Theorem setind 9772

Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21. (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
setind	⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem setind

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssindif0 4470	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
2		sseq1 4021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
3		eleq1w 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
4	2, 3	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
5	4	spvv 1994	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
6	1, 5	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → 𝑦 ∈ 𝐴))
7		eldifn 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
8	6, 7	nsyli 157	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅))
9	8	imp 406	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
10	9	nrexdv 3147	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
11		zfregs 9770	. . . 4 ⊢ ((V ∖ 𝐴) ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
12	11	necon1bi 2967	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → (V ∖ 𝐴) = ∅)
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → (V ∖ 𝐴) = ∅)
14		vdif0 4475	. 2 ⊢ (𝐴 = V ↔ (V ∖ 𝐴) = ∅)
15	13, 14	sylibr 234	1 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449

This theorem is referenced by:  setind2  9773  tz9.13  9829  unir1  9851  setinds  35760  vsetrec  48934