Theorem wrdl1s1 14651

Description: A word of length 1 is a singleton word consisting of the first symbol of the word. (Contributed by AV, 22-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdl1s1	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊‘0) = 𝑆)))

Proof of Theorem wrdl1s1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cl 14639	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
2		s1len 14643	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1)
4		s1fv 14647	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
5	1, 3, 4	3jca 1144	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1 ∧ (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆))
6		eleq1 2857	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉))
7		fveqeq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ → ((♯‘𝑊) = 1 ↔ (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1))
8		fveq1 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ → (𝑊‘0) = (⟨“𝑆”⟩‘0))
9	8	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ → ((𝑊‘0) = 𝑆 ↔ (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆))
10	6, 7, 9	3anbi123d 1462	. . 3 ⊢ (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊‘0) = 𝑆) ↔ (⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1 ∧ (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)))
11	5, 10	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊‘0) = 𝑆)))
12		eqs1 14649	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
13		s1eq 14637	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘0) = 𝑆 → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ = ⟨“𝑆”⟩)
14	13	eqeq2d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑊‘0) = 𝑆 → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ 𝑊 = ⟨“𝑆”⟩))
15	12, 14	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊‘0) = 𝑆 → 𝑊 = ⟨“𝑆”⟩))
16	15	3impia 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊‘0) = 𝑆) → 𝑊 = ⟨“𝑆”⟩)
17	11, 16	impbid1 228	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑊 = ⟨“𝑆”⟩ ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 1 ∧ (𝑊‘0) = 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  0cc0 11099  1c1 11100  ♯chash 14365  Word cword 14549  ⟨“cs1 14632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-s1 14633

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlkb0  30263  clwwlknon1  30388