Theorem s1fv 13963

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 13951	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	fveq1d 6671	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩}‘0))
3		0nn0 11911	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		fvsng 6941	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
5	3, 4	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
6	2, 5	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {csn 4566  ⟨cop 4572  ‘cfv 6354  0cc0 10536  ℕ₀cn0 11896  ⟨“cs1 13948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pr 5329  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-mulcl 10598  ax-i2m1 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fv 6362  df-n0 11897  df-s1 13949

This theorem is referenced by:  lsws1  13964  eqs1  13965  wrdl1s1  13967  ccats1val2  13982  ccat1st1st  13983  ccat2s1p1  13984  ccat2s1p2  13985  ccat2s1p1OLD  13986  ccat2s1p2OLD  13987  cats1un  14082  revs1  14126  cats1fvn  14219  s2fv0  14248  efgsval2  18858  efgs1  18860  efgsp1  18862  efgsfo  18864  pgpfaclem1  19202  loopclwwlkn1b  27819  clwwlkn1loopb  27820  clwwlknon1  27875  0wlkons1  27899  1wlkdlem4  27918  wlk2v2elem2  27934  cycpmco2lem2  30769  signstf0  31838  signsvtn0  31840  signstfvneq0  31842