Theorem eqs1 14660

Description: A word of length 1 is a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
eqs1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem eqs1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (♯‘𝑊) = 1)
2		s1len 14654	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
3	1, 2	eqtr4di 2798	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩))
4		fvex 6933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊‘0) ∈ V
5		s1fv 14658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0)
7	6	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)
8		c0ex 11284	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
9		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘0))
10		fveq2 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
11	9, 10	eqeq12d 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)))
12	8, 11	ralsn 4705	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
13	7, 12	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)
14		oveq2 7456	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^1))
15		fzo01 13798	. . . . . . 7 ⊢ (0..^1) = {0}
16	14, 15	eqtrdi 2796	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0})
17	16	raleqdv 3334	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
18	13, 17	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
19	3, 18	jca 511	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
20		s1cli 14653	. . . 4 ⊢ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V
21		eqwrd 14605	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
22	20, 21	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
23	19, 22	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) = 1 → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩))
24	23	imp 406	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562  ⟨“cs1 14643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-s1 14644

This theorem is referenced by:  wrdl1exs1  14661  wrdl1s1  14662  swrds1  14714  revs1  14813  signsvtn0  34547