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Theorem rrx2plord2 45741
Description: The lexicographical ordering for points in the two dimensional Euclidean plane: if the first coordinates of two points are equal, a point is less than another point iff the second coordinate of the point is less than the second coordinate of the other point. (Contributed by AV, 12-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
rrx2plord.o 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝑅𝑦𝑅) ∧ ((𝑥‘1) < (𝑦‘1) ∨ ((𝑥‘1) = (𝑦‘1) ∧ (𝑥‘2) < (𝑦‘2))))}
rrx2plord2.r 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})
Assertion
Ref Expression
rrx2plord2 ((𝑋𝑅𝑌𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rrx2plord2
StepHypRef Expression
1 rrx2plord.o . . . 4 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥𝑅𝑦𝑅) ∧ ((𝑥‘1) < (𝑦‘1) ∨ ((𝑥‘1) = (𝑦‘1) ∧ (𝑥‘2) < (𝑦‘2))))}
21rrx2plord 45739 . . 3 ((𝑋𝑅𝑌𝑅) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))))
323adant3 1134 . 2 ((𝑋𝑅𝑌𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))))
4 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 {1, 2} = {1, 2}
5 rrx2plord2.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})
64, 5rrx2pxel 45730 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑅 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
76adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑅𝑌𝑅) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
8 ltne 10929 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1))
98necomd 2996 . . . . . . . . . 10 (((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
107, 9sylan 583 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑅𝑌𝑅) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
1110ex 416 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑅𝑌𝑅) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
12 eqneqall 2951 . . . . . . . 8 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
1311, 12syl9 77 . . . . . . 7 ((𝑋𝑅𝑌𝑅) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2))))
14133impia 1119 . . . . . 6 ((𝑋𝑅𝑌𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
1514com12 32 . . . . 5 ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → ((𝑋𝑅𝑌𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
16 simpr 488 . . . . . 6 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2))
1716a1d 25 . . . . 5 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)) → ((𝑋𝑅𝑌𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
1815, 17jaoi 857 . . . 4 (((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2))) → ((𝑋𝑅𝑌𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
1918com12 32 . . 3 ((𝑋𝑅𝑌𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2))) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
20 olc 868 . . . . 5 (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2))))
2120ex 416 . . . 4 ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘2) < (𝑌‘2) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))))
22213ad2ant3 1137 . . 3 ((𝑋𝑅𝑌𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑋‘2) < (𝑌‘2) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))))
2319, 22impbid 215 . 2 ((𝑋𝑅𝑌𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2))) ↔ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
243, 23bitrd 282 1 ((𝑋𝑅𝑌𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  {cpr 4543   class class class wbr 5053  {copab 5115  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508  cr 10728  1c1 10730   < clt 10867  2c2 11885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872
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