Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnrest2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnrest2r 21902
 Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnrest2r (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest2r
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵)))
2 cntop2 21856 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵)) → (𝐾t 𝐵) ∈ Top)
32adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → (𝐾t 𝐵) ∈ Top)
4 restrcl 21772 . . . . . . 7 ((𝐾t 𝐵) ∈ Top → (𝐾 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
5 eqid 2798 . . . . . . . 8 𝐾 = 𝐾
65restin 21781 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐾t 𝐵) = (𝐾t (𝐵 𝐾)))
73, 4, 63syl 18 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → (𝐾t 𝐵) = (𝐾t (𝐵 𝐾)))
87oveq2d 7152 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵)) = (𝐽 Cn (𝐾t (𝐵 𝐾))))
91, 8eleqtrd 2892 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t (𝐵 𝐾))))
10 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → 𝐾 ∈ Top)
11 toptopon2 21533 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
1210, 11sylib 221 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
13 cntop1 21855 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
1413adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
15 toptopon2 21533 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
1614, 15sylib 221 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
17 inss2 4156 . . . . . . . 8 (𝐵 𝐾) ⊆ 𝐾
18 resttopon 21776 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ (𝐵 𝐾) ⊆ 𝐾) → (𝐾t (𝐵 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 𝐾)))
1912, 17, 18sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → (𝐾t (𝐵 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 𝐾)))
20 cnf2 21864 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ (𝐾t (𝐵 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 𝐾)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t (𝐵 𝐾)))) → 𝑓: 𝐽⟶(𝐵 𝐾))
2116, 19, 9, 20syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → 𝑓: 𝐽⟶(𝐵 𝐾))
2221frnd 6495 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → ran 𝑓 ⊆ (𝐵 𝐾))
2317a1i 11 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → (𝐵 𝐾) ⊆ 𝐾)
24 cnrest2 21901 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ∧ ran 𝑓 ⊆ (𝐵 𝐾) ∧ (𝐵 𝐾) ⊆ 𝐾) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t (𝐵 𝐾)))))
2512, 22, 23, 24syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t (𝐵 𝐾)))))
269, 25mpbird 260 . . 3 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2726ex 416 . 2 (𝐾 ∈ Top → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2827ssrdv 3921 1 (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾t 𝐵)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  ∪ cuni 4801  ran crn 5521  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ↾t crest 16689  Topctop 21508  TopOnctopon 21525   Cn ccn 21839 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-fin 8499  df-fi 8862  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-top 21509  df-topon 21526  df-bases 21561  df-cn 21842 This theorem is referenced by:  invrcn  22796  metdcn  23455  ngnmcncn  23460  metdscn2  23472  icchmeo  23556  cnrehmeo  23568  evth  23574  reparphti  23612  nmcnc  28489  connpconn  32610  cvxsconn  32618  cvmliftlem8  32667  cvmlift2lem9a  32678  cvmlift3lem6  32699  knoppcnlem10  33969  broucube  35110
 Copyright terms: Public domain W3C validator