MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgs1 19341
Description: A singleton of an irreducible word is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgs1 (𝐴𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 4061 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)) → 𝐴𝑊)
2 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
31, 2eleq2s 2857 . . . 4 (𝐴𝐷𝐴𝑊)
43s1cld 14308 . . 3 (𝐴𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊)
5 s1nz 14312 . . 3 ⟨“𝐴”⟩ ≠ ∅
6 eldifsn 4720 . . 3 (⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ≠ ∅))
74, 5, 6sylanblrc 590 . 2 (𝐴𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
8 s1fv 14315 . . 3 (𝐴𝐷 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
9 id 22 . . 3 (𝐴𝐷𝐴𝐷)
108, 9eqeltrd 2839 . 2 (𝐴𝐷 → (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ 𝐷)
11 s1len 14311 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐴𝐷 → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1)
1312oveq2d 7291 . . . 4 (𝐴𝐷 → (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = (1..^1))
14 fzo0 13411 . . . 4 (1..^1) = ∅
1513, 14eqtrdi 2794 . . 3 (𝐴𝐷 → (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = ∅)
16 rzal 4439 . . 3 ((1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = ∅ → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1))))
1715, 16syl 17 . 2 (𝐴𝐷 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1))))
18 efgval.w . . 3 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
19 efgval.r . . 3 = ( ~FG𝐼)
20 efgval2.m . . 3 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
21 efgval2.t . . 3 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
22 efgred.s . . 3 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
2318, 19, 20, 21, 2, 22efgsdm 19336 . 2 (⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆 ↔ (⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1)))))
247, 10, 17, 23syl3anbrc 1342 1 (𝐴𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3068  cdif 3884  c0 4256  {csn 4561  cop 4567  cotp 4569   ciun 4924  cmpt 5157   I cid 5488   × cxp 5587  dom cdm 5589  ran crn 5590  cfv 6433  (class class class)co 7275  cmpo 7277  1oc1o 8290  2oc2o 8291  0cc0 10871  1c1 10872  cmin 11205  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  chash 14044  Word cword 14217  ⟨“cs1 14300   splice csplice 14462  ⟨“cs2 14554   ~FG cefg 19312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-s1 14301
This theorem is referenced by:  efgsfo  19345
  Copyright terms: Public domain W3C validator