MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s1fv 14645
Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
s1fv (𝐴𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Proof of Theorem s1fv
StepHypRef Expression
1 s1val 14633 . . 3 (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
21fveq1d 6909 . 2 (𝐴𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩}‘0))
3 0nn0 12539 . . 3 0 ∈ ℕ0
4 fvsng 7200 . . 3 ((0 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
53, 4mpan 690 . 2 (𝐴𝐵 → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
62, 5eqtrd 2775 1 (𝐴𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631  cop 4637  cfv 6563  0cc0 11153  0cn0 12524  ⟨“cs1 14630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-mulcl 11215  ax-i2m1 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-n0 12525  df-s1 14631
This theorem is referenced by:  lsws1  14646  eqs1  14647  wrdl1s1  14649  ccats1val2  14662  ccat1st1st  14663  ccat2s1p1  14664  ccat2s1p2  14665  cats1un  14756  revs1  14800  cats1fvn  14894  s2fv0  14923  efgsval2  19766  efgs1  19768  efgsp1  19770  efgsfo  19772  pgpfaclem1  20116  loopclwwlkn1b  30071  clwwlkn1loopb  30072  clwwlknon1  30126  0wlkons1  30150  1wlkdlem4  30169  wlk2v2elem2  30185  ccatws1f1o  32921  cycpmco2lem2  33130  fldext2chn  33734  signstf0  34562  signsvtn0  34564  signstfvneq0  34566  singoutnword  46836
  Copyright terms: Public domain W3C validator