Theorem loopclwwlkn1b 27979

Description: The singleton word consisting of a vertex 𝑉 represents a closed walk of length 1 iff there is a loop at vertex 𝑉. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
loopclwwlkn1b	⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({𝑉} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ⟨“𝑉”⟩ ∈ (1 ClWWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem loopclwwlkn1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkn1 27978	. 2 ⊢ (⟨“𝑉”⟩ ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
2		s1fv 14053	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝑉”⟩‘0) = 𝑉)
3	2	sneqd 4528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → {(⟨“𝑉”⟩‘0)} = {𝑉})
4	3	eleq1d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
5	4	biimpcd 252	. . . . 5 ⊢ ({(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
6	5	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ (((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
7	6	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
8		s1len 14049	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1)
10		s1cl 14045	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)) → ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
12	2	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑉 = (⟨“𝑉”⟩‘0))
13	12	sneqd 4528	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → {𝑉} = {(⟨“𝑉”⟩‘0)})
14	13	eleq1d 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({𝑉} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
15	14	biimpa 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
16	9, 11, 15	3jca 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
17	16	ex 416	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({𝑉} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
18	7, 17	impbid 215	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
19	1, 18	syl5rbb 287	1 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({𝑉} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ⟨“𝑉”⟩ ∈ (1 ClWWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4516  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  0cc0 10615  1c1 10616  ♯chash 13782  Word cword 13955  ⟨“cs1 14038  Vtxcvtx 26941  Edgcedg 26992   ClWWalksN cclwwlkn 27961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-hash 13783  df-word 13956  df-lsw 14004  df-s1 14039  df-clwwlk 27919  df-clwwlkn 27962

This theorem is referenced by: (None)