Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsval2 18931
 Description: Value of the auxiliary function 𝑆 defining a sequence of extensions. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsval2 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊 ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsval2
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . 4 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . 4 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . 4 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . 4 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 18929 . . 3 ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)))
8 s1cl 14008 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑊 → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊)
9 ccatlen 13979 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)))
108, 9sylan2 595 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)))
11 s1len 14012 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝐵”⟩) = 1
1211oveq2i 7166 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐴) + (♯‘⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + 1)
1310, 12eqtrdi 2809 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊) → (♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = ((♯‘𝐴) + 1))
1413oveq1d 7170 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊) → ((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1) = (((♯‘𝐴) + 1) − 1))
15 lencl 13937 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1615nn0cnd 12001 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
17 ax-1cn 10638 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
18 pncan 10935 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (♯‘𝐴))
1916, 17, 18sylancl 589 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (♯‘𝐴))
2016addid2d 10884 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (0 + (♯‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
2119, 20eqtr4d 2796 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
2221adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊) → (((♯‘𝐴) + 1) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
2314, 22eqtrd 2793 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊) → ((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1) = (0 + (♯‘𝐴)))
2423fveq2d 6666 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)) = ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))))
25 simpl 486 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
268adantl 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊) → ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊)
27 1nn 11690 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
2811, 27eqeltri 2848 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ
29 lbfzo0 13131 . . . . . . 7 (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝐵”⟩) ∈ ℕ)
3028, 29mpbir 234 . . . . . 6 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩)))
32 ccatval3 13985 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐵”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐵”⟩))) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
3325, 26, 31, 32syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘(0 + (♯‘𝐴))) = (⟨“𝐵”⟩‘0))
34 s1fv 14016 . . . . 5 (𝐵𝑊 → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
3534adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊) → (⟨“𝐵”⟩‘0) = 𝐵)
3624, 33, 353eqtrd 2797 . . 3 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊) → ((𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)‘((♯‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) − 1)) = 𝐵)
377, 36sylan9eqr 2815 . 2 (((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)
38373impa 1107 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐵𝑊 ∧ (𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐴 ++ ⟨“𝐵”⟩)) = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  {crab 3074   ∖ cdif 3857  ∅c0 4227  {csn 4525  ⟨cop 4531  ⟨cotp 4533  ∪ ciun 4886   ↦ cmpt 5115   I cid 5432   × cxp 5525  dom cdm 5527  ran crn 5528  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155   ∈ cmpo 7157  1oc1o 8110  2oc2o 8111  ℂcc 10578  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583   − cmin 10913  ℕcn 11679  ...cfz 12944  ..^cfzo 13087  ♯chash 13745  Word cword 13918   ++ cconcat 13974  ⟨“cs1 14001   splice csplice 14163  ⟨“cs2 14255   ~FG cefg 18904 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-hash 13746  df-word 13919  df-concat 13975  df-s1 14002 This theorem is referenced by:  efgsfo  18937  efgredlemd  18942  efgrelexlemb  18948
 Copyright terms: Public domain W3C validator