Theorem efgsval2 19612

Description: Value of the auxiliary function 𝑆 defining a sequence of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsval2	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 19610	. . 3 ⊢ ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)))
8		s1cl 14509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊)
9		ccatlen 14482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)))
10	8, 9	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)))
11		s1len 14513	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) = 1
12	11	oveq2i 7360	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + 1)
13	10, 12	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + 1))
14	13	oveq1d 7364	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1) = (((♯‘𝐴) + 1) − 1))
15		lencl 14440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	15	nn0cnd 12447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
17		ax-1cn 11067	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		pncan 11369	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (♯‘𝐴))
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (♯‘𝐴))
20	16	addlidd 11317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (0 + (♯‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
21	19, 20	eqtr4d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
23	14, 22	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
24	23	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))))
25		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
26	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊)
27		1nn 12139	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
28	11, 27	eqeltri 2824	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ
29		lbfzo0 13602	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ)
30	28, 29	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)))
32		ccatval3 14486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
33	25, 26, 31, 32	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
34		s1fv 14517	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
35	34	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
36	24, 33, 35	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)) = 𝐵)
37	7, 36	sylan9eqr 2786	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)
38	37	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394   ∖ cdif 3900  ∅c0 4284  {csn 4577  ⟨cop 4583  ⟨cotp 4585  ∪ ciun 4941   ↦ cmpt 5173   I cid 5513   × cxp 5617  dom cdm 5619  ran crn 5620  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∈ cmpo 7351  1_oc1o 8381  2_oc2o 8382  ℂcc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   − cmin 11347  ℕcn 12128  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420   ++ cconcat 14477  ⟨“cs1 14502   splice csplice 14655  ⟨“cs2 14748   ~_FG cefg 19585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503

This theorem is referenced by:  efgsfo  19618  efgredlemd  19623  efgrelexlemb  19629