479 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½))
5 ssrest 22900 . . 3 (((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝐽 βŠ† (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) βŠ† ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
62, 4, 5syl2anc 582 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) βŠ† ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
7 cmptop 23119 . . . . . 6 ((𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Top)
87adantl 480 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Top)
9 restrcl 22881 . . . . . 6 ((𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Top β†’ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
109simprd 494 . . . . 5 ((𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Top β†’ 𝐾 ∈ V)
118, 10syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ 𝐾 ∈ V)
12 restval 17376 . . . 4 (((π‘˜Genβ€˜π½) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) = ran (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↦ (π‘₯ ∩ 𝐾)))
132, 11, 12syl2anc 582 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) = ran (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↦ (π‘₯ ∩ 𝐾)))
14 simpr 483 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½))
15 simplr 765 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp)
16 kgeni 23261 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐾) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐾))
1714, 15, 16syl2anc 582 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) ∧ π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½)) β†’ (π‘₯ ∩ 𝐾) ∈ (𝐽 β†Ύt 𝐾))
1817fmpttd 7115 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↦ (π‘₯ ∩ 𝐾)):(π‘˜Genβ€˜π½)⟢(𝐽 β†Ύt 𝐾))
1918frnd 6724 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ ran (π‘₯ ∈ (π‘˜Genβ€˜π½) ↦ (π‘₯ ∩ 𝐾)) βŠ† (𝐽 β†Ύt 𝐾))
2013, 19eqsstrd 4019 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾) βŠ† (𝐽 β†Ύt 𝐾))
216, 20eqssd 3998 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 β†Ύt 𝐾) ∈ Comp) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐾) = ((π‘˜Genβ€˜π½) β†Ύt 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  Compccmp 23110  π‘˜Genckgen 23257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-kgen 23258
This theorem is referenced by:  kgencmp2  23270  kgenidm  23271
  Copyright terms: Public domain W3C validator