MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat2s1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat2s1p2 14612
Description: Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by JJ, 20-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
ccat2s1p2 (𝑌𝑉 → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Proof of Theorem ccat2s1p2
StepHypRef Expression
1 s1cli 14587 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
2 s1cli 14587 . . . 4 ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V
3 1z 12622 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
4 2z 12624 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
5 1lt2 12413 . . . . . 6 1 < 2
6 fzolb 13670 . . . . . 6 (1 ∈ (1..^2) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
73, 4, 5, 6mpbir3an 1338 . . . . 5 1 ∈ (1..^2)
8 s1len 14588 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
9 s1len 14588 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝑌”⟩) = 1
108, 9oveq12i 7428 . . . . . . 7 ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = (1 + 1)
11 1p1e2 12367 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
1210, 11eqtri 2753 . . . . . 6 ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = 2
138, 12oveq12i 7428 . . . . 5 ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩))) = (1..^2)
147, 13eleqtrri 2824 . . . 4 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))
15 ccatval2 14560 . . . 4 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))))
161, 2, 14, 15mp3an 1457 . . 3 ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)))
178oveq2i 7427 . . . . 5 (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = (1 − 1)
18 1m1e0 12314 . . . . 5 (1 − 1) = 0
1917, 18eqtri 2753 . . . 4 (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = 0
2019fveq2i 6895 . . 3 (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = (⟨“𝑌”⟩‘0)
2116, 20eqtri 2753 . 2 ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘0)
22 s1fv 14592 . 2 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘0) = 𝑌)
2321, 22eqtrid 2777 1 (𝑌𝑉 → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278  cmin 11474  2c2 12297  cz 12588  ..^cfzo 13659  chash 14321  Word cword 14496   ++ cconcat 14552  ⟨“cs1 14577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578
This theorem is referenced by:  tworepnotupword  46335
  Copyright terms: Public domain W3C validator