MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1wlkdlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1wlkdlem4 29660
Description: Lemma 4 for 1wlkd 29661. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x (𝜑𝑋𝑉)
1wlkd.y (𝜑𝑌𝑉)
1wlkd.l ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
Assertion
Ref Expression
1wlkdlem4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem 1wlkdlem4
StepHypRef Expression
1 1wlkd.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
21fveq1i 6891 . . . . . . . . 9 (𝐹‘0) = (⟨“𝐽”⟩‘0)
3 1wlkd.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
4 1wlkd.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋𝑉)
5 1wlkd.y . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌𝑉)
6 1wlkd.l . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼𝐽) = {𝑋})
7 1wlkd.j . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
83, 1, 4, 5, 6, 71wlkdlem2 29658 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (𝐼𝐽))
98elfvexd 6929 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ V)
10 s1fv 14564 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
122, 11eqtrid 2782 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐽)
1312fveq2d 6894 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼𝐽))
1413adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼𝐽))
1514, 6eqtrd 2770 . . . . 5 ((𝜑𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋})
16 df-ne 2939 . . . . . . 7 (𝑋𝑌 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑌)
1716, 7sylan2br 593 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼𝐽))
1813adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼𝐽))
1917, 18sseqtrrd 4022 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))
2015, 19ifpimpda 1079 . . . 4 (𝜑 → if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
213fveq1i 6891 . . . . . 6 (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
22 s2fv0 14842 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
234, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
2421, 23eqtrid 2782 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
253fveq1i 6891 . . . . . 6 (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
26 s2fv1 14843 . . . . . . 7 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
275, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
2825, 27eqtrid 2782 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘1) = 𝑌)
29 eqeq12 2747 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ↔ 𝑋 = 𝑌))
30 sneq 4637 . . . . . . . 8 ((𝑃‘0) = 𝑋 → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
3130adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
3231eqeq2d 2741 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}))
33 preq12 4738 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌})
3433sseq1d 4012 . . . . . 6 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
3529, 32, 34ifpbi123d 1076 . . . . 5 (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
3624, 28, 35syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
3720, 36mpbird 256 . . 3 (𝜑 → if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
38 c0ex 11212 . . . 4 0 ∈ V
39 oveq1 7418 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
40 0p1e1 12338 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
4139, 40eqtrdi 2786 . . . . 5 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
42 wkslem2 29132 . . . . 5 ((𝑘 = 0 ∧ (𝑘 + 1) = 1) → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
4341, 42mpdan 683 . . . 4 (𝑘 = 0 → (if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
4438, 43ralsn 4684 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
4537, 44sylibr 233 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
461fveq2i 6893 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
47 s1len 14560 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
4846, 47eqtri 2758 . . . . . 6 (♯‘𝐹) = 1
4948oveq2i 7422 . . . . 5 (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^1)
50 fzo01 13718 . . . . 5 (0..^1) = {0}
5149, 50eqtri 2758 . . . 4 (0..^(♯‘𝐹)) = {0}
5251a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = {0})
5352raleqdv 3323 . 2 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))) ↔ ∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))))
5445, 53mpbird 256 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘)}, {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  if-wif 1059   = wceq 1539  wcel 2104  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3472  wss 3947  {csn 4627  {cpr 4629  cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  ..^cfzo 13631  chash 14294  ⟨“cs1 14549  ⟨“cs2 14796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-s2 14803
This theorem is referenced by:  1wlkd  29661
  Copyright terms: Public domain W3C validator