MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsval2 19603
Description: Value of the auxiliary function 𝑆 defining a sequence of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
efgval.r ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
efgred.d 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
efgred.s 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsval2 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š ∧ (𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©) ∈ dom 𝑆) β†’ (π‘†β€˜(𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) = 𝐡)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑑,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘š,π‘₯   π‘š,𝑀   π‘₯,𝑛,𝑀,𝑑,𝑣,𝑀   π‘˜,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑇   π‘˜,𝑛,𝑣,𝑀,𝑦,𝑧,π‘Š,π‘š,𝑑,π‘₯   ∼ ,π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘š,𝐼,𝑛,𝑑,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,π‘š,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   ∼ (𝑀,𝑣,π‘˜,𝑛)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑑,π‘˜,π‘š,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,𝑛)   𝐼(π‘˜)   𝑀(𝑦,𝑧,π‘˜)

Proof of Theorem efgsval2
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 π‘Š = ( I β€˜Word (𝐼 Γ— 2o))
2 efgval.r . . . 4 ∼ = ( ~FG β€˜πΌ)
3 efgval2.m . . . 4 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ βŸ¨π‘¦, (1o βˆ– 𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . 4 𝑇 = (𝑣 ∈ π‘Š ↦ (𝑛 ∈ (0...(β™―β€˜π‘£)), 𝑀 ∈ (𝐼 Γ— 2o) ↦ (𝑣 splice βŸ¨π‘›, 𝑛, βŸ¨β€œπ‘€(π‘€β€˜π‘€)β€βŸ©βŸ©)))
5 efgred.d . . . 4 𝐷 = (π‘Š βˆ– βˆͺ π‘₯ ∈ π‘Š ran (π‘‡β€˜π‘₯))
6 efgred.s . . . 4 𝑆 = (π‘š ∈ {𝑑 ∈ (Word π‘Š βˆ– {βˆ…}) ∣ ((π‘‘β€˜0) ∈ 𝐷 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (1..^(β™―β€˜π‘‘))(π‘‘β€˜π‘˜) ∈ ran (π‘‡β€˜(π‘‘β€˜(π‘˜ βˆ’ 1))))} ↦ (π‘šβ€˜((β™―β€˜π‘š) βˆ’ 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 19601 . . 3 ((𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©) ∈ dom 𝑆 β†’ (π‘†β€˜(𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) = ((𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜(𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) βˆ’ 1)))
8 s1cl 14554 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ π‘Š β†’ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ© ∈ Word π‘Š)
9 ccatlen 14527 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ© ∈ Word π‘Š) β†’ (β™―β€˜(𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)))
108, 9sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (β™―β€˜(𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)))
11 s1len 14558 . . . . . . . . 9 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©) = 1
1211oveq2i 7422 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π΄) + (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π΄) + 1)
1310, 12eqtrdi 2788 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (β™―β€˜(𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) = ((β™―β€˜π΄) + 1))
1413oveq1d 7426 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ((β™―β€˜(𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (((β™―β€˜π΄) + 1) βˆ’ 1))
15 lencl 14485 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word π‘Š β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•0)
1615nn0cnd 12536 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word π‘Š β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„‚)
17 ax-1cn 11170 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
18 pncan 11468 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((β™―β€˜π΄) + 1) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π΄))
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word π‘Š β†’ (((β™―β€˜π΄) + 1) βˆ’ 1) = (β™―β€˜π΄))
2016addlidd 11417 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word π‘Š β†’ (0 + (β™―β€˜π΄)) = (β™―β€˜π΄))
2119, 20eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Word π‘Š β†’ (((β™―β€˜π΄) + 1) βˆ’ 1) = (0 + (β™―β€˜π΄)))
2221adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (((β™―β€˜π΄) + 1) βˆ’ 1) = (0 + (β™―β€˜π΄)))
2314, 22eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ((β™―β€˜(𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) βˆ’ 1) = (0 + (β™―β€˜π΄)))
2423fveq2d 6895 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ((𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜(𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) βˆ’ 1)) = ((𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π΄))))
25 simpl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 𝐴 ∈ Word π‘Š)
268adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ© ∈ Word π‘Š)
27 1nn 12225 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•
2811, 27eqeltri 2829 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©) ∈ β„•
29 lbfzo0 13674 . . . . . . 7 (0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©) ∈ β„•)
3028, 29mpbir 230 . . . . . 6 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©))
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)))
32 ccatval3 14531 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ© ∈ Word π‘Š ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©))) β†’ ((𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π΄))) = (βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©β€˜0))
3325, 26, 31, 32syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ((𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)β€˜(0 + (β™―β€˜π΄))) = (βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©β€˜0))
34 s1fv 14562 . . . . 5 (𝐡 ∈ π‘Š β†’ (βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©β€˜0) = 𝐡)
3534adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ (βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©β€˜0) = 𝐡)
3624, 33, 353eqtrd 2776 . . 3 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) β†’ ((𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)β€˜((β™―β€˜(𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) βˆ’ 1)) = 𝐡)
377, 36sylan9eqr 2794 . 2 (((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š) ∧ (𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©) ∈ dom 𝑆) β†’ (π‘†β€˜(𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) = 𝐡)
38373impa 1110 1 ((𝐴 ∈ Word π‘Š ∧ 𝐡 ∈ π‘Š ∧ (𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©) ∈ dom 𝑆) β†’ (π‘†β€˜(𝐴 ++ βŸ¨β€œπ΅β€βŸ©)) = 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βˆ– cdif 3945  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βŸ¨cotp 4636  βˆͺ ciun 4997   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1oc1o 8461  2oc2o 8462  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   βˆ’ cmin 11446  β„•cn 12214  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  β™―chash 14292  Word cword 14466   ++ cconcat 14522  βŸ¨β€œcs1 14547   splice csplice 14701  βŸ¨β€œcs2 14794   ~FG cefg 19576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548
This theorem is referenced by:  efgsfo  19609  efgredlemd  19614  efgrelexlemb  19620
  Copyright terms: Public domain W3C validator