Theorem ccats1val2 14665

Description: Value of the symbol concatenated with a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1val2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)

Proof of Theorem ccats1val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		s1cl 14640	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
3	2	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
4		lencl 14571	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
6		elfzomin 13776	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
8		s1len 14644	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
9	8	oveq2i 7442	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1)
10	9	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) = ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1))
11	7, 10	eleqtrrdi 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
13		eleq1 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
15	12, 14	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
16	15	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
17		ccatval2 14616	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
18	1, 3, 16, 17	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
19		oveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
20	19	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
21	4	nn0cnd 12589	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
22	21	subidd 11608	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
23	22	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
24	20, 23	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = 0)
25	24	fveq2d 6910	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))) = (⟨“𝑆”⟩‘0))
26		s1fv 14648	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
27	26	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
28	18, 25, 27	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   − cmin 11492  ℤcz 12613  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552   ++ cconcat 14608  ⟨“cs1 14633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634

This theorem is referenced by:  ccatws1ls  14671  ccatw2s1p1  14674  ccatw2s1p2  14675  gsmsymgrfixlem1  19445  gsmsymgreqlem2  19449  wwlksnext  29913  clwwlkwwlksb  30073  clwwlknonwwlknonb  30125  ccatws1f1olast  32937  chnind  33001  chnccats1  33005