MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlk2v2elem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlk2v2elem2 27504
Description: Lemma 2 for wlk2v2e 27505: The values of 𝐼 after 𝐹 are edges between two vertices enumerated by 𝑃. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlk2v2e.i 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
wlk2v2e.f 𝐹 = ⟨“00”⟩
wlk2v2e.x 𝑋 ∈ V
wlk2v2e.y 𝑌 ∈ V
wlk2v2e.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
Assertion
Ref Expression
wlk2v2elem2 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem wlk2v2elem2
StepHypRef Expression
1 wlk2v2e.f . . . . . . 7 𝐹 = ⟨“00”⟩
21fveq1i 6416 . . . . . 6 (𝐹‘0) = (⟨“00”⟩‘0)
3 0z 11681 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
4 s2fv0 13976 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘0) = 0)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨“00”⟩‘0) = 0
62, 5eqtri 2825 . . . . 5 (𝐹‘0) = 0
76fveq2i 6418 . . . 4 (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘0)
8 wlk2v2e.i . . . . . 6 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
98fveq1i 6416 . . . . 5 (𝐼‘0) = (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0)
10 prex 5104 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} ∈ V
11 s1fv 13634 . . . . . 6 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌})
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌}
139, 12eqtri 2825 . . . 4 (𝐼‘0) = {𝑋, 𝑌}
14 wlk2v2e.p . . . . . . . 8 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
1514fveq1i 6416 . . . . . . 7 (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0)
16 wlk2v2e.x . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V
17 s3fv0 13980 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋
1915, 18eqtri 2825 . . . . . 6 (𝑃‘0) = 𝑋
2014fveq1i 6416 . . . . . . 7 (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1)
21 wlk2v2e.y . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
22 s3fv1 13981 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌
2420, 23eqtri 2825 . . . . . 6 (𝑃‘1) = 𝑌
2519, 24preq12i 4466 . . . . 5 {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌}
2625eqcomi 2812 . . . 4 {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
277, 13, 263eqtri 2829 . . 3 (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
281fveq1i 6416 . . . . . 6 (𝐹‘1) = (⟨“00”⟩‘1)
29 s2fv1 13977 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘1) = 0)
303, 29ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨“00”⟩‘1) = 0
3128, 30eqtri 2825 . . . . 5 (𝐹‘1) = 0
3231fveq2i 6418 . . . 4 (𝐼‘(𝐹‘1)) = (𝐼‘0)
33 prcom 4460 . . . . 5 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
3414fveq1i 6416 . . . . . . . 8 (𝑃‘2) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2)
35 s3fv2 13982 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋)
3616, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋
3734, 36eqtri 2825 . . . . . . 7 (𝑃‘2) = 𝑋
3824, 37preq12i 4466 . . . . . 6 {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝑌, 𝑋}
3938eqcomi 2812 . . . . 5 {𝑌, 𝑋} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
4033, 39eqtri 2825 . . . 4 {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
4132, 13, 403eqtri 2829 . . 3 (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
42 2wlklem 26920 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
4327, 41, 42mpbir2an 703 . 2 𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
44 s2cli 13969 . . . . . . 7 ⟨“00”⟩ ∈ Word V
451, 44eqeltri 2878 . . . . . 6 𝐹 ∈ Word V
46 wrddm 13545 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word V → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
4745, 46ax-mp 5 . . . . 5 dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹))
4847eqcomi 2812 . . . 4 (0..^(♯‘𝐹)) = dom 𝐹
491dmeqi 5532 . . . 4 dom 𝐹 = dom ⟨“00”⟩
50 s2dm 13979 . . . 4 dom ⟨“00”⟩ = {0, 1}
5148, 49, 503eqtri 2829 . . 3 (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1}
5251raleqi 3329 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
5343, 52mpbir 223 1 𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3093  Vcvv 3389  {cpr 4374  dom cdm 5316  cfv 6105  (class class class)co 6882  0cc0 10228  1c1 10229   + caddc 10231  2c2 11372  cz 11670  ..^cfzo 12724  chash 13374  Word cword 13538  ⟨“cs1 13619  ⟨“cs2 13930  ⟨“cs3 13931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2379  ax-ext 2781  ax-rep 4968  ax-sep 4979  ax-nul 4987  ax-pow 5039  ax-pr 5101  ax-un 7187  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2593  df-eu 2611  df-clab 2790  df-cleq 2796  df-clel 2799  df-nfc 2934  df-ne 2976  df-nel 3079  df-ral 3098  df-rex 3099  df-reu 3100  df-rab 3102  df-v 3391  df-sbc 3638  df-csb 3733  df-dif 3776  df-un 3778  df-in 3780  df-ss 3787  df-pss 3789  df-nul 4120  df-if 4282  df-pw 4355  df-sn 4373  df-pr 4375  df-tp 4377  df-op 4379  df-uni 4633  df-int 4672  df-iun 4716  df-br 4848  df-opab 4910  df-mpt 4927  df-tr 4950  df-id 5224  df-eprel 5229  df-po 5237  df-so 5238  df-fr 5275  df-we 5277  df-xp 5322  df-rel 5323  df-cnv 5324  df-co 5325  df-dm 5326  df-rn 5327  df-res 5328  df-ima 5329  df-pred 5902  df-ord 5948  df-on 5949  df-lim 5950  df-suc 5951  df-iota 6068  df-fun 6107  df-fn 6108  df-f 6109  df-f1 6110  df-fo 6111  df-f1o 6112  df-fv 6113  df-riota 6843  df-ov 6885  df-oprab 6886  df-mpt2 6887  df-om 7304  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-card 9055  df-pnf 10369  df-mnf 10370  df-xr 10371  df-ltxr 10372  df-le 10373  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11317  df-2 11380  df-n0 11585  df-z 11671  df-uz 11935  df-fz 12585  df-fzo 12725  df-hash 13375  df-word 13539  df-concat 13595  df-s1 13620  df-s2 13937  df-s3 13938
This theorem is referenced by:  wlk2v2e  27505
  Copyright terms: Public domain W3C validator