Theorem singoutnword 46327

Description: Singleton with character out of range 𝑉 is not a word for that range. (Contributed by Ender Ting, 21-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
singoutnword.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
singoutnword	⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉)

Proof of Theorem singoutnword

Step	Hyp	Ref	Expression
1		singoutnword.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		s1fv 14587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴
4		s1nz 14584	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ ≠ ∅
5		fstwrdne 14532	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ≠ ∅) → (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ 𝑉)
6	4, 5	mpan2 689	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ 𝑉)
7	3, 6	eqeltrrid 2830	. 2 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8	7	con3i 154	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝑉 → ¬ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  Vcvv 3463  ∅c0 4319  ‘cfv 6543  0cc0 11133  Word cword 14491  ⟨“cs1 14572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-s1 14573

This theorem is referenced by:  singoutnupword  46328