MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1val2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1val2 14604
Description: Value of the symbol concatenated with a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ccats1val2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)

Proof of Theorem ccats1val2
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 s1cl 14579 . . . 4 (𝑆𝑉 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
323ad2ant2 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
4 lencl 14510 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
54nn0zd 12609 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
6 elfzomin 13731 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
8 s1len 14583 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
98oveq2i 7426 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1)
109oveq2i 7426 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) = ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1))
117, 10eleqtrrdi 2840 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
13 eleq1 2817 . . . . . 6 (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
1512, 14mpbird 257 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
16153adant2 1129 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
17 ccatval2 14555 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
181, 3, 16, 17syl3anc 1369 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
19 oveq1 7422 . . . . 5 (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
20193ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
214nn0cnd 12559 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
2221subidd 11584 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
23223ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
2420, 23eqtrd 2768 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = 0)
2524fveq2d 6896 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))) = (⟨“𝑆”⟩‘0))
26 s1fv 14587 . . 3 (𝑆𝑉 → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
27263ad2ant2 1132 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
2818, 25, 273eqtrd 2772 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6543  (class class class)co 7415  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136  cmin 11469  cz 12583  ..^cfzo 13654  chash 14316  Word cword 14491   ++ cconcat 14547  ⟨“cs1 14572
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-concat 14548  df-s1 14573
This theorem is referenced by:  ccatws1ls  14610  ccatw2s1p1  14613  ccatw2s1p2  14614  gsmsymgrfixlem1  19376  gsmsymgreqlem2  19380  wwlksnext  29698  clwwlkwwlksb  29858  clwwlknonwwlknonb  29910
  Copyright terms: Public domain W3C validator