Theorem cnrest2r 23496

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2r	⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest2r

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)))
2		cntop2 23450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top)
3	2	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top)
4		restrcl 23366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top → (𝐾 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
5		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
6	5	restin 23375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
7	3, 4, 6	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
8	7	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) = (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))))
9	1, 8	eleqtrd 2867	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))))
10		toptopon2 23127	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
11	10	birani 509	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
12		cntop1 23449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
13	12	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
14		toptopon2 23127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
15	13, 14	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
16		inss2 4190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾
17		resttopon 23370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
18	11, 16, 17	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
19		cnf2 23458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))) → 𝑓:∪ 𝐽⟶(𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
20	15, 18, 9, 19	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓:∪ 𝐽⟶(𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
21	20	frnd 6718	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → ran 𝑓 ⊆ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
22	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾)
23		cnrest2 23495	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran 𝑓 ⊆ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ∧ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))))
24	11, 21, 22, 23	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))))
25	9, 24	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
26	25	ex 418	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
27	26	ssrdv 3944	1 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4874  ran crn 5664  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↾_t crest 17497  Topctop 23102  TopOnctopon 23119   Cn ccn 23433

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-map 8832  df-en 8950  df-fin 8953  df-fi 9378  df-rest 17499  df-topgen 17520  df-top 23103  df-topon 23120  df-bases 23155  df-cn 23436

This theorem is used by:  invrcn  24391  metdcn  25051  ngnmcncn  25056  metdscn2  25068  icchmeo  25153  cnrehmeo  25165  evth  25171  reparphti  25209  nmcnc  31121  connpconn  35766  cvxsconn  35774  cvmliftlem8  35823  cvmlift2lem9a  35834  cvmlift3lem6  35855  knoppcnlem10  37150  broucube  38364