Theorem efgsval2 19674

Description: Value of the auxiliary function 𝑆 defining a sequence of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsval2	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 19672	. . 3 ⊢ ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)))
8		s1cl 14538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊)
9		ccatlen 14510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)))
10	8, 9	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)))
11		s1len 14542	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) = 1
12	11	oveq2i 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + 1)
13	10, 12	eqtrdi 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + 1))
14	13	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1) = (((♯‘𝐴) + 1) − 1))
15		lencl 14468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	15	nn0cnd 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
17		ax-1cn 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		pncan 11398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (♯‘𝐴))
19	16, 17, 18	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (♯‘𝐴))
20	16	addlidd 11346	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (0 + (♯‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
21	19, 20	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
23	14, 22	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
24	23	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))))
25		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
26	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊)
27		1nn 12168	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
28	11, 27	eqeltri 2833	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ
29		lbfzo0 13627	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ)
30	28, 29	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)))
32		ccatval3 14514	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
33	25, 26, 31, 32	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
34		s1fv 14546	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
35	34	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
36	24, 33, 35	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)) = 𝐵)
37	7, 36	sylan9eqr 2794	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)
38	37	3impa 1110	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3401   ∖ cdif 3900  ∅c0 4287  {csn 4582  ⟨cop 4588  ⟨cotp 4590  ∪ ciun 4948   ↦ cmpt 5181   I cid 5526   × cxp 5630  dom cdm 5632  ran crn 5633  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  1_oc1o 8400  2_oc2o 8401  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376  ℕcn 12157  ...cfz 13435  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448   ++ cconcat 14505  ⟨“cs1 14531   splice csplice 14684  ⟨“cs2 14776   ~_FG cefg 19647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532

This theorem is referenced by:  efgsfo  19680  efgredlemd  19685  efgrelexlemb  19691