Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgsp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgsp1 18859
 Description: If 𝐹 is an extension sequence and 𝐴 is an extension of the last element of 𝐹, then 𝐹 + ⟨“𝐴”⟩ is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgsp1 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ dom 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsp1
Dummy variables 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . 7 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2 efgval.r . . . . . . 7 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . . . 7 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18852 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
87simp1bi 1142 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
98eldifad 3931 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ∈ Word 𝑊)
101, 2, 3, 4, 5, 6efgsf 18851 . . . . . . . . . . 11 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
1110fdmi 6512 . . . . . . . . . . . 12 dom 𝑆 = {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}
1211feq2i 6494 . . . . . . . . . . 11 (𝑆:dom 𝑆𝑊𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊)
1310, 12mpbir 234 . . . . . . . . . 10 𝑆:dom 𝑆𝑊
1413ffvelrni 6838 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐹) ∈ 𝑊)
151, 2, 3, 4efgtf 18844 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐹) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝑆𝐹)) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐹))), 𝑖 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝑆𝐹) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑖(𝑀𝑖)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝑆𝐹)):((0...(♯‘(𝑆𝐹))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑇‘(𝑆𝐹)) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝑆𝐹))), 𝑖 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝑆𝐹) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑖(𝑀𝑖)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝑆𝐹)):((0...(♯‘(𝑆𝐹))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
1716simprd 499 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑇‘(𝑆𝐹)):((0...(♯‘(𝑆𝐹))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊)
1817frnd 6509 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ran (𝑇‘(𝑆𝐹)) ⊆ 𝑊)
1918sselda 3952 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → 𝐴𝑊)
2019s1cld 13953 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊)
21 ccatcl 13922 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word 𝑊)
229, 20, 21syl2an2r 684 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word 𝑊)
23 ccatws1n0 13987 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ≠ ∅)
249, 23syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ≠ ∅)
2524adantr 484 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ≠ ∅)
26 eldifsn 4703 . . 3 ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ≠ ∅))
2722, 25, 26sylanbrc 586 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
289adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
29 eldifsni 4706 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐹 ≠ ∅)
308, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom 𝑆𝐹 ≠ ∅)
31 len0nnbi 13899 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
329, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
3330, 32mpbid 235 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
34 lbfzo0 13077 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
3533, 34sylibr 237 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
3635adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
37 ccatval1 13926 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = (𝐹‘0))
3828, 20, 36, 37syl3anc 1368 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = (𝐹‘0))
397simp2bi 1143 . . . 4 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
4039adantr 484 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
4138, 40eqeltrd 2916 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) ∈ 𝐷)
427simp3bi 1144 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
4342adantr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
44 fzo0ss1 13067 . . . . . . . . . . 11 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
4544sseli 3948 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
46 ccatval1 13926 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
4745, 46syl3an3 1162 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) = (𝐹𝑖))
48 elfzoel2 13037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
49 peano2zm 12018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
5148zred 12080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
5251lem1d 11565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹))
53 eluz2 12242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹)))
5450, 48, 52, 53syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐹) − 1)))
55 fzoss2 13065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐹) − 1)) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
57 elfzo1elm1fzo0 13138 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
5856, 57sseldd 3953 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
59 ccatval1 13926 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ (𝑖 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
6058, 59syl3an3 1162 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
6160fveq2d 6662 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
6261rneqd 5795 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
6347, 62eleq12d 2910 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
64633expa 1115 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
6564ralbidva 3191 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
669, 20, 65syl2an2r 684 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
6743, 66mpbird 260 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))))
68 lencl 13881 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
699, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
7069nn0cnd 11950 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
7170addid2d 10833 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 + (♯‘𝐹)) = (♯‘𝐹))
7271fveq2d 6662 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)))
7372adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)))
74 s1len 13956 . . . . . . . . . . 11 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
75 1nn 11641 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
7674, 75eqeltri 2912 . . . . . . . . . 10 (♯‘⟨“𝐴”⟩) ∈ ℕ
77 lbfzo0 13077 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝐴”⟩) ∈ ℕ)
7876, 77mpbir 234 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))
7978a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)))
80 ccatval3 13929 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = (⟨“𝐴”⟩‘0))
8128, 20, 79, 80syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = (⟨“𝐴”⟩‘0))
8273, 81eqtr3d 2861 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴”⟩‘0))
83 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹)))
84 s1fv 13960 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹)) → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
8584adantl 485 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
86 fzo0end 13129 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8733, 86syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8887adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
89 ccatval1 13926 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
9028, 20, 88, 89syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
911, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 18853 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
9291adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (𝑆𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
9390, 92eqtr4d 2862 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝑆𝐹))
9493fveq2d 6662 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑇‘(𝑆𝐹)))
9594rneqd 5795 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))) = ran (𝑇‘(𝑆𝐹)))
9683, 85, 953eltr4d 2931 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
9782, 96eqeltrd 2916 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
98 fvex 6671 . . . . . 6 (♯‘𝐹) ∈ V
99 fveq2 6658 . . . . . . 7 (𝑖 = (♯‘𝐹) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)))
100 fvoveq1 7168 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (♯‘𝐹) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)))
101100fveq2d 6662 . . . . . . . 8 (𝑖 = (♯‘𝐹) → (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
102101rneqd 5795 . . . . . . 7 (𝑖 = (♯‘𝐹) → ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
10399, 102eleq12d 2910 . . . . . 6 (𝑖 = (♯‘𝐹) → (((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)))))
10498, 103ralsn 4603 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ {(♯‘𝐹)} ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
10597, 104sylibr 237 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ∀𝑖 ∈ {(♯‘𝐹)} ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))))
106 ralunb 4152 . . . 4 (∀𝑖 ∈ ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)})((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ {(♯‘𝐹)} ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)))))
10767, 105, 106sylanbrc 586 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ∀𝑖 ∈ ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)})((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))))
108 ccatlen 13923 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐴”⟩)))
1099, 20, 108syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐴”⟩)))
11074oveq2i 7156 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐴”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)
111109, 110syl6eq 2875 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
112111oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩))) = (1..^((♯‘𝐹) + 1)))
113 nnuz 12274 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
11433, 113eleqtrdi 2926 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘1))
115 fzosplitsn 13145 . . . . . . 7 ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ‘1) → (1..^((♯‘𝐹) + 1)) = ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)}))
116114, 115syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (1..^((♯‘𝐹) + 1)) = ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)}))
117116adantr 484 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (1..^((♯‘𝐹) + 1)) = ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)}))
118112, 117eqtrd 2859 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩))) = ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)}))
119118raleqdv 3403 . . 3 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)})((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)))))
120107, 119mpbird 260 . 2 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))))
1211, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 18852 . 2 ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)))))
12227, 41, 120, 121syl3anbrc 1340 1 ((𝐹 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ dom 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  {crab 3137   ∖ cdif 3916   ∪ cun 3917   ⊆ wss 3919  ∅c0 4275  {csn 4549  ⟨cop 4555  ⟨cotp 4557  ∪ ciun 4905   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132   I cid 5446   × cxp 5540  dom cdm 5542  ran crn 5543  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145   ∈ cmpo 7147  1oc1o 8085  2oc2o 8086  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   ≤ cle 10668   − cmin 10862  ℕcn 11630  ℕ0cn0 11890  ℤcz 11974  ℤ≥cuz 12236  ...cfz 12890  ..^cfzo 13033  ♯chash 13691  Word cword 13862   ++ cconcat 13918  ⟨“cs1 13945   splice csplice 14107  ⟨“cs2 14199   ~FG cefg 18828 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-ot 4558  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11891  df-xnn0 11961  df-z 11975  df-uz 12237  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13919  df-s1 13946  df-substr 13999  df-pfx 14029  df-splice 14108  df-s2 14206 This theorem is referenced by:  efgsfo  18861  efgredlemd  18866  efgrelexlemb  18872
 Copyright terms: Public domain W3C validator