Theorem cnrest2r 23207

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2r	⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest2r

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)))
2		cntop2 23161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top)
4		restrcl 23077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top → (𝐾 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
5		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
6	5	restin 23086	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
7	3, 4, 6	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
8	7	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) = (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))))
9	1, 8	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))))
10		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐾 ∈ Top)
11		toptopon2 22838	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
12	10, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
13		cntop1 23160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
15		toptopon2 22838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
16	14, 15	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
17		inss2 4197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾
18		resttopon 23081	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
19	12, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
20		cnf2 23169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))) → 𝑓:∪ 𝐽⟶(𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
21	16, 19, 9, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓:∪ 𝐽⟶(𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
22	21	frnd 6678	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → ran 𝑓 ⊆ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
23	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾)
24		cnrest2 23206	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran 𝑓 ⊆ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ∧ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))))
25	12, 22, 23, 24	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))))
26	9, 25	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
27	26	ex 412	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
28	27	ssrdv 3949	1 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867  ran crn 5632  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↾_t crest 17359  Topctop 22813  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-map 8778  df-en 8896  df-fin 8899  df-fi 9338  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22866  df-cn 23147

This theorem is referenced by:  invrcn  24101  metdcn  24762  ngnmcncn  24767  metdscn2  24779  icchmeo  24871  icchmeoOLD  24872  cnrehmeo  24884  cnrehmeoOLD  24885  evth  24891  reparphti  24929  reparphtiOLD  24930  nmcnc  30675  connpconn  35215  cvxsconn  35223  cvmliftlem8  35272  cvmlift2lem9a  35283  cvmlift3lem6  35304  knoppcnlem10  36483  broucube  37641