Theorem wlk2v2elem2 30304

Description: Lemma 2 for wlk2v2e 30305: The values of 𝐼 after 𝐹 are edges between two vertices enumerated by 𝑃. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩

Assertion

Ref	Expression
wlk2v2elem2	⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem wlk2v2elem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk2v2e.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
2	1	fveq1i 6864	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“00”⟩‘0)
3		0z 12576	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		s2fv0 14897	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘0) = 0)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“00”⟩‘0) = 0
6	2, 5	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘0) = 0
7	6	fveq2i 6866	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘0)
8		wlk2v2e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
9	8	fveq1i 6864	. . . . 5 ⊢ (𝐼‘0) = (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0)
10		prex 5394	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
11		s1fv 14621	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌}
13	9, 12	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (𝐼‘0) = {𝑋, 𝑌}
14		wlk2v2e.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
15	14	fveq1i 6864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0)
16		wlk2v2e.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ V
17		s3fv0 14901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋
19	15, 18	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = 𝑋
20	14	fveq1i 6864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1)
21		wlk2v2e.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
22		s3fv1 14902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌
24	20, 23	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = 𝑌
25	19, 24	preq12i 4696	. . . . 5 ⊢ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌}
26	25	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
27	7, 13, 26	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
28	1	fveq1i 6864	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘1) = (⟨“00”⟩‘1)
29		s2fv1 14898	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘1) = 0)
30	3, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“00”⟩‘1) = 0
31	28, 30	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘1) = 0
32	31	fveq2i 6866	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘1)) = (𝐼‘0)
33		prcom 4690	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
34	14	fveq1i 6864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃‘2) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2)
35		s3fv2 14903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋)
36	16, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋
37	34, 36	eqtri 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘2) = 𝑋
38	24, 37	preq12i 4696	. . . . . 6 ⊢ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝑌, 𝑋}
39	38	eqcomi 2770	. . . . 5 ⊢ {𝑌, 𝑋} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
40	33, 39	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
41	32, 13, 40	3eqtri 2788	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
42		2wlklem 29812	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
43	27, 41, 42	mpbir2an 721	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
44	14, 1	2wlkdlem2 30072	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1}
45	44	raleqi 3317	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
46	43, 45	mpbir 233	1 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453  {cpr 4583  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073  2c2 12269  ℤcz 12565  ..^cfzo 13656  ♯chash 14340  ⟨“cs1 14606  ⟨“cs2 14851  ⟨“cs3 14852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-s2 14858  df-s3 14859

This theorem is referenced by:  wlk2v2e  30305