Theorem cats1fvn 14894

Description: The last symbol of a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3	⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀

Assertion

Ref	Expression
cats1fvn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Proof of Theorem cats1fvn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2		cats1fvn.3	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
3	2	oveq2i 7442	. . . . 5 ⊢ (0 + (♯‘𝑆)) = (0 + 𝑀)
4		cats1cli.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
5		lencl 14568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0
7	2, 6	eqeltrri 2836	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12536	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11447	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝑀) = 𝑀
10	3, 9	eqtr2i 2764	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (0 + (♯‘𝑆))
11	1, 10	fveq12i 6913	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝑀) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆)))
12		s1cli 14640	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
13		s1len 14641	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
14		1nn 12275	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ
16		lbfzo0 13736	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ)
17	15, 16	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))
18		ccatval3 14614	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0))
19	4, 12, 17, 18	mp3an 1460	. . 3 ⊢ ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
20	11, 19	eqtri 2763	. 2 ⊢ (𝑇‘𝑀) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
21		s1fv 14645	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
22	20, 21	eqtrid 2787	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631

This theorem is referenced by:  s2fv1  14924  s3fv2  14929  s4fv3  14934