Theorem loopclwwlkn1b 30112

Description: The singleton word consisting of a vertex 𝑉 represents a closed walk of length 1 iff there is a loop at vertex 𝑉. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
loopclwwlkn1b	⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({𝑉} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ⟨“𝑉”⟩ ∈ (1 ClWWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem loopclwwlkn1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkn1 30111	. 2 ⊢ (⟨“𝑉”⟩ ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
2		s1fv 14573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝑉”⟩‘0) = 𝑉)
3	2	sneqd 4580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → {(⟨“𝑉”⟩‘0)} = {𝑉})
4	3	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
5	4	biimpcd 249	. . . . 5 ⊢ ({(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
6	5	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ (((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
7	6	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
8		s1len 14569	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1)
10		s1cl 14565	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)) → ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
12	2	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑉 = (⟨“𝑉”⟩‘0))
13	12	sneqd 4580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → {𝑉} = {(⟨“𝑉”⟩‘0)})
14	13	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({𝑉} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
15	14	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
16	9, 11, 15	3jca 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({𝑉} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
18	7, 17	impbid 212	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
19	1, 18	bitr2id 284	1 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({𝑉} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ⟨“𝑉”⟩ ∈ (1 ClWWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4568  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039  ♯chash 14292  Word cword 14475  ⟨“cs1 14558  Vtxcvtx 29065  Edgcedg 29116   ClWWalksN cclwwlkn 30094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-lsw 14525  df-s1 14559  df-clwwlk 30052  df-clwwlkn 30095

This theorem is referenced by: (None)