MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrest2r Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnrest2r 23011
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2r (𝐾 ∈ Top β†’ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
Proof of Theorem cnrest2r
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)))
2 cntop2 22965 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
32adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
4 restrcl 22881 . . . . . . 7 ((𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ Top β†’ (𝐾 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V))
5 eqid 2730 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
65restin 22890 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) = (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
73, 4, 63syl 18 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) = (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
87oveq2d 7427 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) = (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))))
91, 8eleqtrd 2833 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))))
10 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ Top)
11 toptopon2 22640 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
1210, 11sylib 217 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
13 cntop1 22964 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1413adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
15 toptopon2 22640 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
1614, 15sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
17 inss2 4228 . . . . . . . 8 (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾
18 resttopon 22885 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
1912, 17, 18sylancl 584 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
20 cnf2 22973 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))
2116, 19, 9, 20syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))
2221frnd 6724 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))
2317a1i 11 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾)
24 cnrest2 23010 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ ran 𝑓 βŠ† (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) ∧ (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))))
2512, 22, 23, 24syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))))
269, 25mpbird 256 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2726ex 411 . 2 (𝐾 ∈ Top β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2827ssrdv 3987 1 (𝐾 ∈ Top β†’ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4907  ran crn 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951
This theorem is referenced by:  invrcn  23905  metdcn  24576  ngnmcncn  24581  metdscn2  24593  icchmeo  24685  icchmeoOLD  24686  cnrehmeo  24698  cnrehmeoOLD  24699  evth  24705  reparphti  24743  reparphtiOLD  24744  nmcnc  30216  connpconn  34524  cvxsconn  34532  cvmliftlem8  34581  cvmlift2lem9a  34592  cvmlift3lem6  34613  knoppcnlem10  35681  broucube  36825
  Copyright terms: Public domain W3C validator