Theorem efgsval2 19348

Description: Value of the auxiliary function 𝑆 defining a sequence of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsval2	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 19346	. . 3 ⊢ ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)))
8		s1cl 14316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊)
9		ccatlen 14287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)))
10	8, 9	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)))
11		s1len 14320	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) = 1
12	11	oveq2i 7295	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + 1)
13	10, 12	eqtrdi 2795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + 1))
14	13	oveq1d 7299	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1) = (((♯‘𝐴) + 1) − 1))
15		lencl 14245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	15	nn0cnd 12304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
17		ax-1cn 10938	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		pncan 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (♯‘𝐴))
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (♯‘𝐴))
20	16	addid2d 11185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (0 + (♯‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
21	19, 20	eqtr4d 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
23	14, 22	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
24	23	fveq2d 6787	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))))
25		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
26	8	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊)
27		1nn 11993	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
28	11, 27	eqeltri 2836	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ
29		lbfzo0 13436	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ)
30	28, 29	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)))
32		ccatval3 14293	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
33	25, 26, 31, 32	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
34		s1fv 14324	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
35	34	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
36	24, 33, 35	3eqtrd 2783	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)) = 𝐵)
37	7, 36	sylan9eqr 2801	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)
38	37	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3065  {crab 3069   ∖ cdif 3885  ∅c0 4257  {csn 4562  ⟨cop 4568  ⟨cotp 4570  ∪ ciun 4925   ↦ cmpt 5158   I cid 5489   × cxp 5588  dom cdm 5590  ran crn 5591  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   ∈ cmpo 7286  1_oc1o 8299  2_oc2o 8300  ℂcc 10878  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   − cmin 11214  ℕcn 11982  ...cfz 13248  ..^cfzo 13391  ♯chash 14053  Word cword 14226   ++ cconcat 14282  ⟨“cs1 14309   splice csplice 14471  ⟨“cs2 14563   ~_FG cefg 19321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-hash 14054  df-word 14227  df-concat 14283  df-s1 14310

This theorem is referenced by:  efgsfo  19354  efgredlemd  19359  efgrelexlemb  19365