Theorem wlk2v2elem2 30544

Description: Lemma 2 for wlk2v2e 30545: The values of 𝐼 after 𝐹 are edges between two vertices enumerated by 𝑃. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlk2v2e.i	⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f	⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x	⊢ 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y	⊢ 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩

Assertion

Ref	Expression
wlk2v2elem2	⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem wlk2v2elem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlk2v2e.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“00”⟩
2	1	fveq1i 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“00”⟩‘0)
3		0z 12620	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		s2fv0 14950	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘0) = 0)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“00”⟩‘0) = 0
6	2, 5	eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘0) = 0
7	6	fveq2i 6891	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘0)
8		wlk2v2e.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
9	8	fveq1i 6889	. . . . 5 ⊢ (𝐼‘0) = (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0)
10		prex 5414	. . . . . 6 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
11		s1fv 14670	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌})
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌}
13	9, 12	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (𝐼‘0) = {𝑋, 𝑌}
14		wlk2v2e.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
15	14	fveq1i 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0)
16		wlk2v2e.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ∈ V
17		s3fv0 14954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋
19	15, 18	eqtri 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘0) = 𝑋
20	14	fveq1i 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1)
21		wlk2v2e.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
22		s3fv1 14955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌
24	20, 23	eqtri 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘1) = 𝑌
25	19, 24	preq12i 4709	. . . . 5 ⊢ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌}
26	25	eqcomi 2775	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
27	7, 13, 26	3eqtri 2793	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
28	1	fveq1i 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘1) = (⟨“00”⟩‘1)
29		s2fv1 14951	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘1) = 0)
30	3, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (⟨“00”⟩‘1) = 0
31	28, 30	eqtri 2789	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘1) = 0
32	31	fveq2i 6891	. . . 4 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘1)) = (𝐼‘0)
33		prcom 4703	. . . . 5 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
34	14	fveq1i 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃‘2) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2)
35		s3fv2 14956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋)
36	16, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋
37	34, 36	eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘2) = 𝑋
38	24, 37	preq12i 4709	. . . . . 6 ⊢ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝑌, 𝑋}
39	38	eqcomi 2775	. . . . 5 ⊢ {𝑌, 𝑋} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
40	33, 39	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
41	32, 13, 40	3eqtri 2793	. . 3 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
42		2wlklem 30052	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
43	27, 41, 42	mpbir2an 724	. 2 ⊢ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
44	14, 1	2wlkdlem2 30312	. . 3 ⊢ (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1}
45	44	raleqi 3324	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
46	43, 45	mpbir 234	1 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  Vcvv 3458  {cpr 4596  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121  2c2 12313  ℤcz 12609  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  ⟨“cs1 14654  ⟨“cs2 14904  ⟨“cs3 14905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912

This theorem is used by:  wlk2v2e  30545