Theorem s1fv 13706

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 13694	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	fveq1d 6450	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩}‘0))
3		0nn0 11664	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		fvsng 6715	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
5	3, 4	mpan 680	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
6	2, 5	eqtrd 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {csn 4398  ⟨cop 4404  ‘cfv 6137  0cc0 10274  ℕ₀cn0 11647  ⟨“cs1 13691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-mulcl 10336  ax-i2m1 10342

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fv 6145  df-n0 11648  df-s1 13692

This theorem is referenced by:  lsws1  13707  eqs1  13708  wrdl1s1  13710  ccats1val2  13723  ccat1st1st  13724  ccat2s1p1  13725  ccat2s1p2  13726  cats1un  13847  revs1  13917  cats1fvn  14015  s2fv0  14044  efgsval2  18541  efgs1  18543  efgsp1  18545  efgsfo  18548  pgpfaclem1  18878  loopclwwlkn1b  27449  clwwlkn1loopb  27450  clwwlknon1  27516  0wlkons1  27541  1wlkdlem4  27560  wlk2v2elem2  27576  signstf0  31253  signstfvn  31254  signsvtn0  31255  signsvtn0OLD  31256  signstfvneq0  31258