MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrest2r Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cnrest2r 23219
Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2r (𝐾 ∈ Top β†’ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
Proof of Theorem cnrest2r
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)))
2 cntop2 23173 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
32adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ Top)
4 restrcl 23089 . . . . . . 7 ((𝐾 β†Ύt 𝐡) ∈ Top β†’ (𝐾 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V))
5 eqid 2728 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
65restin 23098 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) = (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
73, 4, 63syl 18 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐡) = (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
87oveq2d 7442 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) = (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))))
91, 8eleqtrd 2831 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))))
10 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ Top)
11 toptopon2 22848 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
1210, 11sylib 217 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
13 cntop1 23172 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) β†’ 𝐽 ∈ Top)
1413adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐽 ∈ Top)
15 toptopon2 22848 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
1614, 15sylib 217 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
17 inss2 4232 . . . . . . . 8 (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾
18 resttopon 23093 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
1912, 17, 18sylancl 584 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))
20 cnf2 23181 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∈ (TopOnβ€˜(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))
2116, 19, 9, 20syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓:βˆͺ 𝐽⟢(𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))
2221frnd 6735 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ ran 𝑓 βŠ† (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾))
2317a1i 11 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾)
24 cnrest2 23218 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ ran 𝑓 βŠ† (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) ∧ (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))))
2512, 22, 23, 24syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt (𝐡 ∩ βˆͺ 𝐾)))))
269, 25mpbird 256 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2726ex 411 . 2 (𝐾 ∈ Top β†’ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) β†’ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2827ssrdv 3988 1 (𝐾 ∈ Top β†’ (𝐽 Cn (𝐾 β†Ύt 𝐡)) βŠ† (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4912  ran crn 5683  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   β†Ύt crest 17411  Topctop 22823  TopOnctopon 22840   Cn ccn 23156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8855  df-en 8973  df-fin 8976  df-fi 9444  df-rest 17413  df-topgen 17434  df-top 22824  df-topon 22841  df-bases 22877  df-cn 23159
This theorem is referenced by:  invrcn  24113  metdcn  24784  ngnmcncn  24789  metdscn2  24801  icchmeo  24893  icchmeoOLD  24894  cnrehmeo  24906  cnrehmeoOLD  24907  evth  24913  reparphti  24951  reparphtiOLD  24952  nmcnc  30534  connpconn  34886  cvxsconn  34894  cvmliftlem8  34943  cvmlift2lem9a  34954  cvmlift3lem6  34975  knoppcnlem10  36018  broucube  37168
  Copyright terms: Public domain W3C validator