Theorem ccats1val2 14592

Description: Value of the symbol concatenated with a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ccats1val2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)

Proof of Theorem ccats1val2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		s1cl 14567	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
3	2	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
4		lencl 14498	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 12555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
6		elfzomin 13698	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
8		s1len 14571	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
9	8	oveq2i 7398	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1)
10	9	oveq2i 7398	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) = ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1))
11	7, 10	eleqtrrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
13		eleq1 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
15	12, 14	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
16	15	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
17		ccatval2 14543	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
18	1, 3, 16, 17	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
19		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
20	19	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
21	4	nn0cnd 12505	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
22	21	subidd 11521	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
23	22	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
24	20, 23	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = 0)
25	24	fveq2d 6862	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))) = (⟨“𝑆”⟩‘0))
26		s1fv 14575	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
27	26	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
28	18, 25, 27	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11405  ℤcz 12529  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535  ⟨“cs1 14560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-s1 14561

This theorem is referenced by:  ccatws1ls  14598  ccatw2s1p1  14601  ccatw2s1p2  14602  gsmsymgrfixlem1  19357  gsmsymgreqlem2  19361  wwlksnext  29823  clwwlkwwlksb  29983  clwwlknonwwlknonb  30035  ccatws1f1olast  32874  chnind  32937  chnccats1  32941