MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccat2s1p2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccat2s1p2 14382
Description: Extract the second of two concatenated singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by JJ, 20-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
ccat2s1p2 (𝑌𝑉 → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)

Proof of Theorem ccat2s1p2
StepHypRef Expression
1 s1cli 14355 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
2 s1cli 14355 . . . 4 ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V
3 1z 12396 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
4 2z 12398 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
5 1lt2 12190 . . . . . 6 1 < 2
6 fzolb 13439 . . . . . 6 (1 ∈ (1..^2) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 1 < 2))
73, 4, 5, 6mpbir3an 1341 . . . . 5 1 ∈ (1..^2)
8 s1len 14356 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
9 s1len 14356 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝑌”⟩) = 1
108, 9oveq12i 7319 . . . . . . 7 ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = (1 + 1)
11 1p1e2 12144 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
1210, 11eqtri 2764 . . . . . 6 ((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)) = 2
138, 12oveq12i 7319 . . . . 5 ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩))) = (1..^2)
147, 13eleqtrri 2836 . . . 4 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))
15 ccatval2 14328 . . . 4 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word V ∧ 1 ∈ ((♯‘⟨“𝑋”⟩)..^((♯‘⟨“𝑋”⟩) + (♯‘⟨“𝑌”⟩)))) → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))))
161, 2, 14, 15mp3an 1461 . . 3 ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)))
178oveq2i 7318 . . . . 5 (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = (1 − 1)
18 1m1e0 12091 . . . . 5 (1 − 1) = 0
1917, 18eqtri 2764 . . . 4 (1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = 0
2019fveq2i 6807 . . 3 (⟨“𝑌”⟩‘(1 − (♯‘⟨“𝑋”⟩))) = (⟨“𝑌”⟩‘0)
2116, 20eqtri 2764 . 2 ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = (⟨“𝑌”⟩‘0)
22 s1fv 14360 . 2 (𝑌𝑉 → (⟨“𝑌”⟩‘0) = 𝑌)
2321, 22eqtrid 2788 1 (𝑌𝑉 → ((⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)‘1) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3437   class class class wbr 5081  cfv 6458  (class class class)co 7307  0cc0 10917  1c1 10918   + caddc 10920   < clt 11055  cmin 11251  2c2 12074  cz 12365  ..^cfzo 13428  chash 14090  Word cword 14262   ++ cconcat 14318  ⟨“cs1 14345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-hash 14091  df-word 14263  df-concat 14319  df-s1 14346
This theorem is referenced by:  tworepnotupword  46579
  Copyright terms: Public domain W3C validator