Theorem rrx2plord2 50038

Description: The lexicographical ordering for points in the two dimensional Euclidean plane: if the first coordinates of two points are equal, a point is less than another point iff the second coordinate of the point is less than the second coordinate of the other point. (Contributed by AV, 12-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrx2plord.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ ((𝑥‘0) < (𝑦‘0) ∨ ((𝑥‘0) = (𝑦‘0) ∧ (𝑥‘1) < (𝑦‘1))))}
rrx2plord2.r	⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m (0..^2))

Assertion

Ref	Expression
rrx2plord2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘0) = (𝑌‘0)) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem rrx2plord2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrx2plord.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) ∧ ((𝑥‘0) < (𝑦‘0) ∨ ((𝑥‘0) = (𝑦‘0) ∧ (𝑥‘1) < (𝑦‘1))))}
2	1	rrx2plord 50036	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ ((𝑋‘0) < (𝑌‘0) ∨ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)))))
3	2	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘0) = (𝑌‘0)) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ ((𝑋‘0) < (𝑌‘0) ∨ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)))))
4		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^2) = (0..^2)
5		rrx2plord2.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (ℝ ↑m (0..^2))
6	4, 5	rrx2pxel 50026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑅 → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → (𝑋‘0) ∈ ℝ)
8		ltne 11431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘0) < (𝑌‘0)) → (𝑌‘0) ≠ (𝑋‘0))
9	8	necomd 3014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋‘0) ∈ ℝ ∧ (𝑋‘0) < (𝑌‘0)) → (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0))
10	7, 9	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) ∧ (𝑋‘0) < (𝑌‘0)) → (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0))
11	10	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ((𝑋‘0) < (𝑌‘0) → (𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0)))
12		eqneqall 2970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) → ((𝑋‘0) ≠ (𝑌‘0) → (𝑋‘1) < (𝑌‘1)))
13	11, 12	syl9 78	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅) → ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) → ((𝑋‘0) < (𝑌‘0) → (𝑋‘1) < (𝑌‘1))))
14	13	3impia 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘0) = (𝑌‘0)) → ((𝑋‘0) < (𝑌‘0) → (𝑋‘1) < (𝑌‘1)))
15	14	com12 33	. . . . 5 ⊢ ((𝑋‘0) < (𝑌‘0) → ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘0) = (𝑌‘0)) → (𝑋‘1) < (𝑌‘1)))
16		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)) → (𝑋‘1) < (𝑌‘1))
17	16	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)) → ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘0) = (𝑌‘0)) → (𝑋‘1) < (𝑌‘1)))
18	15, 17	jaoi 871	. . . 4 ⊢ (((𝑋‘0) < (𝑌‘0) ∨ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1))) → ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘0) = (𝑌‘0)) → (𝑋‘1) < (𝑌‘1)))
19	18	com12 33	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘0) = (𝑌‘0)) → (((𝑋‘0) < (𝑌‘0) ∨ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1))) → (𝑋‘1) < (𝑌‘1)))
20		olc 882	. . . . 5 ⊢ (((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)) → ((𝑋‘0) < (𝑌‘0) ∨ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1))))
21	20	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → ((𝑋‘0) < (𝑌‘0) ∨ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)))))
22	21	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘0) = (𝑌‘0)) → ((𝑋‘1) < (𝑌‘1) → ((𝑋‘0) < (𝑌‘0) ∨ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)))))
23	19, 22	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘0) = (𝑌‘0)) → (((𝑋‘0) < (𝑌‘0) ∨ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) < (𝑌‘1))) ↔ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)))
24	3, 23	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑌 ∈ 𝑅 ∧ (𝑋‘0) = (𝑌‘0)) → (𝑋𝑂𝑌 ↔ (𝑋‘1) < (𝑌‘1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  {copab 5170  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ↑_m cmap 8872  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   < clt 11367  2c2 12421  ..^cfzo 13812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-fzo 13813

This theorem is used by: (None)