MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgs1 18979
Description: A singleton of an irreducible word is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgs1 (𝐴𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 4017 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)) → 𝐴𝑊)
2 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
31, 2eleq2s 2851 . . . 4 (𝐴𝐷𝐴𝑊)
43s1cld 14046 . . 3 (𝐴𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊)
5 s1nz 14050 . . 3 ⟨“𝐴”⟩ ≠ ∅
6 eldifsn 4675 . . 3 (⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ≠ ∅))
74, 5, 6sylanblrc 593 . 2 (𝐴𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
8 s1fv 14053 . . 3 (𝐴𝐷 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
9 id 22 . . 3 (𝐴𝐷𝐴𝐷)
108, 9eqeltrd 2833 . 2 (𝐴𝐷 → (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ 𝐷)
11 s1len 14049 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
1211a1i 11 . . . . 5 (𝐴𝐷 → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1)
1312oveq2d 7186 . . . 4 (𝐴𝐷 → (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = (1..^1))
14 fzo0 13152 . . . 4 (1..^1) = ∅
1513, 14eqtrdi 2789 . . 3 (𝐴𝐷 → (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = ∅)
16 rzal 4395 . . 3 ((1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) = ∅ → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1))))
1715, 16syl 17 . 2 (𝐴𝐷 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1))))
18 efgval.w . . 3 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
19 efgval.r . . 3 = ( ~FG𝐼)
20 efgval2.m . . 3 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
21 efgval2.t . . 3 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
22 efgred.s . . 3 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
2318, 19, 20, 21, 2, 22efgsdm 18974 . 2 (⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆 ↔ (⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1)))))
247, 10, 17, 23syl3anbrc 1344 1 (𝐴𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  {crab 3057  cdif 3840  c0 4211  {csn 4516  cop 4522  cotp 4524   ciun 4881  cmpt 5110   I cid 5428   × cxp 5523  dom cdm 5525  ran crn 5526  cfv 6339  (class class class)co 7170  cmpo 7172  1oc1o 8124  2oc2o 8125  0cc0 10615  1c1 10616  cmin 10948  ...cfz 12981  ..^cfzo 13124  chash 13782  Word cword 13955  ⟨“cs1 14038   splice csplice 14200  ⟨“cs2 14292   ~FG cefg 18950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-hash 13783  df-word 13956  df-s1 14039
This theorem is referenced by:  efgsfo  18983
  Copyright terms: Public domain W3C validator