Theorem wlk2v2elem2 30243

Description: Lemma 2 for wlk2v2e 30244: The values of 𝐼 after 𝐹 are edges between two vertices enumerated by 𝑃. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩

Assertion

Ref	Expression
wlk2v2elem2	⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem wlk2v2elem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk2v2e.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
2	1	fveq1i 6843	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“00”⟩‘0)
3		0z 12511	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		s2fv0 14822	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘0) = 0)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“00”⟩‘0) = 0
6	2, 5	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘0) = 0
7	6	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘0)
8		wlk2v2e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
9	8	fveq1i 6843	. . . . 5 ⊢ (𝐼‘0) = (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0)
10		prex 5384	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
11		s1fv 14546	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌}
13	9, 12	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (𝐼‘0) = {𝑋, 𝑌}
14		wlk2v2e.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
15	14	fveq1i 6843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0)
16		wlk2v2e.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ V
17		s3fv0 14826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋
19	15, 18	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = 𝑋
20	14	fveq1i 6843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1)
21		wlk2v2e.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
22		s3fv1 14827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌
24	20, 23	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = 𝑌
25	19, 24	preq12i 4697	. . . . 5 ⊢ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌}
26	25	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
27	7, 13, 26	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
28	1	fveq1i 6843	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘1) = (⟨“00”⟩‘1)
29		s2fv1 14823	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘1) = 0)
30	3, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“00”⟩‘1) = 0
31	28, 30	eqtri 2760	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘1) = 0
32	31	fveq2i 6845	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘1)) = (𝐼‘0)
33		prcom 4691	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
34	14	fveq1i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃‘2) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2)
35		s3fv2 14828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋)
36	16, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋
37	34, 36	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘2) = 𝑋
38	24, 37	preq12i 4697	. . . . . 6 ⊢ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝑌, 𝑋}
39	38	eqcomi 2746	. . . . 5 ⊢ {𝑌, 𝑋} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
40	33, 39	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
41	32, 13, 40	3eqtri 2764	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
42		2wlklem 29751	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
43	27, 41, 42	mpbir2an 712	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
44	14, 1	2wlkdlem2 30011	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1}
45	44	raleqi 3296	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
46	43, 45	mpbir 231	1 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442  {cpr 4584  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  2c2 12212  ℤcz 12500  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  ⟨“cs1 14531  ⟨“cs2 14776  ⟨“cs3 14777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506  df-s1 14532  df-s2 14783  df-s3 14784

This theorem is referenced by:  wlk2v2e  30244