Theorem rrx2plord2 48572

Description: The lexicographical ordering for points in the two dimensional Euclidean plane: if the first coordinates of two points are equal, a point is less than another point iff the second coordinate of the point is less than the second coordinate of the other point. (Contributed by AV, 12-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2plord.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ ((𝑥‘1) < (𝑦‘1) ∨ ((𝑥‘1) = (𝑦‘1) ∧ (𝑥‘2) < (𝑦‘2))))}
rrx2plord2.r	⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})

Assertion

Ref	Expression
rrx2plord2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rrx2plord2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2plord.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ ((𝑥‘1) < (𝑦‘1) ∨ ((𝑥‘1) = (𝑦‘1) ∧ (𝑥‘2) < (𝑦‘2))))}
2	1	rrx2plord 48570	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))))
3	2	3adant3 1131	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))))
4		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1, 2} = {1, 2}
5		rrx2plord2.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m {1, 2})
6	4, 5	rrx2pxel 48561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑅 → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑋‘1) ∈ ℝ)
8		ltne 11356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)) → (𝑌‘1) ≠ (𝑋‘1))
9	8	necomd 2994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋‘1) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
10	7, 9	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
11	10	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
12		eqneqall 2949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
13	11, 12	syl9 77	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2))))
14	13	3impia 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
15	14	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
16		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2))
17	16	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)) → ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
18	15, 17	jaoi 857	. . . 4 ⊢ (((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2))) → ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
19	18	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2))) → (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
20		olc 868	. . . . 5 ⊢ (((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2))))
21	20	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) → ((𝑋‘2) < (𝑌‘2) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))))
22	21	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → ((𝑋‘2) < (𝑌‘2) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))))
23	19, 22	impbid 212	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (((𝑋‘1) < (𝑌‘1) ∨ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) < (𝑌‘2))) ↔ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))
24	3, 23	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘1) = (𝑌‘1)) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ (𝑋‘2) < (𝑌‘2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {cpr 4633   class class class wbr 5148  {copab 5210  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  ℝcr 11152  1c1 11154   < clt 11293  2c2 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298

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