Theorem s1fv 14326

Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1fv	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Proof of Theorem s1fv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14314	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2	1	fveq1d 6773	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩}‘0))
3		0nn0 12259	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		fvsng 7049	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
5	3, 4	mpan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
6	2, 5	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  {csn 4567  ⟨cop 4573  ‘cfv 6432  0cc0 10882  ℕ₀cn0 12244  ⟨“cs1 14311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-mulcl 10944  ax-i2m1 10950

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fv 6440  df-n0 12245  df-s1 14312

This theorem is referenced by:  lsws1  14327  eqs1  14328  wrdl1s1  14330  ccats1val2  14345  ccat1st1st  14346  ccat2s1p1  14347  ccat2s1p2  14348  ccat2s1p1OLD  14349  ccat2s1p2OLD  14350  cats1un  14445  revs1  14489  cats1fvn  14582  s2fv0  14611  efgsval2  19350  efgs1  19352  efgsp1  19354  efgsfo  19356  pgpfaclem1  19695  loopclwwlkn1b  28415  clwwlkn1loopb  28416  clwwlknon1  28470  0wlkons1  28494  1wlkdlem4  28513  wlk2v2elem2  28529  cycpmco2lem2  31403  signstf0  32556  signsvtn0  32558  signstfvneq0  32560  singoutnword  46496