Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setind 9164
 Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21. (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
setind (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 = V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem setind
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssindif0 4374 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
2 sseq1 3943 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
3 eleq1w 2875 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
42, 3imbi12d 348 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝑥𝐴) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐴)))
54spvv 2003 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → (𝑦𝐴𝑦𝐴))
61, 5syl5bir 246 . . . . . 6 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → ((𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → 𝑦𝐴))
7 eldifn 4058 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦𝐴)
86, 7nsyli 160 . . . . 5 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅))
98imp 410 . . . 4 ((∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
109nrexdv 3232 . . 3 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → ¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
11 zfregs 9162 . . . 4 ((V ∖ 𝐴) ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
1211necon1bi 3018 . . 3 (¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → (V ∖ 𝐴) = ∅)
1310, 12syl 17 . 2 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → (V ∖ 𝐴) = ∅)
14 vdif0 4379 . 2 (𝐴 = V ↔ (V ∖ 𝐴) = ∅)
1513, 14sylibr 237 1 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 = V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ∖ cdif 3881   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-reg 9044  ax-inf2 9092 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033 This theorem is referenced by:  setind2  9165  tz9.13  9208  unir1  9230  setinds  33131  vsetrec  45219
 Copyright terms: Public domain W3C validator