MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cats1fvn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cats1fvn 14223
Description: The last symbol of a concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cats1cld.1 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1cli.2 𝑆 ∈ Word V
cats1fvn.3 (♯‘𝑆) = 𝑀
Assertion
Ref Expression
cats1fvn (𝑋𝑉 → (𝑇𝑀) = 𝑋)

Proof of Theorem cats1fvn
StepHypRef Expression
1 cats1cld.1 . . . 4 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
2 cats1fvn.3 . . . . . 6 (♯‘𝑆) = 𝑀
32oveq2i 7170 . . . . 5 (0 + (♯‘𝑆)) = (0 + 𝑀)
4 cats1cli.2 . . . . . . . . 9 𝑆 ∈ Word V
5 lencl 13886 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word V → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8 (♯‘𝑆) ∈ ℕ0
72, 6eqeltrri 2913 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ0
87nn0cni 11912 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℂ
98addid2i 10831 . . . . 5 (0 + 𝑀) = 𝑀
103, 9eqtr2i 2848 . . . 4 𝑀 = (0 + (♯‘𝑆))
111, 10fveq12i 6679 . . 3 (𝑇𝑀) = ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆)))
12 s1cli 13962 . . . 4 ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
13 s1len 13963 . . . . . 6 (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
14 1nn 11652 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
1513, 14eqeltri 2912 . . . . 5 (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ
16 lbfzo0 13080 . . . . 5 (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝑋”⟩) ∈ ℕ)
1715, 16mpbir 233 . . . 4 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))
18 ccatval3 13936 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝑋”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0))
194, 12, 17, 18mp3an 1457 . . 3 ((𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘(0 + (♯‘𝑆))) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
2011, 19eqtri 2847 . 2 (𝑇𝑀) = (⟨“𝑋”⟩‘0)
21 s1fv 13967 . 2 (𝑋𝑉 → (⟨“𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
2220, 21syl5eq 2871 1 (𝑋𝑉 → (𝑇𝑀) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2113  Vcvv 3497  cfv 6358  (class class class)co 7159  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543  cn 11641  0cn0 11900  ..^cfzo 13036  chash 13693  Word cword 13864   ++ cconcat 13925  ⟨“cs1 13952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13926  df-s1 13953
This theorem is referenced by:  s2fv1  14253  s3fv2  14258  s4fv3  14263
  Copyright terms: Public domain W3C validator