Theorem 1wlkdlem4 30102

Description: Lemma 4 for 1wlkd 30103. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1wlkd.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
1wlkdlem4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem 1wlkdlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
2	1	fveq1i 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“𝐽”⟩‘0)
3		1wlkd.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
4		1wlkd.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		1wlkd.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6		1wlkd.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
7		1wlkd.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
8	3, 1, 4, 5, 6, 7	1wlkdlem2 30100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼‘𝐽))
9	8	elfvexd 6863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
10		s1fv 14535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
12	2, 11	eqtrid 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐽)
13	12	fveq2d 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
15	14, 6	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋})
16		df-ne 2926	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑌)
17	16, 7	sylan2br 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
18	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
19	17, 18	sseqtrrd 3975	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))
20	15, 19	ifpimpda 1080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
21	3	fveq1i 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
22		s2fv0 14812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
23	4, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
24	21, 23	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
25	3	fveq1i 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
26		s2fv1 14813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
27	5, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
28	25, 27	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘1) = 𝑌)
29		eqeq12 2746	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ↔ 𝑋 = 𝑌))
30		sneq 4589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝑋 → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
32	31	eqeq2d 2740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}))
33		preq12 4689	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌})
34	33	sseq1d 3969	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
35	29, 32, 34	ifpbi123d 1078	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
36	24, 28, 35	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
37	20, 36	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
38		c0ex 11128	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
39		oveq1 7360	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
40		0p1e1 12263	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
41	39, 40	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
42		wkslem2 29572	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ (𝑘 + 1) = 1) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
43	41, 42	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
44	38, 43	ralsn 4635	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
45	37, 44	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
46	1	fveq2i 6829	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
47		s1len 14531	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
48	46, 47	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
49	48	oveq2i 7364	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^1)
50		fzo01 13668	. . . 4 ⊢ (0..^1) = {0}
51	49, 50	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0}
52	51	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = {0})
53	45, 52	raleqtrrdv 3294	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1062   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579  {cpr 4581  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  ⟨“cs1 14520  ⟨“cs2 14766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-s2 14773

This theorem is referenced by:  1wlkd  30103