Theorem s1fv 14518

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14506	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	fveq1d 6824	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩}‘0))
3		0nn0 12396	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		fvsng 7114	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
6	2, 5	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4573  ⟨cop 4579  ‘cfv 6481  0cc0 11006  ℕ₀cn0 12381  ⟨“cs1 14503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-mulcl 11068  ax-i2m1 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-n0 12382  df-s1 14504

This theorem is referenced by:  lsws1  14519  eqs1  14520  wrdl1s1  14522  ccats1val2  14535  ccat1st1st  14536  ccat2s1p1  14537  ccat2s1p2  14538  cats1un  14628  revs1  14672  cats1fvn  14765  s2fv0  14794  efgsval2  19645  efgs1  19647  efgsp1  19649  efgsfo  19651  pgpfaclem1  19995  loopclwwlkn1b  30022  clwwlkn1loopb  30023  clwwlknon1  30077  0wlkons1  30101  1wlkdlem4  30120  wlk2v2elem2  30136  ccatws1f1o  32932  cycpmco2lem2  33096  fldext2chn  33741  constrextdg2  33762  signstf0  34581  signsvtn0  34583  signstfvneq0  34585