Theorem cats1fvn 14814

Description: The last symbol of a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3	⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀

Assertion

Ref	Expression
cats1fvn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Proof of Theorem cats1fvn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2		cats1fvn.3	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
3	2	oveq2i 7372	. . . . 5 ⊢ (0 + (♯‘𝑆)) = (0 + 𝑀)
4		cats1cli.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
5		lencl 14489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0
7	2, 6	eqeltrri 2834	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12443	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11328	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝑀) = 𝑀
10	3, 9	eqtr2i 2761	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (0 + (♯‘𝑆))
11	1, 10	fveq12i 6841	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝑀) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆)))
12		s1cli 14562	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
13		s1len 14563	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
14		1nn 12179	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	eqeltri 2833	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ
16		lbfzo0 13648	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ)
17	15, 16	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))
18		ccatval3 14535	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0))
19	4, 12, 17, 18	mp3an 1464	. . 3 ⊢ ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
20	11, 19	eqtri 2760	. 2 ⊢ (𝑇‘𝑀) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
21		s1fv 14567	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
22	20, 21	eqtrid 2784	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ..^cfzo 13602  ♯chash 14286  Word cword 14469   ++ cconcat 14526  ⟨“cs1 14552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-hash 14287  df-word 14470  df-concat 14527  df-s1 14553

This theorem is referenced by:  s2fv1  14844  s3fv2  14849  s4fv3  14854  nthrucw  47335  gpgprismgr4cycllem6  48591  gpgprismgr4cycllem7  48592  gpgprismgr4cycllem10  48595