Theorem 1wlkdlem4 30172

Description: Lemma 4 for 1wlkd 30173. (Contributed by AV, 22-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
1wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
1wlkd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
1wlkd.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
1wlkd.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
1wlkd.j	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))

Assertion

Ref	Expression
1wlkdlem4	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐽(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem 1wlkdlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkd.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽”⟩
2	1	fveq1i 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“𝐽”⟩‘0)
3		1wlkd.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌”⟩
4		1wlkd.x	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5		1wlkd.y	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6		1wlkd.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘𝐽) = {𝑋})
7		1wlkd.j	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
8	3, 1, 4, 5, 6, 7	1wlkdlem2 30170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐼‘𝐽))
9	8	elfvexd 6959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
10		s1fv 14658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐽”⟩‘0) = 𝐽)
12	2, 11	eqtrid 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = 𝐽)
13	12	fveq2d 6924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
15	14, 6	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋})
16		df-ne 2947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ ¬ 𝑋 = 𝑌)
17	16, 7	sylan2br 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘𝐽))
18	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
19	17, 18	sseqtrrd 4050	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 𝑌) → {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))
20	15, 19	ifpimpda 1081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
21	3	fveq1i 6921	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0)
22		s2fv0 14936	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
23	4, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘0) = 𝑋)
24	21, 23	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = 𝑋)
25	3	fveq1i 6921	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1)
26		s2fv1 14937	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
27	5, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝑋𝑌”⟩‘1) = 𝑌)
28	25, 27	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘1) = 𝑌)
29		eqeq12 2757	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ↔ 𝑋 = 𝑌))
30		sneq 4658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘0) = 𝑋 → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0)} = {𝑋})
32	31	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)} ↔ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}))
33		preq12 4760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌})
34	33	sseq1d 4040	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
35	29, 32, 34	ifpbi123d 1079	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘1) = 𝑌) → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
36	24, 28, 35	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))) ↔ if-(𝑋 = 𝑌, (𝐼‘(𝐹‘0)) = {𝑋}, {𝑋, 𝑌} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
37	20, 36	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
38		c0ex 11284	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
39		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
40		0p1e1 12415	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
41	39, 40	eqtrdi 2796	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
42		wkslem2 29644	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 = 0 ∧ (𝑘 + 1) = 1) → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
43	41, 42	mpdan 686	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 0 → (if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)))))
44	38, 43	ralsn 4705	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ if-((𝑃‘0) = (𝑃‘1), (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0)}, {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0))))
45	37, 44	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {0}if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
46	1	fveq2i 6923	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽”⟩)
47		s1len 14654	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐽”⟩) = 1
48	46, 47	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (♯‘𝐹) = 1
49	48	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^1)
50		fzo01 13798	. . . 4 ⊢ (0..^1) = {0}
51	49, 50	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0}
52	51	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = {0})
53	45, 52	raleqtrrdv 3338	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑘 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘)}, {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1063   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {csn 4648  {cpr 4650  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  ⟨“cs1 14643  ⟨“cs2 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897

This theorem is referenced by:  1wlkd  30173