Theorem efgsp1 19519

Description: If 𝐹 is an extension sequence and 𝐴 is an extension of the last element of 𝐹, then 𝐹 + ⟨“𝐴”⟩ is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsp1	⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ dom 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgsp1

Dummy variables 𝑎 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
2		efgval.r	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19512	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
8	7	simp1bi 1145	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9	8	eldifad 3922	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsf 19511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊
11	10	fdmi 6680	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom 𝑆 = {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}
12	11	feq2i 6660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆:dom 𝑆⟶𝑊 ↔ 𝑆:{𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))}⟶𝑊)
13	10, 12	mpbir 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆:dom 𝑆⟶𝑊
14	13	ffvelcdmi 7034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐹) ∈ 𝑊)
15	1, 2, 3, 4	efgtf 19504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆‘𝐹) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝑆‘𝐹)) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝑆‘𝐹))), 𝑖 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝑆‘𝐹) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑖(𝑀‘𝑖)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝑆‘𝐹)):((0...(♯‘(𝑆‘𝐹))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝑇‘(𝑆‘𝐹)) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝑆‘𝐹))), 𝑖 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ ((𝑆‘𝐹) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑖(𝑀‘𝑖)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝑆‘𝐹)):((0...(♯‘(𝑆‘𝐹))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊))
17	16	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑇‘(𝑆‘𝐹)):((0...(♯‘(𝑆‘𝐹))) × (𝐼 × 2o))⟶𝑊)
18	17	frnd 6676	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹)) ⊆ 𝑊)
19	18	sselda 3944	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → 𝐴 ∈ 𝑊)
20	19	s1cld 14491	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊)
21		ccatcl 14462	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word 𝑊)
22	9, 20, 21	syl2an2r 683	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word 𝑊)
23		ccatws1n0 14520	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ≠ ∅)
24	9, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ≠ ∅)
25	24	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ≠ ∅)
26		eldifsn 4747	. . 3 ⊢ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ≠ ∅))
27	22, 25, 26	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
28	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
29		eldifsni 4750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐹 ≠ ∅)
30	8, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ≠ ∅)
31		len0nnbi 14439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
32	9, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ))
33	30, 32	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
34		lbfzo0 13612	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
35	33, 34	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
36	35	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
37		ccatval1 14465	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = (𝐹‘0))
38	28, 20, 36, 37	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) = (𝐹‘0))
39	7	simp2bi 1146	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
40	39	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
41	38, 40	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) ∈ 𝐷)
42	7	simp3bi 1147	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
43	42	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
44		fzo0ss1 13602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
45	44	sseli 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
46		ccatval1 14465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
47	45, 46	syl3an3 1165	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
48		elfzoel2 13571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
49		peano2zm 12546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
51	48	zred 12607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
52	51	lem1d 12088	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹))
53		eluz2 12769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ≤ (♯‘𝐹)))
54	50, 48, 52, 53	syl3anbrc 1343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐹) − 1)))
55		fzoss2 13600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐹) − 1)) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
57		elfzo1elm1fzo0 13673	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
58	56, 57	sseldd 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
59		ccatval1 14465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ (𝑖 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
60	58, 59	syl3an3 1165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
61	60	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
62	61	rneqd 5893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
63	47, 62	eleq12d 2832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
64	63	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
65	64	ralbidva 3172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
66	9, 20, 65	syl2an2r 683	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
67	43, 66	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))))
68		lencl 14421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
69	9, 68	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
70	69	nn0cnd 12475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
71	70	addid2d 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (0 + (♯‘𝐹)) = (♯‘𝐹))
72	71	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)))
73	72	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)))
74		s1len 14494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
75		1nn 12164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
76	74, 75	eqeltri 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“𝐴”⟩) ∈ ℕ
77		lbfzo0 13612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)) ↔ (♯‘⟨“𝐴”⟩) ∈ ℕ)
78	76, 77	mpbir 230	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))
79	78	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩)))
80		ccatval3 14467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘⟨“𝐴”⟩))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = (⟨“𝐴”⟩‘0))
81	28, 20, 79, 80	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(0 + (♯‘𝐹))) = (⟨“𝐴”⟩‘0))
82	73, 81	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴”⟩‘0))
83		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹)))
84		s1fv 14498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹)) → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
85	84	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
86		fzo0end 13664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
87	33, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
89		ccatval1 14465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
90	28, 20, 88, 89	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
91	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 19513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝑆‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
93	90, 92	eqtr4d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝑆‘𝐹))
94	93	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑇‘(𝑆‘𝐹)))
95	94	rneqd 5893	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))) = ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹)))
96	83, 85, 95	3eltr4d 2853	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
97	82, 96	eqeltrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
98		fvex 6855	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) ∈ V
99		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝐹) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)))
100		fvoveq1 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝐹) → ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)) = ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)))
101	100	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝐹) → (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
102	101	rneqd 5893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝐹) → ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
103	99, 102	eleq12d 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝐹) → (((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1)))))
104	98, 103	ralsn 4642	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ {(♯‘𝐹)} ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(♯‘𝐹)) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘((♯‘𝐹) − 1))))
105	97, 104	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ {(♯‘𝐹)} ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))))
106		ralunb 4151	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)})((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐹))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ∧ ∀𝑖 ∈ {(♯‘𝐹)} ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)))))
107	67, 105, 106	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)})((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))))
108		ccatlen 14463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐴”⟩)))
109	9, 20, 108	syl2an2r 683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐴”⟩)))
110	74	oveq2i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“𝐴”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)
111	109, 110	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
112	111	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩))) = (1..^((♯‘𝐹) + 1)))
113		nnuz 12806	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
114	33, 113	eleqtrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘1))
115		fzosplitsn 13680	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘1) → (1..^((♯‘𝐹) + 1)) = ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)}))
116	114, 115	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (1..^((♯‘𝐹) + 1)) = ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)}))
117	116	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (1..^((♯‘𝐹) + 1)) = ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)}))
118	112, 117	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩))) = ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)}))
119	118	raleqdv 3313	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ ((1..^(♯‘𝐹)) ∪ {(♯‘𝐹)})((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)))))
120	107, 119	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1))))
121	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 19512	. 2 ⊢ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)))((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩)‘(𝑖 − 1)))))
122	27, 41, 120, 121	syl3anbrc 1343	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑇‘(𝑆‘𝐹))) → (𝐹 ++ ⟨“𝐴”⟩) ∈ dom 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {crab 3407   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586  ⟨cop 4592  ⟨cotp 4594  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   I cid 5530   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  1_oc1o 8405  2_oc2o 8406  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  ♯chash 14230  Word cword 14402   ++ cconcat 14458  ⟨“cs1 14483   splice csplice 14637  ⟨“cs2 14730   ~_FG cefg 19488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-s2 14737

This theorem is referenced by:  efgsfo  19521  efgredlemd  19526  efgrelexlemb  19532