MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqs1 14620
Description: A word of length 1 is a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
eqs1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem eqs1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 1 → (♯‘𝑊) = 1)
2 s1len 14614 . . . . 5 (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
31, 2eqtr4di 2784 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 1 → (♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩))
4 fvex 6914 . . . . . . . 8 (𝑊‘0) ∈ V
5 s1fv 14618 . . . . . . . 8 ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0)
76eqcomi 2735 . . . . . 6 (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)
8 c0ex 11258 . . . . . . 7 0 ∈ V
9 fveq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑊𝑥) = (𝑊‘0))
10 fveq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
119, 10eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)))
128, 11ralsn 4690 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ {0} (𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
137, 12mpbir 230 . . . . 5 𝑥 ∈ {0} (𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)
14 oveq2 7432 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^1))
15 fzo01 13768 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
1614, 15eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0})
1716raleqdv 3315 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
1813, 17mpbiri 257 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 1 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
193, 18jca 510 . . 3 ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
20 s1cli 14613 . . . 4 ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V
21 eqwrd 14565 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
2220, 21mpan2 689 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
2319, 22imbitrrid 245 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) = 1 → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩))
2423imp 405 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  Vcvv 3462  {csn 4633  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159  ..^cfzo 13681  chash 14347  Word cword 14522  ⟨“cs1 14603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-s1 14604
This theorem is referenced by:  wrdl1exs1  14621  wrdl1s1  14622  swrds1  14674  revs1  14773  signsvtn0  34416
  Copyright terms: Public domain W3C validator