Theorem wlk2v2elem2 30118

Description: Lemma 2 for wlk2v2e 30119: The values of 𝐼 after 𝐹 are edges between two vertices enumerated by 𝑃. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩

Assertion

Ref	Expression
wlk2v2elem2	⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem wlk2v2elem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk2v2e.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
2	1	fveq1i 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“00”⟩‘0)
3		0z 12500	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		s2fv0 14812	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘0) = 0)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“00”⟩‘0) = 0
6	2, 5	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘0) = 0
7	6	fveq2i 6829	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘0)
8		wlk2v2e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
9	8	fveq1i 6827	. . . . 5 ⊢ (𝐼‘0) = (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0)
10		prex 5379	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
11		s1fv 14535	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌}
13	9, 12	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (𝐼‘0) = {𝑋, 𝑌}
14		wlk2v2e.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
15	14	fveq1i 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0)
16		wlk2v2e.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ V
17		s3fv0 14816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋
19	15, 18	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = 𝑋
20	14	fveq1i 6827	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1)
21		wlk2v2e.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
22		s3fv1 14817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌
24	20, 23	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = 𝑌
25	19, 24	preq12i 4692	. . . . 5 ⊢ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌}
26	25	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
27	7, 13, 26	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
28	1	fveq1i 6827	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘1) = (⟨“00”⟩‘1)
29		s2fv1 14813	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘1) = 0)
30	3, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“00”⟩‘1) = 0
31	28, 30	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘1) = 0
32	31	fveq2i 6829	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘1)) = (𝐼‘0)
33		prcom 4686	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
34	14	fveq1i 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃‘2) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2)
35		s3fv2 14818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋)
36	16, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋
37	34, 36	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘2) = 𝑋
38	24, 37	preq12i 4692	. . . . . 6 ⊢ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝑌, 𝑋}
39	38	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ {𝑌, 𝑋} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
40	33, 39	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
41	32, 13, 40	3eqtri 2756	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
42		2wlklem 29629	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
43	27, 41, 42	mpbir2an 711	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
44	14, 1	2wlkdlem2 29889	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1}
45	44	raleqi 3288	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
46	43, 45	mpbir 231	1 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438  {cpr 4581  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  2c2 12201  ℤcz 12489  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  ⟨“cs1 14520  ⟨“cs2 14766  ⟨“cs3 14767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-s1 14521  df-s2 14773  df-s3 14774

This theorem is referenced by:  wlk2v2e  30119