Theorem efgs1 19705

Description: A singleton of an irreducible word is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgs1	⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4072	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥)) → 𝐴 ∈ 𝑊)
2		efgred.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
3	1, 2	eleq2s 2855	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ 𝑊)
4	3	s1cld 14561	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊)
5		s1nz 14565	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ ≠ ∅
6		eldifsn 4730	. . 3 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ≠ ∅))
7	4, 5, 6	sylanblrc 591	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
8		s1fv 14568	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
9		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ 𝐷)
10	8, 9	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ 𝐷)
11		s1len 14564	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1)
13	12	oveq2d 7378	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = (1..^1))
14		fzo0 13633	. . . 4 ⊢ (1..^1) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = ∅)
16		rzal 4435	. . 3 ⊢ ((1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = ∅ → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1))))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1))))
18		efgval.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
19		efgval.r	. . 3 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
20		efgval2.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
21		efgval2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
22		efgred.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
23	18, 19, 20, 21, 2, 22	efgsdm 19700	. 2 ⊢ (⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆 ↔ (⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1)))))
24	7, 10, 17, 23	syl3anbrc 1345	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3390   ∖ cdif 3887  ∅c0 4274  {csn 4568  ⟨cop 4574  ⟨cotp 4576  ∪ ciun 4934   ↦ cmpt 5167   I cid 5520   × cxp 5624  dom cdm 5626  ran crn 5627  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  1_oc1o 8393  2_oc2o 8394  0cc0 11033  1c1 11034   − cmin 11372  ...cfz 13456  ..^cfzo 13603  ♯chash 14287  Word cword 14470  ⟨“cs1 14553   splice csplice 14706  ⟨“cs2 14798   ~_FG cefg 19676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-s1 14554

This theorem is referenced by:  efgsfo  19709