Theorem s1fv 14638

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14626	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	fveq1d 6873	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩}‘0))
3		0nn0 12510	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		fvsng 7168	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
5	3, 4	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
6	2, 5	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {csn 4585  ⟨cop 4591  ‘cfv 6525  0cc0 11088  ℕ₀cn0 12495  ⟨“cs1 14623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-mulcl 11150  ax-i2m1 11156

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-n0 12496  df-s1 14624

This theorem is referenced by:  lsws1  14639  eqs1  14640  wrdl1s1  14642  ccats1val2  14655  ccat1st1st  14656  ccat2s1p1  14657  ccat2s1p2  14658  cats1un  14748  revs1  14792  cats1fvn  14885  s2fv0  14914  efgsval2  19794  efgs1  19796  efgsp1  19798  efgsfo  19800  pgpfaclem1  20144  loopclwwlkn1b  30302  clwwlkn1loopb  30303  clwwlknon1  30357  0wlkons1  30381  1wlkdlem4  30400  wlk2v2elem2  30416  ccatws1f1o  33184  cycpmco2lem2  33360  fldext2chn  34035  constrextdg2  34056  signstf0  34872  signsvtn0  34874  signstfvneq0  34876