MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1val2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1val2 14583
Description: Value of the symbol concatenated with a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ccats1val2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)

Proof of Theorem ccats1val2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 s1cl 14558 . . . 4 (𝑆𝑉 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
323ad2ant2 1131 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
4 lencl 14489 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
54nn0zd 12588 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
6 elfzomin 13710 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
8 s1len 14562 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
98oveq2i 7416 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1)
109oveq2i 7416 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) = ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1))
117, 10eleqtrrdi 2838 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
1211adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
13 eleq1 2815 . . . . . 6 (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
1512, 14mpbird 257 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
16153adant2 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
17 ccatval2 14534 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
181, 3, 16, 17syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
19 oveq1 7412 . . . . 5 (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
20193ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
214nn0cnd 12538 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
2221subidd 11563 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
23223ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
2420, 23eqtrd 2766 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = 0)
2524fveq2d 6889 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))) = (⟨“𝑆”⟩‘0))
26 s1fv 14566 . . 3 (𝑆𝑉 → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
27263ad2ant2 1131 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
2818, 25, 273eqtrd 2770 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  cmin 11448  cz 12562  ..^cfzo 13633  chash 14295  Word cword 14470   ++ cconcat 14526  ⟨“cs1 14551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552
This theorem is referenced by:  ccatws1ls  14589  ccatw2s1p1  14592  ccatw2s1p2  14593  gsmsymgrfixlem1  19347  gsmsymgreqlem2  19351  wwlksnext  29656  clwwlkwwlksb  29816  clwwlknonwwlknonb  29868
  Copyright terms: Public domain W3C validator