HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chintcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chintcli 29441
Description: The intersection of a nonempty set of closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chintcl.1 (𝐴C𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
chintcli 𝐴C

Proof of Theorem chintcli
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chintcl.1 . . . . . 6 (𝐴C𝐴 ≠ ∅)
21simpli 487 . . . . 5 𝐴C
3 chsssh 29335 . . . . 5 CS
42, 3sstri 3926 . . . 4 𝐴S
51simpri 489 . . . 4 𝐴 ≠ ∅
64, 5pm3.2i 474 . . 3 (𝐴S𝐴 ≠ ∅)
76shintcli 29439 . 2 𝐴S
82sseli 3912 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴𝑦C )
9 vex 3426 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
109chlimi 29344 . . . . . . . . . 10 ((𝑦C𝑓:ℕ⟶𝑦𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝑦)
11103exp 1121 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝑦)))
1211com3r 87 . . . . . . . 8 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑦C → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦)))
138, 12syl5 34 . . . . . . 7 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑦𝐴 → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦)))
1413imp 410 . . . . . 6 ((𝑓𝑣 𝑥𝑦𝐴) → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦))
1514ralimdva 3102 . . . . 5 (𝑓𝑣 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
165fint 6619 . . . . 5 (𝑓:ℕ⟶ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦)
179elint2 4882 . . . . 5 (𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
1815, 16, 173imtr4g 299 . . . 4 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑥 𝐴))
1918impcom 411 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)
2019gen2 1804 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)
21 isch2 29333 . 2 ( 𝐴C ↔ ( 𝐴S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)))
227, 20, 21mpbir2an 711 1 𝐴C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wal 1541  wcel 2112  wne 2942  wral 3063  wss 3882  c0 4253   cint 4875   class class class wbr 5069  wf 6396  cn 11857  𝑣 chli 29037   S csh 29038   C cch 29039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10812  ax-1cn 10814  ax-addcl 10816  ax-hilex 29109  ax-hfvadd 29110  ax-hv0cl 29113  ax-hfvmul 29115
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3711  df-csb 3828  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-int 4876  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-map 8533  df-nn 11858  df-sh 29317  df-ch 29331
This theorem is referenced by:  chintcl  29442  chincli  29570
  Copyright terms: Public domain W3C validator