Theorem loopclwwlkn1b 27350

Description: The singleton word consisting of a vertex 𝑉 represents a closed walk of length 1 iff there is a loop at vertex 𝑉. (Contributed by AV, 11-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
loopclwwlkn1b	⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({𝑉} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ⟨“𝑉”⟩ ∈ (1 ClWWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem loopclwwlkn1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkn1 27349	. 2 ⊢ (⟨“𝑉”⟩ ∈ (1 ClWWalksN 𝐺) ↔ ((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
2		s1fv 13629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → (⟨“𝑉”⟩‘0) = 𝑉)
3	2	sneqd 4381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → {(⟨“𝑉”⟩‘0)} = {𝑉})
4	3	eleq1d 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
5	4	biimpcd 241	. . . . 5 ⊢ ({(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
6	5	3ad2ant3 1166	. . . 4 ⊢ (((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
7	6	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
8		s1len 13625	. . . . . 6 ⊢ (♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)) → (♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1)
10		s1cl 13621	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
11	10	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)) → ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
12	2	eqcomd 2806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑉 = (⟨“𝑉”⟩‘0))
13	12	sneqd 4381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → {𝑉} = {(⟨“𝑉”⟩‘0)})
14	13	eleq1d 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({𝑉} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
15	14	biimpa 469	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)) → {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
16	9, 11, 15	3jca 1159	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
17	16	ex 402	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({𝑉} ∈ (Edg‘𝐺) → ((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
18	7, 17	impbid 204	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((♯‘⟨“𝑉”⟩) = 1 ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ {(⟨“𝑉”⟩‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ {𝑉} ∈ (Edg‘𝐺)))
19	1, 18	syl5rbb 276	1 ⊢ (𝑉 ∈ (Vtx‘𝐺) → ({𝑉} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ⟨“𝑉”⟩ ∈ (1 ClWWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {csn 4369  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  0cc0 10225  1c1 10226  ♯chash 13369  Word cword 13533  ⟨“cs1 13614  Vtxcvtx 26230  Edgcedg 26281   ClWWalksN cclwwlkn 27325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-xnn0 11652  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-hash 13370  df-word 13534  df-lsw 13582  df-s1 13615  df-clwwlk 27274  df-clwwlkn 27327

This theorem is referenced by: (None)