MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrest2r Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnrest2r 23146
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2r (𝐾 ∈ Top β†’ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
Proof of Theorem cnrest2r
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)))
2 cntop2 23100 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
32adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
4 restrcl 23016 . . . . . . 7 ((𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ Top β†’ (𝐾 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V))
5 eqid 2726 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
65restin 23025 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) = (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
73, 4, 63syl 18 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) = (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
87oveq2d 7421 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) = (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))))
91, 8eleqtrd 2829 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))))
10 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ Top)
11 toptopon2 22775 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
1210, 11sylib 217 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
13 cntop1 23099 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
15 toptopon2 22775 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
1614, 15sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
17 inss2 4224 . . . . . . . 8 (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾
18 resttopon 23020 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
1912, 17, 18sylancl 585 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
20 cnf2 23108 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))
2116, 19, 9, 20syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))
2221frnd 6719 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))
2317a1i 11 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾)
24 cnrest2 23145 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ ran 𝑓 βŠ† (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) ∧ (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))))
2512, 22, 23, 24syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))))
269, 25mpbird 257 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2726ex 412 . 2 (𝐾 ∈ Top β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2827ssrdv 3983 1 (𝐾 ∈ Top β†’ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902  ran crn 5670  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   β†Ύt crest 17375  Topctop 22750  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cn 23086
This theorem is referenced by:  invrcn  24040  metdcn  24711  ngnmcncn  24716  metdscn2  24728  icchmeo  24820  icchmeoOLD  24821  cnrehmeo  24833  cnrehmeoOLD  24834  evth  24840  reparphti  24878  reparphtiOLD  24879  nmcnc  30458  connpconn  34754  cvxsconn  34762  cvmliftlem8  34811  cvmlift2lem9a  34822  cvmlift3lem6  34843  knoppcnlem10  35886  broucube  37035
  Copyright terms: Public domain W3C validator