Theorem efgs1 19710

Description: A singleton of an irreducible word is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgs1	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4071	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) → 𝐴 ∈ 𝑊)
2		efgred.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
3	1, 2	eleq2s 2854	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ 𝑊)
4	3	s1cld 14566	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊)
5		s1nz 14570	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ ≠ ∅
6		eldifsn 4731	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ≠ ∅))
7	4, 5, 6	sylanblrc 591	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
8		s1fv 14573	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
9		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ 𝐷)
10	8, 9	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ 𝐷)
11		s1len 14569	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1)
13	12	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = (1..^1))
14		fzo0 13638	. . . 4 ⊢ (1..^1) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = ∅)
16		rzal 4434	. . 3 ⊢ ((1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = ∅ → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1))))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1))))
18		efgval.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
19		efgval.r	. . 3 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
20		efgval2.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
21		efgval2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
22		efgred.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
23	18, 19, 20, 21, 2, 22	efgsdm 19705	. 2 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆 ↔ (⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1)))))
24	7, 10, 17, 23	syl3anbrc 1345	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  {crab 3389   ∖ cdif 3886  ∅c0 4273  {csn 4567  ⟨cop 4573  ⟨cotp 4575  ∪ ciun 4933   ↦ cmpt 5166   I cid 5525   × cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  1_oc1o 8398  2_oc2o 8399  0cc0 11038  1c1 11039   − cmin 11377  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  ⟨“cs1 14558   splice csplice 14711  ⟨“cs2 14803   ~_FG cefg 19681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-s1 14559

This theorem is referenced by:  efgsfo  19714