MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setind 9675
Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21. (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
setind (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 = V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem setind
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssindif0 4424 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
2 sseq1 3970 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
3 eleq1w 2817 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
42, 3imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝑥𝐴) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐴)))
54spvv 2001 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → (𝑦𝐴𝑦𝐴))
61, 5biimtrrid 242 . . . . . 6 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → ((𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → 𝑦𝐴))
7 eldifn 4088 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦𝐴)
86, 7nsyli 157 . . . . 5 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅))
98imp 408 . . . 4 ((∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
109nrexdv 3143 . . 3 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → ¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
11 zfregs 9673 . . . 4 ((V ∖ 𝐴) ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
1211necon1bi 2969 . . 3 (¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → (V ∖ 𝐴) = ∅)
1310, 12syl 17 . 2 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → (V ∖ 𝐴) = ∅)
14 vdif0 4429 . 2 (𝐴 = V ↔ (V ∖ 𝐴) = ∅)
1513, 14sylibr 233 1 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 = V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  Vcvv 3444  cdif 3908  cin 3910  wss 3911  c0 4283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-reg 9533  ax-inf2 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357
This theorem is referenced by:  setind2  9676  tz9.13  9732  unir1  9754  setinds  34409  vsetrec  47234
  Copyright terms: Public domain W3C validator