MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1fvn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cats1fvn 13986
Description: The last symbol of a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3 (♯‘𝑆) = 𝑀
Assertion
Ref Expression
cats1fvn (𝑋𝑉 → (𝑇𝑀) = 𝑋)

Proof of Theorem cats1fvn
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . . 4 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2 cats1fvn.3 . . . . . 6 (♯‘𝑆) = 𝑀
32oveq2i 6921 . . . . 5 (0 + (♯‘𝑆)) = (0 + 𝑀)
4 cats1cli.2 . . . . . . . . 9 𝑆 ∈ Word V
5 lencl 13600 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘𝑆) ∈ ℕ0
72, 6eqeltrri 2903 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
87nn0cni 11638 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℂ
98addid2i 10550 . . . . 5 (0 + 𝑀) = 𝑀
103, 9eqtr2i 2850 . . . 4 𝑀 = (0 + (♯‘𝑆))
111, 10fveq12i 6443 . . 3 (𝑇𝑀) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆)))
12 s1cli 13672 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
13 s1len 13673 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
14 1nn 11370 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
1513, 14eqeltri 2902 . . . . 5 (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ
16 lbfzo0 12810 . . . . 5 (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ)
1715, 16mpbir 223 . . . 4 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))
18 ccatval3 13646 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0))
194, 12, 17, 18mp3an 1589 . . 3 ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
2011, 19eqtri 2849 . 2 (𝑇𝑀) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
21 s1fv 13677 . 2 (𝑋𝑉 → (⟨“𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
2220, 21syl5eq 2873 1 (𝑋𝑉 → (𝑇𝑀) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1656  wcel 2164  Vcvv 3414  cfv 6127  (class class class)co 6910  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262  cn 11357  0cn0 11625  ..^cfzo 12767  chash 13417  Word cword 13581   ++ cconcat 13637  ⟨“cs1 13662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-hash 13418  df-word 13582  df-concat 13638  df-s1 13663
This theorem is referenced by:  s2fv1  14016  s3fv2  14021  s4fv3  14026
  Copyright terms: Public domain W3C validator