Theorem wlk2v2elem2 30762

Description: Lemma 2 for wlk2v2e 30763: The values of 𝐼 after 𝐹 are edges between two vertices enumerated by 𝑃. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩

Assertion

Ref	Expression
wlk2v2elem2	⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem wlk2v2elem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk2v2e.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
2	1	fveq1i 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“00”⟩‘0)
3		0z 12707	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		s2fv0 15042	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘0) = 0)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“00”⟩‘0) = 0
6	2, 5	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘0) = 0
7	6	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘0)
8		wlk2v2e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
9	8	fveq1i 6886	. . . . 5 ⊢ (𝐼‘0) = (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0)
10		prex 5395	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
11		s1fv 14762	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌}
13	9, 12	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (𝐼‘0) = {𝑋, 𝑌}
14		wlk2v2e.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
15	14	fveq1i 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0)
16		wlk2v2e.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ V
17		s3fv0 15047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋
19	15, 18	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = 𝑋
20	14	fveq1i 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1)
21		wlk2v2e.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
22		s3fv1 15048	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌
24	20, 23	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = 𝑌
25	19, 24	preq12i 4695	. . . . 5 ⊢ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌}
26	25	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
27	7, 13, 26	3eqtri 2787	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
28	1	fveq1i 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘1) = (⟨“00”⟩‘1)
29		s2fv1 15043	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘1) = 0)
30	3, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“00”⟩‘1) = 0
31	28, 30	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘1) = 0
32	31	fveq2i 6888	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘1)) = (𝐼‘0)
33		prcom 4689	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
34	14	fveq1i 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃‘2) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2)
35		s3fv2 15049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋)
36	16, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋
37	34, 36	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘2) = 𝑋
38	24, 37	preq12i 4695	. . . . . 6 ⊢ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝑌, 𝑋}
39	38	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑌, 𝑋} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
40	33, 39	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
41	32, 13, 40	3eqtri 2787	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
42		2wlklem 30251	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
43	27, 41, 42	mpbir2an 724	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
44	14, 1	2wlkdlem2 30520	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1}
45	44	raleqi 3317	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
46	43, 45	mpbir 234	1 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450  {cpr 4586  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206  2c2 12400  ℤcz 12696  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  ⟨“cs1 14745  ⟨“cs2 14996  ⟨“cs3 14997

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003  df-s3 15004

This theorem is used by:  wlk2v2e  30763