Theorem eqs1 14650

Description: A word of length 1 is a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
eqs1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem eqs1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (♯‘𝑊) = 1)
2		s1len 14644	. . . . 5 ⊢ (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
3	1, 2	eqtr4di 2795	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩))
4		fvex 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊‘0) ∈ V
5		s1fv 14648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0)
7	6	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)
8		c0ex 11255	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
9		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘0))
10		fveq2 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
11	9, 10	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)))
12	8, 11	ralsn 4681	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
13	7, 12	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)
14		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^1))
15		fzo01 13786	. . . . . . 7 ⊢ (0..^1) = {0}
16	14, 15	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0})
17	16	raleqdv 3326	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
18	13, 17	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
19	3, 18	jca 511	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
20		s1cli 14643	. . . 4 ⊢ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V
21		eqwrd 14595	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word V) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
22	20, 21	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
23	19, 22	imbitrrid 246	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((♯‘𝑊) = 1 → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩))
24	23	imp 406	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  Vcvv 3480  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  ..^cfzo 13694  ♯chash 14369  Word cword 14552  ⟨“cs1 14633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-s1 14634

This theorem is referenced by:  wrdl1exs1  14651  wrdl1s1  14652  swrds1  14704  revs1  14803  signsvtn0  34585