Theorem efgsval2 19766

Description: Value of the auxiliary function 𝑆 defining a sequence of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsval2	⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . 4 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 19764	. . 3 ⊢ ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)))
8		s1cl 14637	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊)
9		ccatlen 14610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)))
10	8, 9	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)))
11		s1len 14641	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) = 1
12	11	oveq2i 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + 1)
13	10, 12	eqtrdi 2791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + 1))
14	13	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1) = (((♯‘𝐴) + 1) − 1))
15		lencl 14568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
16	15	nn0cnd 12587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
17		ax-1cn 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
18		pncan 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (♯‘𝐴))
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (♯‘𝐴))
20	16	addlidd 11460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (0 + (♯‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
21	19, 20	eqtr4d 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
23	14, 22	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
24	23	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))))
25		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
26	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊)
27		1nn 12275	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
28	11, 27	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ
29		lbfzo0 13736	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ)
30	28, 29	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))
31	30	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)))
32		ccatval3 14614	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
33	25, 26, 31, 32	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
34		s1fv 14645	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
35	34	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
36	24, 33, 35	3eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)) = 𝐵)
37	7, 36	sylan9eqr 2797	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)
38	37	3impa 1109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ∖ cdif 3960  ∅c0 4339  {csn 4631  ⟨cop 4637  ⟨cotp 4639  ∪ ciun 4996   ↦ cmpt 5231   I cid 5582   × cxp 5687  dom cdm 5689  ran crn 5690  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  1_oc1o 8498  2_oc2o 8499  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   − cmin 11490  ℕcn 12264  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630   splice csplice 14784  ⟨“cs2 14877   ~_FG cefg 19739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631

This theorem is referenced by:  efgsfo  19772  efgredlemd  19777  efgrelexlemb  19783