Theorem setind 9649

Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21. (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
setind	⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem setind

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssindif0 4417	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
2		sseq1 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
3		eleq1w 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
4	2, 3	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
5	4	spvv 1988	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
6	1, 5	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → 𝑦 ∈ 𝐴))
7		eldifn 4085	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
8	6, 7	nsyli 157	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅))
9	8	imp 406	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
10	9	nrexdv 3124	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
11		zfregs 9647	. . . 4 ⊢ ((V ∖ 𝐴) ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
12	11	necon1bi 2953	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → (V ∖ 𝐴) = ∅)
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → (V ∖ 𝐴) = ∅)
14		vdif0 4422	. 2 ⊢ (𝐴 = V ↔ (V ∖ 𝐴) = ∅)
15	13, 14	sylibr 234	1 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-reg 9503  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339

This theorem is referenced by:  setind2  9650  tz9.13  9706  unir1  9728  setinds  35751  vsetrec  49689