Theorem chintcli 29594

Description: The intersection of a nonempty set of closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chintcl.1	⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
chintcli	⊢ ∩ 𝐴 ∈ Cℋ

Proof of Theorem chintcli

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chintcl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)
2	1	simpli 483	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ Cℋ
3		chsssh 29488	. . . . 5 ⊢ Cℋ ⊆ Sℋ
4	2, 3	sstri 3926	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ Sℋ
5	1	simpri 485	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
6	4, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)
7	6	shintcli 29592	. 2 ⊢ ∩ 𝐴 ∈ Sℋ
8	2	sseli 3913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ Cℋ )
9		vex 3426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9	chlimi 29497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑦 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑦)
11	10	3exp 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
12	11	com3r 87	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
13	8, 12	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
14	13	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
15	14	ralimdva 3102	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦))
16	5	fint 6637	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦)
17	9	elint2 4883	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦)
18	15, 16, 17	3imtr4g 295	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
19	18	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
20	19	gen2 1800	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
21		isch2 29486	. 2 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ Cℋ ↔ (∩ 𝐴 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)))
22	7, 20, 21	mpbir2an 707	1 ⊢ ∩ 𝐴 ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  ∩ cint 4876   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ℕcn 11903   ⇝_𝑣 chli 29190   S_ℋ csh 29191   C_ℋ cch 29192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-1cn 10860  ax-addcl 10862  ax-hilex 29262  ax-hfvadd 29263  ax-hv0cl 29266  ax-hfvmul 29268

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-map 8575  df-nn 11904  df-sh 29470  df-ch 29484

This theorem is referenced by:  chintcl  29595  chincli  29723