Theorem efgsp1 19723

Description: If 𝐹 is an extension sequence and 𝐴 is an extension of the last element of 𝐹, then 𝐹 + ⟨“𝐴”⟩ is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsp1	⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ dom 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsp1

Dummy variables 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19716	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
8	7	simp1bi 1145	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9	8	eldifad 3943	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsf 19715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
11	10	fdmi 6727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom 𝑆 = {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}
12	11	feq2i 6708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆:dom 𝑆⟶𝑊 ↔ 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊)
13	10, 12	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆:dom 𝑆⟶𝑊
14	13	ffvelcdmi 7083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑊)
15	1, 2, 3, 4	efgtf 19708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆‘𝐹) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝑆‘𝐹)) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝑆‘𝐹))), 𝑖 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝑆‘𝐹) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑖(𝑀‘𝑖)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝑆‘𝐹)):((0...(♯‘(𝑆‘𝐹))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑇‘(𝑆‘𝐹)) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝑆‘𝐹))), 𝑖 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝑆‘𝐹) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑖(𝑀‘𝑖)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝑆‘𝐹)):((0...(♯‘(𝑆‘𝐹))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
17	16	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑇‘(𝑆‘𝐹)):((0...(♯‘(𝑆‘𝐹))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊)
18	17	frnd 6724	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹)) ⊆ 𝑊)
19	18	sselda 3963	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → 𝐴 ∈ 𝑊)
20	19	s1cld 14623	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊)
21		ccatcl 14594	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word 𝑊)
22	9, 20, 21	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word 𝑊)
23		ccatws1n0 14652	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ≠ ∅)
24	9, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ≠ ∅)
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ≠ ∅)
26		eldifsn 4766	. . 3 ⊢ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ≠ ∅))
27	22, 25, 26	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
28	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
29		eldifsni 4770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐹 ≠ ∅)
30	8, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ≠ ∅)
31		len0nnbi 14571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
32	9, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
33	30, 32	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
34		lbfzo0 13721	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
35	33, 34	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
36	35	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
37		ccatval1 14597	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = (𝐹‘0))
38	28, 20, 36, 37	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = (𝐹‘0))
39	7	simp2bi 1146	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
40	39	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
41	38, 40	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) ∈ 𝐷)
42	7	simp3bi 1147	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
43	42	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
44		fzo0ss1 13711	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
45	44	sseli 3959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
46		ccatval1 14597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
47	45, 46	syl3an3 1165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
48		elfzoel2 13680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
49		peano2zm 12643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
51	48	zred 12705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
52	51	lem1d 12183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹))
53		eluz2 12866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹)))
54	50, 48, 52, 53	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐹) − 1)))
55		fzoss2 13709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐹) − 1)) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
57		elfzo1elm1fzo0 13789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
58	56, 57	sseldd 3964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
59		ccatval1 14597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ (𝑖 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
60	58, 59	syl3an3 1165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
61	60	fveq2d 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
62	61	rneqd 5929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
63	47, 62	eleq12d 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
64	63	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
65	64	ralbidva 3163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
66	9, 20, 65	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
67	43, 66	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))))
68		lencl 14553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
69	9, 68	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
70	69	nn0cnd 12572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
71	70	addlidd 11444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 + (♯‘𝐹)) = (♯‘𝐹))
72	71	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)))
73	72	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)))
74		s1len 14626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
75		1nn 12259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
76	74, 75	eqeltri 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) ∈ ℕ
77		lbfzo0 13721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝐴”⟩) ∈ ℕ)
78	76, 77	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))
79	78	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)))
80		ccatval3 14599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = (⟨“𝐴”⟩‘0))
81	28, 20, 79, 80	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = (⟨“𝐴”⟩‘0))
82	73, 81	eqtr3d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴”⟩‘0))
83		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹)))
84		s1fv 14630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹)) → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
85	84	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
86		fzo0end 13779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
87	33, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
89		ccatval1 14597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
90	28, 20, 88, 89	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
91	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 19717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
93	90, 92	eqtr4d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝑆‘𝐹))
94	93	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑇‘(𝑆‘𝐹)))
95	94	rneqd 5929	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))) = ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹)))
96	83, 85, 95	3eltr4d 2848	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
97	82, 96	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
98		fvex 6899	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) ∈ V
99		fveq2 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝐹) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)))
100		fvoveq1 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝐹) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)))
101	100	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝐹) → (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
102	101	rneqd 5929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝐹) → ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
103	99, 102	eleq12d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝐹) → (((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)))))
104	98, 103	ralsn 4661	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ {(♯‘𝐹)} ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
105	97, 104	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ {(♯‘𝐹)} ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))))
106		ralunb 4177	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)})((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ {(♯‘𝐹)} ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)))))
107	67, 105, 106	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)})((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))))
108		ccatlen 14595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐴”⟩)))
109	9, 20, 108	syl2an2r 685	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐴”⟩)))
110	74	oveq2i 7424	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐴”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)
111	109, 110	eqtrdi 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
112	111	oveq2d 7429	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩))) = (1..^((♯‘𝐹) + 1)))
113		nnuz 12903	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
114	33, 113	eleqtrdi 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘1))
115		fzosplitsn 13796	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘1) → (1..^((♯‘𝐹) + 1)) = ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)}))
116	114, 115	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (1..^((♯‘𝐹) + 1)) = ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)}))
117	116	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (1..^((♯‘𝐹) + 1)) = ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)}))
118	112, 117	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩))) = ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)}))
119	107, 118	raleqtrrdv 3313	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))))
120	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19716	. 2 ⊢ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)))))
121	27, 41, 119, 120	syl3anbrc 1343	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ dom 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  {crab 3419   ∖ cdif 3928   ∪ cun 3929   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313  {csn 4606  ⟨cop 4612  ⟨cotp 4614  ∪ ciun 4971   class class class wbr 5123   ↦ cmpt 5205   I cid 5557   × cxp 5663  dom cdm 5665  ran crn 5666  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  1_oc1o 8481  2_oc2o 8482  0cc0 11137  1c1 11138   + caddc 11140   ≤ cle 11278   − cmin 11474  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12509  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676  ♯chash 14351  Word cword 14534   ++ cconcat 14590  ⟨“cs1 14615   splice csplice 14769  ⟨“cs2 14862   ~_FG cefg 19692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-n0 12510  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14352  df-word 14535  df-concat 14591  df-s1 14616  df-substr 14661  df-pfx 14691  df-splice 14770  df-s2 14869

This theorem is referenced by:  efgsfo  19725  efgredlemd  19730  efgrelexlemb  19736