Theorem ccat2s1p2 14537

Description: Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by JJ, 20-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccat2s1p2	⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Proof of Theorem ccat2s1p2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cli 14512	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
2		s1cli 14512	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V
3		1z 12505	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		2z 12507	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
5		1lt2 12294	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
6		fzolb 13568	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (1..^2) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
7	3, 4, 5, 6	mpbir3an 1342	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1..^2)
8		s1len 14513	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
9		s1len 14513	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝑌”⟩) = 1
10	8, 9	oveq12i 7361	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = (1 + 1)
11		1p1e2 12248	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
12	10, 11	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = 2
13	8, 12	oveq12i 7361	. . . . 5 ⊢ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩))) = (1..^2)
14	7, 13	eleqtrri 2827	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))
15		ccatval2 14485	. . . 4 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))))
16	1, 2, 14, 15	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)))
17	8	oveq2i 7360	. . . . 5 ⊢ (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = (1 − 1)
18		1m1e0 12200	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
19	17, 18	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = 0
20	19	fveq2i 6825	. . 3 ⊢ (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = (⟨“𝑌”⟩‘0)
21	16, 20	eqtri 2752	. 2 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘0)
22		s1fv 14517	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘0) = 𝑌)
23	21, 22	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   − cmin 11347  2c2 12183  ℤcz 12471  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420   ++ cconcat 14477  ⟨“cs1 14502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503

This theorem is referenced by:  tworepnotupword  46877