Theorem 1wlkdlem4 30227

Description: Lemma 4 for 1wlkd 30228. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1wlkd.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
1wlkdlem4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem 1wlkdlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
2	1	fveq1i 6843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“𝐽”⟩‘0)
3		1wlkd.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
4		1wlkd.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		1wlkd.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6		1wlkd.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
7		1wlkd.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
8	3, 1, 4, 5, 6, 7	1wlkdlem2 30225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼‘𝐽))
9	8	elfvexd 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
10		s1fv 14546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
12	2, 11	eqtrid 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐽)
13	12	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
15	14, 6	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋})
16		df-ne 2934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑌)
17	16, 7	sylan2br 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
18	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
19	17, 18	sseqtrrd 3973	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))
20	15, 19	ifpimpda 1081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
21	3	fveq1i 6843	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
22		s2fv0 14822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
23	4, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
24	21, 23	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
25	3	fveq1i 6843	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
26		s2fv1 14823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
27	5, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
28	25, 27	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘1) = 𝑌)
29		eqeq12 2754	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ↔ 𝑋 = 𝑌))
30		sneq 4592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝑋 → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
32	31	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}))
33		preq12 4694	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌})
34	33	sseq1d 3967	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
35	29, 32, 34	ifpbi123d 1079	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
36	24, 28, 35	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
37	20, 36	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
38		c0ex 11138	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
39		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
40		0p1e1 12274	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
41	39, 40	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
42		wkslem2 29694	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ (𝑘 + 1) = 1) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
43	41, 42	mpdan 688	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
44	38, 43	ralsn 4640	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
45	37, 44	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
46	1	fveq2i 6845	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
47		s1len 14542	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
48	46, 47	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
49	48	oveq2i 7379	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^1)
50		fzo01 13675	. . . 4 ⊢ (0..^1) = {0}
51	49, 50	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0}
52	51	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = {0})
53	45, 52	raleqtrrdv 3302	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1063   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  {csn 4582  {cpr 4584  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  ⟨“cs1 14531  ⟨“cs2 14776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783

This theorem is referenced by:  1wlkd  30228