MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat2s1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat2s1p2 13652
Description: Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
ccat2s1p2 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Proof of Theorem ccat2s1p2
StepHypRef Expression
1 s1cl 13621 . . . 4 (𝑋𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
21adantr 473 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3 s1cl 13621 . . . 4 (𝑌𝑉 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
43adantl 474 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
5 1z 11696 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
6 2z 11698 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
7 1lt2 11490 . . . . . 6 1 < 2
8 fzolb 12730 . . . . . 6 (1 ∈ (1..^2) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
95, 6, 7, 8mpbir3an 1442 . . . . 5 1 ∈ (1..^2)
10 s1len 13625 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
11 s1len 13625 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝑌”⟩) = 1
1210, 11oveq12i 6891 . . . . . . 7 ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = (1 + 1)
13 1p1e2 11444 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
1412, 13eqtri 2822 . . . . . 6 ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = 2
1510, 14oveq12i 6891 . . . . 5 ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩))) = (1..^2)
169, 15eleqtrri 2878 . . . 4 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))
1716a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩))))
18 ccatval2 13597 . . 3 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))))
192, 4, 17, 18syl3anc 1491 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))))
2010oveq2i 6890 . . . . . . 7 (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = (1 − 1)
21 1m1e0 11384 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
2220, 21eqtri 2822 . . . . . 6 (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = 0
2322a1i 11 . . . . 5 (𝑌𝑉 → (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = 0)
2423fveq2d 6416 . . . 4 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = (⟨“𝑌”⟩‘0))
25 s1fv 13629 . . . 4 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘0) = 𝑌)
2624, 25eqtrd 2834 . . 3 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = 𝑌)
2726adantl 474 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = 𝑌)
2819, 27eqtrd 2834 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157   class class class wbr 4844  cfv 6102  (class class class)co 6879  0cc0 10225  1c1 10226   + caddc 10228   < clt 10364  cmin 10557  2c2 11367  cz 11665  ..^cfzo 12719  chash 13369  Word cword 13533   ++ cconcat 13589  ⟨“cs1 13614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-hash 13370  df-word 13534  df-concat 13590  df-s1 13615
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator