Theorem kgencmp 23520

Description: The compact generator topology is the same as the original topology on compact subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencmp	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))

Proof of Theorem kgencmp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgenftop 23515	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
3		kgenss 23518	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
5		ssrest 23151	. . 3 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
6	2, 4, 5	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
7		cmptop 23370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top)
9		restrcl 23132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
10	9	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐾 ∈ V)
12		restval 17380	. . . 4 ⊢ (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)))
13	2, 11, 12	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)))
14		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽))
15		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp)
16		kgeni 23512	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑥 ∩ 𝐾) ∈ (𝐽 ↾t 𝐾))
17	14, 15, 16	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝑥 ∩ 𝐾) ∈ (𝐽 ↾t 𝐾))
18	17	fmpttd 7061	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)):(𝑘Gen‘𝐽)⟶(𝐽 ↾t 𝐾))
19	18	frnd 6670	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥 ∩ 𝐾)) ⊆ (𝐽 ↾t 𝐾))
20	13, 19	eqsstrd 3957	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ⊆ (𝐽 ↾t 𝐾))
21	6, 20	eqssd 3940	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽 ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5167  ran crn 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↾_t crest 17374  Topctop 22868  Compccmp 23361  𝑘Genckgen 23508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-en 8887  df-fin 8890  df-fi 9317  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921  df-cmp 23362  df-kgen 23509

This theorem is referenced by:  kgencmp2  23521  kgenidm  23522