Theorem s1fv 14682

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14669	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩}‘0))
3		0nn0 12547	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		fvsng 7182	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
5	3, 4	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
6	2, 5	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4587  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  0cc0 11128  ℕ₀cn0 12532  ⟨“cs1 14666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-mulcl 11190  ax-i2m1 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-n0 12533  df-s1 14667

This theorem is used by:  lsws1  14683  eqs1  14684  wrdl1s1  14686  ccats1val2  14699  ccat1st1st  14700  ccat2s1p1  14701  ccat2s1p2  14702  cats1un  14794  revs1  14838  cats1fvn  14933  s2fv0  14962  efgsval2  19866  efgs1  19868  efgsp1  19870  efgsfo  19872  pgpfaclem1  20216  loopclwwlkn1b  30520  clwwlkn1loopb  30521  clwwlknon1  30575  0wlkons1  30599  1wlkdlem4  30618  wlk2v2elem2  30644  ccatws1f1o  33401  cycpmco2lem2  33575  fldext2chn  34246  constrextdg2  34267  signstf0  35084  signsvtn0  35086  signstfvneq0  35088