Theorem s1fv 14575

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14563	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	fveq1d 6860	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩}‘0))
3		0nn0 12457	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		fvsng 7154	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
6	2, 5	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4589  ⟨cop 4595  ‘cfv 6511  0cc0 11068  ℕ₀cn0 12442  ⟨“cs1 14560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-mulcl 11130  ax-i2m1 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-n0 12443  df-s1 14561

This theorem is referenced by:  lsws1  14576  eqs1  14577  wrdl1s1  14579  ccats1val2  14592  ccat1st1st  14593  ccat2s1p1  14594  ccat2s1p2  14595  cats1un  14686  revs1  14730  cats1fvn  14824  s2fv0  14853  efgsval2  19663  efgs1  19665  efgsp1  19667  efgsfo  19669  pgpfaclem1  20013  loopclwwlkn1b  29971  clwwlkn1loopb  29972  clwwlknon1  30026  0wlkons1  30050  1wlkdlem4  30069  wlk2v2elem2  30085  ccatws1f1o  32873  cycpmco2lem2  33084  fldext2chn  33718  constrextdg2  33739  signstf0  34559  signsvtn0  34561  signstfvneq0  34563  singoutnword  46880