Theorem ccat2s1p2 14584

Description: Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by JJ, 20-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccat2s1p2	⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Proof of Theorem ccat2s1p2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cli 14559	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
2		s1cli 14559	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V
3		1z 12548	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		2z 12550	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
5		1lt2 12338	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
6		fzolb 13611	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^2) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
7	3, 4, 5, 6	mpbir3an 1343	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^2)
8		s1len 14560	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
9		s1len 14560	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑌”⟩) = 1
10	8, 9	oveq12i 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = (1 + 1)
11		1p1e2 12292	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
12	10, 11	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = 2
13	8, 12	oveq12i 7372	. . . . 5 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩))) = (1..^2)
14	7, 13	eleqtrri 2836	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))
15		ccatval2 14531	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))))
16	1, 2, 14, 15	mp3an 1464	. . 3 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)))
17	8	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = (1 − 1)
18		1m1e0 12244	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
19	17, 18	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = 0
20	19	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = (⟨“𝑌”⟩‘0)
21	16, 20	eqtri 2760	. 2 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘0)
22		s1fv 14564	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘0) = 𝑌)
23	21, 22	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   − cmin 11368  2c2 12227  ℤcz 12515  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466   ++ cconcat 14523  ⟨“cs1 14549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550

This theorem is referenced by: (None)