Theorem rrx2plord2 48669

Description: The lexicographical ordering for points in the two dimensional Euclidean plane: if the first coordinates of two points are equal, a point is less than another point iff the second coordinate of the point is less than the second coordinate of the other point. (Contributed by AV, 12-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2plord.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ ((𝑥‘1) < (𝑦‘1) ∨ ((𝑥‘1) = (𝑦‘1) ∧ (𝑥‘2) < (𝑦‘2))))}
rrx2plord2.r	⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})

Assertion

Ref	Expression
rrx2plord2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rrx2plord2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2plord.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ ((𝑥‘1) < (𝑦‘1) ∨ ((𝑥‘1) = (𝑦‘1) ∧ (𝑥‘2) < (𝑦‘2))))}
2	1	rrx2plord 48667	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))))
3	2	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))))
4		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1, 2} = {1, 2}
5		rrx2plord2.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})
6	4, 5	rrx2pxel 48658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑅 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
8		ltne 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1))
9	8	necomd 2988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
10	7, 9	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
11	10	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
12		eqneqall 2944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
13	11, 12	syl9 77	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2))))
14	13	3impia 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
15	14	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2))
17	16	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)) → ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
18	15, 17	jaoi 857	. . . 4 ⊢ (((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2))) → ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
19	18	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2))) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
20		olc 868	. . . . 5 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2))))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘2) < (𝑌‘2) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))))
22	21	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑋‘2) < (𝑌‘2) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))))
23	19, 22	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2))) ↔ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
24	3, 23	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  {cpr 4608   class class class wbr 5124  {copab 5186  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845  ℝcr 11133  1c1 11135   < clt 11274  2c2 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279

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