Theorem eqs1 14791

Description: A word of length 1 is a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
eqs1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem eqs1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (♯‘𝑊) = 1)
2		s1len 14783	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
3	1, 2	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩))
4		fvex 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊‘0) ∈ V
5		s1fv 14789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0)
7	6	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)
8		c0ex 11330	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
9		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘0))
10		fveq2 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
11	9, 10	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)))
12	8, 11	ralsn 4642	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
13	7, 12	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)
14		oveq2 7454	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^1))
15		fzo01 13912	. . . . . . 7 ⊢ (0..^1) = {0}
16	14, 15	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0})
17	16	raleqdv 3323	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
18	13, 17	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
19	3, 18	jca 521	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
20		s1cli 14782	. . . 4 ⊢ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V
21		eqwrd 14732	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
22	20, 21	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
23	19, 22	imbitrrid 249	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) = 1 → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩))
24	23	imp 412	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454  {csn 4588  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  Word cword 14688  ⟨“cs1 14772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-hash 14505  df-word 14689  df-s1 14773

This theorem is used by:  wrdl1exs1  14792  wrdl1s1  14793  swrds1  14847  revs1  14945  signsvtn0  35282