Theorem eqs1 13773

Description: A word of length 1 is a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
eqs1	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Proof of Theorem eqs1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = 1)
2		s1len 13767	. . 3 ⊢ (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) = 1
3	1, 2	syl6eqr 2825	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩))
4		fvex 6509	. . . . 5 ⊢ (𝑊‘0) ∈ V
5		s1fv 13771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0) = (𝑊‘0))
6	5	eqcomd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑊‘0) ∈ V → (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
7	4, 6	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
8		c0ex 10431	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
9		fveq2 6496	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑊‘𝑥) = (𝑊‘0))
10		fveq2 6496	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
11	9, 10	eqeq12d 2786	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0)))
12	8, 11	ralsn 4489	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ (𝑊‘0) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘0))
13	7, 12	sylibr 226	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
14		oveq2 6982	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^1))
15	14	adantl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^1))
16		fzo01 12932	. . . . 5 ⊢ (0..^1) = {0}
17	15, 16	syl6eq 2823	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (0..^(♯‘𝑊)) = {0})
18	17	raleqdv 3348	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥)))
19	13, 18	mpbird 249	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))
20		1nn 11450	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
21		fstwrdne0 13717	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1)) → (𝑊‘0) ∈ 𝐴)
22	20, 21	mpan 678	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊‘0) ∈ 𝐴)
23	22	s1cld 13764	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝐴)
24		eqwrd 13718	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ∈ Word 𝐴) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
25	23, 24	syldan 583	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → (𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩ ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘⟨“(𝑊‘0)”⟩) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘𝑥) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩‘𝑥))))
26	3, 19, 25	mpbir2and 701	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘𝑊) = 1) → 𝑊 = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  ∀wral 3081  Vcvv 3408  {csn 4435  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  0cc0 10333  1c1 10334  ℕcn 11437  ..^cfzo 12847  ♯chash 13503  Word cword 13670  ⟨“cs1 13756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-hash 13504  df-word 13671  df-s1 13757

This theorem is referenced by:  wrdl1exs1  13774  wrdl1s1  13775  swrds1  13842  revs1  13982  signsvtn0  31518  signsvtn0OLD  31519