MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1val2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1val2 13789
Description: Value of the symbol concatenated with a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ccats1val2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)

Proof of Theorem ccats1val2
StepHypRef Expression
1 simp1 1117 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 s1cl 13764 . . . 4 (𝑆𝑉 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
323ad2ant2 1115 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
4 lencl 13693 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
54nn0zd 11897 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
6 elfzomin 12923 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
8 s1len 13768 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
98oveq2i 6986 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1)
109oveq2i 6986 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) = ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1))
117, 10syl6eleqr 2872 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
1211adantr 473 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
13 eleq1 2848 . . . . . 6 (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
1413adantl 474 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
1512, 14mpbird 249 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
16153adant2 1112 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
17 ccatval2 13740 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
181, 3, 16, 17syl3anc 1352 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
19 oveq1 6982 . . . . 5 (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
20193ad2ant3 1116 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
214nn0cnd 11768 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
2221subidd 10785 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
23223ad2ant1 1114 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
2420, 23eqtrd 2809 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = 0)
2524fveq2d 6501 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))) = (⟨“𝑆”⟩‘0))
26 s1fv 13772 . . 3 (𝑆𝑉 → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
27263ad2ant2 1115 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
2818, 25, 273eqtrd 2813 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  cfv 6186  (class class class)co 6975  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337  cmin 10669  cz 11792  ..^cfzo 12848  chash 13504  Word cword 13671   ++ cconcat 13732  ⟨“cs1 13757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-oadd 7908  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-n0 11707  df-z 11793  df-uz 12058  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-hash 13505  df-word 13672  df-concat 13733  df-s1 13758
This theorem is referenced by:  ccatws1ls  13795  ccatw2s1p1  13798  ccatw2s1p2  13799  gsmsymgrfixlem1  18329  gsmsymgreqlem2  18333  wwlksnext  27397  clwwlkwwlksb  27593  clwwlknonwwlknonb  27650
  Copyright terms: Public domain W3C validator