MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat2s1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat2s1p2 14665
Description: Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by JJ, 20-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
ccat2s1p2 (𝑌𝑉 → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Proof of Theorem ccat2s1p2
StepHypRef Expression
1 s1cli 14640 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
2 s1cli 14640 . . . 4 ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V
3 1z 12645 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
4 2z 12647 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
5 1lt2 12435 . . . . . 6 1 < 2
6 fzolb 13702 . . . . . 6 (1 ∈ (1..^2) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
73, 4, 5, 6mpbir3an 1340 . . . . 5 1 ∈ (1..^2)
8 s1len 14641 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
9 s1len 14641 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝑌”⟩) = 1
108, 9oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = (1 + 1)
11 1p1e2 12389 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
1210, 11eqtri 2763 . . . . . 6 ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = 2
138, 12oveq12i 7443 . . . . 5 ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩))) = (1..^2)
147, 13eleqtrri 2838 . . . 4 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))
15 ccatval2 14613 . . . 4 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))))
161, 2, 14, 15mp3an 1460 . . 3 ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)))
178oveq2i 7442 . . . . 5 (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = (1 − 1)
18 1m1e0 12336 . . . . 5 (1 − 1) = 0
1917, 18eqtri 2763 . . . 4 (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = 0
2019fveq2i 6910 . . 3 (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = (⟨“𝑌”⟩‘0)
2116, 20eqtri 2763 . 2 ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘0)
22 s1fv 14645 . 2 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘0) = 𝑌)
2321, 22eqtrid 2787 1 (𝑌𝑉 → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cmin 11490  2c2 12319  cz 12611  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631
This theorem is referenced by:  tworepnotupword  46840
  Copyright terms: Public domain W3C validator