Theorem 1wlkdlem4 30122

Description: Lemma 4 for 1wlkd 30123. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1wlkd.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
1wlkdlem4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem 1wlkdlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
2	1	fveq1i 6829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“𝐽”⟩‘0)
3		1wlkd.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
4		1wlkd.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		1wlkd.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6		1wlkd.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
7		1wlkd.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
8	3, 1, 4, 5, 6, 7	1wlkdlem2 30120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼‘𝐽))
9	8	elfvexd 6864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
10		s1fv 14520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
12	2, 11	eqtrid 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐽)
13	12	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
15	14, 6	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋})
16		df-ne 2930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑌)
17	16, 7	sylan2br 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
18	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
19	17, 18	sseqtrrd 3968	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))
20	15, 19	ifpimpda 1080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
21	3	fveq1i 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
22		s2fv0 14796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
23	4, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
24	21, 23	eqtrid 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
25	3	fveq1i 6829	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
26		s2fv1 14797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
27	5, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
28	25, 27	eqtrid 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘1) = 𝑌)
29		eqeq12 2750	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ↔ 𝑋 = 𝑌))
30		sneq 4585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝑋 → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
32	31	eqeq2d 2744	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}))
33		preq12 4687	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌})
34	33	sseq1d 3962	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
35	29, 32, 34	ifpbi123d 1078	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
36	24, 28, 35	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
37	20, 36	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
38		c0ex 11113	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
39		oveq1 7359	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
40		0p1e1 12249	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
41	39, 40	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
42		wkslem2 29589	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ (𝑘 + 1) = 1) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
43	41, 42	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
44	38, 43	ralsn 4633	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
45	37, 44	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
46	1	fveq2i 6831	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
47		s1len 14516	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
48	46, 47	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
49	48	oveq2i 7363	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^1)
50		fzo01 13649	. . . 4 ⊢ (0..^1) = {0}
51	49, 50	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0}
52	51	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = {0})
53	45, 52	raleqtrrdv 3297	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1062   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  {csn 4575  {cpr 4577  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016  ..^cfzo 13556  ♯chash 14239  ⟨“cs1 14505  ⟨“cs2 14750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-hash 14240  df-word 14423  df-concat 14480  df-s1 14506  df-s2 14757

This theorem is referenced by:  1wlkd  30123