HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chintcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chintcli 31169
Description: The intersection of a nonempty set of closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chintcl.1 (𝐴C𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
chintcli 𝐴C

Proof of Theorem chintcli
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chintcl.1 . . . . . 6 (𝐴C𝐴 ≠ ∅)
21simpli 482 . . . . 5 𝐴C
3 chsssh 31063 . . . . 5 CS
42, 3sstri 3991 . . . 4 𝐴S
51simpri 484 . . . 4 𝐴 ≠ ∅
64, 5pm3.2i 469 . . 3 (𝐴S𝐴 ≠ ∅)
76shintcli 31167 . 2 𝐴S
82sseli 3978 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴𝑦C )
9 vex 3477 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
109chlimi 31072 . . . . . . . . . 10 ((𝑦C𝑓:ℕ⟶𝑦𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝑦)
11103exp 1116 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝑦)))
1211com3r 87 . . . . . . . 8 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑦C → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦)))
138, 12syl5 34 . . . . . . 7 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑦𝐴 → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦)))
1413imp 405 . . . . . 6 ((𝑓𝑣 𝑥𝑦𝐴) → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦))
1514ralimdva 3164 . . . . 5 (𝑓𝑣 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
165fint 6781 . . . . 5 (𝑓:ℕ⟶ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦)
179elint2 4960 . . . . 5 (𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
1815, 16, 173imtr4g 295 . . . 4 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑥 𝐴))
1918impcom 406 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)
2019gen2 1790 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)
21 isch2 31061 . 2 ( 𝐴C ↔ ( 𝐴S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)))
227, 20, 21mpbir2an 709 1 𝐴C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wal 1531  wcel 2098  wne 2937  wral 3058  wss 3949  c0 4326   cint 4953   class class class wbr 5152  wf 6549  cn 12252  𝑣 chli 30765   S csh 30766   C cch 30767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-1cn 11206  ax-addcl 11208  ax-hilex 30837  ax-hfvadd 30838  ax-hv0cl 30841  ax-hfvmul 30843
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-map 8855  df-nn 12253  df-sh 31045  df-ch 31059
This theorem is referenced by:  chintcl  31170  chincli  31298
  Copyright terms: Public domain W3C validator