MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setind 9743
Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21. (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
setind (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 = V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem setind
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssindif0 4459 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
2 sseq1 4003 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
3 eleq1w 2811 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
42, 3imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝑥𝐴) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐴)))
54spvv 1993 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → (𝑦𝐴𝑦𝐴))
61, 5biimtrrid 242 . . . . . 6 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → ((𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → 𝑦𝐴))
7 eldifn 4123 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦𝐴)
86, 7nsyli 157 . . . . 5 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅))
98imp 406 . . . 4 ((∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
109nrexdv 3144 . . 3 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → ¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
11 zfregs 9741 . . . 4 ((V ∖ 𝐴) ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
1211necon1bi 2964 . . 3 (¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → (V ∖ 𝐴) = ∅)
1310, 12syl 17 . 2 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → (V ∖ 𝐴) = ∅)
14 vdif0 4464 . 2 (𝐴 = V ↔ (V ∖ 𝐴) = ∅)
1513, 14sylibr 233 1 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 = V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wal 1532   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3065  Vcvv 3469  cdif 3941  cin 3943  wss 3944  c0 4318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-reg 9601  ax-inf2 9650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422
This theorem is referenced by:  setind2  9744  tz9.13  9800  unir1  9822  setinds  35297  vsetrec  48047
  Copyright terms: Public domain W3C validator