Theorem s1fv 14520

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14508	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	fveq1d 6830	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩}‘0))
3		0nn0 12403	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		fvsng 7120	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
6	2, 5	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4575  ⟨cop 4581  ‘cfv 6486  0cc0 11013  ℕ₀cn0 12388  ⟨“cs1 14505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-mulcl 11075  ax-i2m1 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-n0 12389  df-s1 14506

This theorem is referenced by:  lsws1  14521  eqs1  14522  wrdl1s1  14524  ccats1val2  14537  ccat1st1st  14538  ccat2s1p1  14539  ccat2s1p2  14540  cats1un  14630  revs1  14674  cats1fvn  14767  s2fv0  14796  efgsval2  19647  efgs1  19649  efgsp1  19651  efgsfo  19653  pgpfaclem1  19997  loopclwwlkn1b  30024  clwwlkn1loopb  30025  clwwlknon1  30079  0wlkons1  30103  1wlkdlem4  30122  wlk2v2elem2  30138  ccatws1f1o  32939  cycpmco2lem2  33103  fldext2chn  33762  constrextdg2  33783  signstf0  34602  signsvtn0  34604  signstfvneq0  34606