Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlk2v2elem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlk2v2elem2 28045
 Description: Lemma 2 for wlk2v2e 28046: The values of 𝐼 after 𝐹 are edges between two vertices enumerated by 𝑃. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlk2v2e.i 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
Assertion
Ref Expression
wlk2v2elem2 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem wlk2v2elem2
StepHypRef Expression
1 wlk2v2e.f . . . . . . 7 𝐹 = ⟨“00”⟩
21fveq1i 6663 . . . . . 6 (𝐹‘0) = (⟨“00”⟩‘0)
3 0z 12036 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
4 s2fv0 14301 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘0) = 0)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨“00”⟩‘0) = 0
62, 5eqtri 2781 . . . . 5 (𝐹‘0) = 0
76fveq2i 6665 . . . 4 (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘0)
8 wlk2v2e.i . . . . . 6 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
98fveq1i 6663 . . . . 5 (𝐼‘0) = (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0)
10 prex 5304 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} ∈ V
11 s1fv 14016 . . . . . 6 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌})
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌}
139, 12eqtri 2781 . . . 4 (𝐼‘0) = {𝑋, 𝑌}
14 wlk2v2e.p . . . . . . . 8 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
1514fveq1i 6663 . . . . . . 7 (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0)
16 wlk2v2e.x . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V
17 s3fv0 14305 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋
1915, 18eqtri 2781 . . . . . 6 (𝑃‘0) = 𝑋
2014fveq1i 6663 . . . . . . 7 (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1)
21 wlk2v2e.y . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
22 s3fv1 14306 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌
2420, 23eqtri 2781 . . . . . 6 (𝑃‘1) = 𝑌
2519, 24preq12i 4634 . . . . 5 {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌}
2625eqcomi 2767 . . . 4 {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
277, 13, 263eqtri 2785 . . 3 (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
281fveq1i 6663 . . . . . 6 (𝐹‘1) = (⟨“00”⟩‘1)
29 s2fv1 14302 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘1) = 0)
303, 29ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨“00”⟩‘1) = 0
3128, 30eqtri 2781 . . . . 5 (𝐹‘1) = 0
3231fveq2i 6665 . . . 4 (𝐼‘(𝐹‘1)) = (𝐼‘0)
33 prcom 4628 . . . . 5 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
3414fveq1i 6663 . . . . . . . 8 (𝑃‘2) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2)
35 s3fv2 14307 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋)
3616, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋
3734, 36eqtri 2781 . . . . . . 7 (𝑃‘2) = 𝑋
3824, 37preq12i 4634 . . . . . 6 {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝑌, 𝑋}
3938eqcomi 2767 . . . . 5 {𝑌, 𝑋} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
4033, 39eqtri 2781 . . . 4 {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
4132, 13, 403eqtri 2785 . . 3 (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
42 2wlklem 27561 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
4327, 41, 42mpbir2an 710 . 2 𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
4414, 12wlkdlem2 27816 . . 3 (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1}
4544raleqi 3327 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
4643, 45mpbir 234 1 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409  {cpr 4527  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  0cc0 10580  1c1 10581   + caddc 10583  2c2 11734  ℤcz 12025  ..^cfzo 13087  ♯chash 13745  ⟨“cs1 14001  ⟨“cs2 14255  ⟨“cs3 14256 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-hash 13746  df-word 13919  df-concat 13975  df-s1 14002  df-s2 14262  df-s3 14263 This theorem is referenced by:  wlk2v2e  28046
 Copyright terms: Public domain W3C validator