Theorem s1fv 13955

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 13943	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	fveq1d 6647	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩}‘0))
3		0nn0 11900	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		fvsng 6919	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
5	3, 4	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
6	2, 5	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4525  ⟨cop 4531  ‘cfv 6324  0cc0 10526  ℕ₀cn0 11885  ⟨“cs1 13940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-mulcl 10588  ax-i2m1 10594

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-n0 11886  df-s1 13941

This theorem is referenced by:  lsws1  13956  eqs1  13957  wrdl1s1  13959  ccats1val2  13974  ccat1st1st  13975  ccat2s1p1  13976  ccat2s1p2  13977  ccat2s1p1OLD  13978  ccat2s1p2OLD  13979  cats1un  14074  revs1  14118  cats1fvn  14211  s2fv0  14240  efgsval2  18851  efgs1  18853  efgsp1  18855  efgsfo  18857  pgpfaclem1  19196  loopclwwlkn1b  27827  clwwlkn1loopb  27828  clwwlknon1  27882  0wlkons1  27906  1wlkdlem4  27925  wlk2v2elem2  27941  cycpmco2lem2  30819  signstf0  31948  signsvtn0  31950  signstfvneq0  31952