HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chintcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chintcli 28715
Description: The intersection of a nonempty set of closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chintcl.1 (𝐴C𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
chintcli 𝐴C

Proof of Theorem chintcli
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chintcl.1 . . . . . 6 (𝐴C𝐴 ≠ ∅)
21simpli 477 . . . . 5 𝐴C
3 chsssh 28607 . . . . 5 CS
42, 3sstri 3807 . . . 4 𝐴S
51simpri 480 . . . 4 𝐴 ≠ ∅
64, 5pm3.2i 463 . . 3 (𝐴S𝐴 ≠ ∅)
76shintcli 28713 . 2 𝐴S
82sseli 3794 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴𝑦C )
9 vex 3388 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
109chlimi 28616 . . . . . . . . . 10 ((𝑦C𝑓:ℕ⟶𝑦𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝑦)
11103exp 1149 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝑦)))
1211com3r 87 . . . . . . . 8 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑦C → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦)))
138, 12syl5 34 . . . . . . 7 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑦𝐴 → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦)))
1413imp 396 . . . . . 6 ((𝑓𝑣 𝑥𝑦𝐴) → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦))
1514ralimdva 3143 . . . . 5 (𝑓𝑣 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
165fint 6299 . . . . 5 (𝑓:ℕ⟶ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦)
179elint2 4674 . . . . 5 (𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
1815, 16, 173imtr4g 288 . . . 4 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑥 𝐴))
1918impcom 397 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)
2019gen2 1892 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)
21 isch2 28605 . 2 ( 𝐴C ↔ ( 𝐴S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)))
227, 20, 21mpbir2an 703 1 𝐴C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  wal 1651  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wss 3769  c0 4115   cint 4667   class class class wbr 4843  wf 6097  cn 11312  𝑣 chli 28309   S csh 28310   C cch 28311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-1cn 10282  ax-addcl 10284  ax-hilex 28381  ax-hfvadd 28382  ax-hv0cl 28385  ax-hfvmul 28387
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-map 8097  df-nn 11313  df-sh 28589  df-ch 28603
This theorem is referenced by:  chintcl  28716  chincli  28844
  Copyright terms: Public domain W3C validator