MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1wlkdlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1wlkdlem4 27319
Description: Lemma 4 for 1wlkd 27320. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x (𝜑𝑋𝑉)
1wlkd.y (𝜑𝑌𝑉)
1wlkd.l ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
Assertion
Ref Expression
1wlkdlem4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem 1wlkdlem4
StepHypRef Expression
1 1wlkd.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
21fveq1i 6412 . . . . . . . . 9 (𝐹‘0) = (⟨“𝐽”⟩‘0)
3 1wlkd.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
4 1wlkd.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑉)
5 1wlkd.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝑉)
6 1wlkd.l . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
7 1wlkd.j . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
83, 1, 4, 5, 6, 71wlkdlem2 27317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐽))
98elfvexd 6445 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ V)
10 s1fv 13608 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
122, 11syl5eq 2859 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐽)
1312fveq2d 6415 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼𝐽))
1413adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼𝐽))
1514, 6eqtrd 2847 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋})
16 df-ne 2986 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑌)
1716, 7sylan2br 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
1813adantr 468 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼𝐽))
1917, 18sseqtr4d 3846 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))
2015, 19ifpimpda 1094 . . . 4 (𝜑 → if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
213fveq1i 6412 . . . . . 6 (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
22 s2fv0 13859 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
234, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
2421, 23syl5eq 2859 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
253fveq1i 6412 . . . . . 6 (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
26 s2fv1 13860 . . . . . . 7 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
275, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
2825, 27syl5eq 2859 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘1) = 𝑌)
29 eqeq12 2826 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ↔ 𝑋 = 𝑌))
30 sneq 4387 . . . . . . . 8 ((𝑃‘0) = 𝑋 → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
3130adantr 468 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
3231eqeq2d 2823 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}))
33 preq12 4468 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌})
3433sseq1d 3836 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
3529, 32, 34ifpbi123d 1093 . . . . 5 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
3624, 28, 35syl2anc 575 . . . 4 (𝜑 → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
3720, 36mpbird 248 . . 3 (𝜑 → if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
38 c0ex 10322 . . . 4 0 ∈ V
39 oveq1 6884 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
40 0p1e1 11417 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
4139, 40syl6eq 2863 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
42 wkslem2 26738 . . . . 5 ((𝑘 = 0 ∧ (𝑘 + 1) = 1) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
4341, 42mpdan 670 . . . 4 (𝑘 = 0 → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
4438, 43ralsn 4422 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
4537, 44sylibr 225 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
461fveq2i 6414 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
47 s1len 13604 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
4846, 47eqtri 2835 . . . . . 6 (♯‘𝐹) = 1
4948oveq2i 6888 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^1)
50 fzo01 12777 . . . . 5 (0..^1) = {0}
5149, 50eqtri 2835 . . . 4 (0..^(♯‘𝐹)) = {0}
5251a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = {0})
5352raleqdv 3340 . 2 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
5445, 53mpbird 248 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  if-wif 1078   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985  wral 3103  Vcvv 3398  wss 3776  {csn 4377  {cpr 4379  cfv 6104  (class class class)co 6877  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227  ..^cfzo 12692  chash 13340  ⟨“cs1 13508  ⟨“cs2 13813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-ifp 1079  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-hash 13341  df-word 13513  df-concat 13515  df-s1 13516  df-s2 13820
This theorem is referenced by:  1wlkd  27320
  Copyright terms: Public domain W3C validator