MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqs1 14507
Description: A word of length 1 is a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
eqs1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem eqs1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 1 → (♯‘𝑊) = 1)
2 s1len 14501 . . . . 5 (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
31, 2eqtr4di 2795 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 1 → (♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩))
4 fvex 6860 . . . . . . . 8 (𝑊‘0) ∈ V
5 s1fv 14505 . . . . . . . 8 ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . 7 (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0)
76eqcomi 2746 . . . . . 6 (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)
8 c0ex 11156 . . . . . . 7 0 ∈ V
9 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑊𝑥) = (𝑊‘0))
10 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
119, 10eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)))
128, 11ralsn 4647 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ {0} (𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
137, 12mpbir 230 . . . . 5 𝑥 ∈ {0} (𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)
14 oveq2 7370 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^1))
15 fzo01 13661 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
1614, 15eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0})
1716raleqdv 3316 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
1813, 17mpbiri 258 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 1 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
193, 18jca 513 . . 3 ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
20 s1cli 14500 . . . 4 ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V
21 eqwrd 14452 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
2220, 21mpan2 690 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
2319, 22syl5ibr 246 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) = 1 → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩))
2423imp 408 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  Vcvv 3448  {csn 4591  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059  ..^cfzo 13574  chash 14237  Word cword 14409  ⟨“cs1 14490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-s1 14491
This theorem is referenced by:  wrdl1exs1  14508  wrdl1s1  14509  swrds1  14561  revs1  14660  signsvtn0  33222
  Copyright terms: Public domain W3C validator