Theorem cats1fvn 14765

Description: The last symbol of a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2	⊢ 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3	⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀

Assertion

Ref	Expression
cats1fvn	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Proof of Theorem cats1fvn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2		cats1fvn.3	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑆) = 𝑀
3	2	oveq2i 7360	. . . . 5 ⊢ (0 + (♯‘𝑆)) = (0 + 𝑀)
4		cats1cli.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 ∈ Word V
5		lencl 14440	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝑆) ∈ ℕ0
7	2, 6	eqeltrri 2825	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12396	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
9	8	addlidi 11304	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝑀) = 𝑀
10	3, 9	eqtr2i 2753	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (0 + (♯‘𝑆))
11	1, 10	fveq12i 6828	. . 3 ⊢ (𝑇‘𝑀) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆)))
12		s1cli 14512	. . . 4 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
13		s1len 14513	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
14		1nn 12139	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
15	13, 14	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ
16		lbfzo0 13602	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ)
17	15, 16	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))
18		ccatval3 14486	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0))
19	4, 12, 17, 18	mp3an 1463	. . 3 ⊢ ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
20	11, 19	eqtri 2752	. 2 ⊢ (𝑇‘𝑀) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
21		s1fv 14517	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
22	20, 21	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑇‘𝑀) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384  ..^cfzo 13557  ♯chash 14237  Word cword 14420   ++ cconcat 14477  ⟨“cs1 14502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503

This theorem is referenced by:  s2fv1  14795  s3fv2  14800  s4fv3  14805  gpgprismgr4cycllem6  48084  gpgprismgr4cycllem7  48085  gpgprismgr4cycllem10  48088