Theorem wrdl1s1 14550

Description: A word of length 1 is a singleton word consisting of the first symbol of the word. (Contributed by AV, 22-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdl1s1	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊‘0) = 𝑆)))

Proof of Theorem wrdl1s1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cl 14538	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
2		s1len 14542	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1)
4		s1fv 14546	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
5	1, 3, 4	3jca 1129	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1 ∧ (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆))
6		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉))
7		fveqeq2 6851	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ → ((♯‘𝑊) = 1 ↔ (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1))
8		fveq1 6841	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ → (𝑊‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘0))
9	8	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ → ((𝑊‘0) = 𝑆 ↔ (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆))
10	6, 7, 9	3anbi123d 1439	. . 3 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊‘0) = 𝑆) ↔ (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1 ∧ (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)))
11	5, 10	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊‘0) = 𝑆)))
12		eqs1 14548	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
13		s1eq 14536	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘0) = 𝑆 → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“𝑆”⟩)
14	13	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ ((𝑊‘0) = 𝑆 → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“𝑆”⟩))
15	12, 14	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊‘0) = 𝑆 → 𝑊 = ⟨“𝑆”⟩))
16	15	3impia 1118	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊‘0) = 𝑆) → 𝑊 = ⟨“𝑆”⟩)
17	11, 16	impbid1 225	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊‘0) = 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  0cc0 11038  1c1 11039  ♯chash 14265  Word cword 14448  ⟨“cs1 14531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-s1 14532

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlkb0  30059  clwwlknon1  30184