MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1val2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1val2 14522
Description: Value of the symbol concatenated with a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ccats1val2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)

Proof of Theorem ccats1val2
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 s1cl 14497 . . . 4 (𝑆𝑉 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
323ad2ant2 1135 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
4 lencl 14428 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
54nn0zd 12532 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
6 elfzomin 13651 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1)))
8 s1len 14501 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“𝑆”⟩) = 1
98oveq2i 7373 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1)
109oveq2i 7373 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) = ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + 1))
117, 10eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
1211adantr 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
13 eleq1 2826 . . . . . 6 (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
1413adantl 483 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))))
1512, 14mpbird 257 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
16153adant2 1132 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩))))
17 ccatval2 14473 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ((♯‘𝑊)..^((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑆”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
181, 3, 16, 17syl3anc 1372 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))))
19 oveq1 7369 . . . . 5 (𝐼 = (♯‘𝑊) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
20193ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)))
214nn0cnd 12482 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
2221subidd 11507 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
23223ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − (♯‘𝑊)) = 0)
2420, 23eqtrd 2777 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (𝐼 − (♯‘𝑊)) = 0)
2524fveq2d 6851 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (♯‘𝑊))) = (⟨“𝑆”⟩‘0))
26 s1fv 14505 . . 3 (𝑆𝑉 → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
27263ad2ant2 1135 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
2818, 25, 273eqtrd 2781 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  cmin 11392  cz 12506  ..^cfzo 13574  chash 14237  Word cword 14409   ++ cconcat 14465  ⟨“cs1 14490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491
This theorem is referenced by:  ccatws1ls  14528  ccatw2s1p1  14531  ccatw2s1p2  14532  gsmsymgrfixlem1  19216  gsmsymgreqlem2  19220  wwlksnext  28880  clwwlkwwlksb  29040  clwwlknonwwlknonb  29092
  Copyright terms: Public domain W3C validator