Theorem cnrest2r 23181

Description: Equivalence of continuity in the parent topology and continuity in a subspace. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnrest2r	⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem cnrest2r

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)))
2		cntop2 23135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top)
4		restrcl 23051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ↾t 𝐵) ∈ Top → (𝐾 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
5		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾
6	5	restin 23060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
7	3, 4, 6	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t 𝐵) = (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
8	7	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) = (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))))
9	1, 8	eleqtrd 2831	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))))
10		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐾 ∈ Top)
11		toptopon2 22812	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
12	10, 11	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾))
13		cntop1 23134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → 𝐽 ∈ Top)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
15		toptopon2 22812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
16	14, 15	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
17		inss2 4204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾
18		resttopon 23055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
19	12, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))
20		cnf2 23143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∈ (TopOn‘(𝐵 ∩ ∪ 𝐾)) ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))) → 𝑓:∪ 𝐽⟶(𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
21	16, 19, 9, 20	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓:∪ 𝐽⟶(𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
22	21	frnd 6699	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → ran 𝑓 ⊆ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾))
23	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾)
24		cnrest2 23180	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘∪ 𝐾) ∧ ran 𝑓 ⊆ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ∧ (𝐵 ∩ ∪ 𝐾) ⊆ ∪ 𝐾) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))))
25	12, 22, 23, 24	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t (𝐵 ∩ ∪ 𝐾)))))
26	9, 25	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵))) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
27	26	ex 412	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝑓 ∈ (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) → 𝑓 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
28	27	ssrdv 3955	1 ⊢ (𝐾 ∈ Top → (𝐽 Cn (𝐾 ↾t 𝐵)) ⊆ (𝐽 Cn 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ∪ cuni 4874  ran crn 5642  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↾_t crest 17390  Topctop 22787  TopOnctopon 22804   Cn ccn 23118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-map 8804  df-en 8922  df-fin 8925  df-fi 9369  df-rest 17392  df-topgen 17413  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cn 23121

This theorem is referenced by:  invrcn  24075  metdcn  24736  ngnmcncn  24741  metdscn2  24753  icchmeo  24845  icchmeoOLD  24846  cnrehmeo  24858  cnrehmeoOLD  24859  evth  24865  reparphti  24903  reparphtiOLD  24904  nmcnc  30632  connpconn  35229  cvxsconn  35237  cvmliftlem8  35286  cvmlift2lem9a  35297  cvmlift3lem6  35318  knoppcnlem10  36497  broucube  37655