MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setind2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setind2 8971
Description: Set (epsilon) induction, stated compactly. Given as a homework problem in 1992 by George Boolos (1940-1996). (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
setind2 (𝒫 𝐴𝐴𝐴 = V)

Proof of Theorem setind2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwss 4439 . 2 (𝒫 𝐴𝐴 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴))
2 setind 8970 . 2 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 = V)
31, 2sylbi 209 1 (𝒫 𝐴𝐴𝐴 = V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wal 1505   = wceq 1507  wcel 2050  Vcvv 3415  wss 3829  𝒫 cpw 4422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-reg 8851  ax-inf2 8898
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator