Theorem 1wlkdlem4 30528

Description: Lemma 4 for 1wlkd 30529. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1wlkd.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
1wlkdlem4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem 1wlkdlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
2	1	fveq1i 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“𝐽”⟩‘0)
3		1wlkd.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
4		1wlkd.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		1wlkd.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6		1wlkd.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
7		1wlkd.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
8	3, 1, 4, 5, 6, 7	1wlkdlem2 30526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼‘𝐽))
9	8	elfvexd 6924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
10		s1fv 14670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
12	2, 11	eqtrid 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐽)
13	12	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
14	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
15	14, 6	eqtrd 2801	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋})
16		df-ne 2962	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑌)
17	16, 7	sylan2br 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
18	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
19	17, 18	sseqtrrd 3977	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))
20	15, 19	ifpimpda 1097	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
21	3	fveq1i 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
22		s2fv0 14950	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
23	4, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
24	21, 23	eqtrid 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
25	3	fveq1i 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
26		s2fv1 14951	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
27	5, 26	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
28	25, 27	eqtrid 2813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘1) = 𝑌)
29		eqeq12 2783	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ↔ 𝑋 = 𝑌))
30		sneq 4604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝑋 → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
31	30	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
32	31	eqeq2d 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}))
33		preq12 4706	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌})
34	33	sseq1d 3971	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
35	29, 32, 34	ifpbi123d 1095	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
36	24, 28, 35	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
37	20, 36	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
38		c0ex 11218	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
39		oveq1 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
40		0p1e1 12379	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
41	39, 40	eqtrdi 2817	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
42		wkslem2 29995	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ (𝑘 + 1) = 1) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
43	41, 42	mpdan 700	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
44	38, 43	ralsn 4652	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
45	37, 44	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
46	1	fveq2i 6891	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
47		s1len 14665	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
48	46, 47	eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
49	48	oveq2i 7434	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^1)
50		fzo01 13795	. . . 4 ⊢ (0..^1) = {0}
51	49, 50	eqtri 2789	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0}
52	51	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = {0})
53	45, 52	raleqtrrdv 3330	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  if-wif 1078   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  {csn 4594  {cpr 4596  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  ⟨“cs1 14654  ⟨“cs2 14904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911

This theorem is used by:  1wlkd  30529