Theorem chintcli 31963

Description: The intersection of a nonempty set of closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chintcl.1	⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
chintcli	⊢ ∩ 𝐴 ∈ Cℋ

Proof of Theorem chintcli

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chintcl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)
2	1	simpli 489	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ Cℋ
3		chsssh 31857	. . . . 5 ⊢ Cℋ ⊆ Sℋ
4	2, 3	sstri 3922	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ Sℋ
5	1	simpri 491	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
6	4, 5	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)
7	6	shintcli 31961	. 2 ⊢ ∩ 𝐴 ∈ Sℋ
8	2	sseli 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ Cℋ )
9		vex 3458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9	chlimi 31866	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑦 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑦)
11	10	3exp 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
12	11	com3r 88	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
13	8, 12	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
14	13	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
15	14	ralimdva 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦))
16	5	fint 6783	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦)
17	9	elint2 4917	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦)
18	15, 16, 17	3imtr4g 299	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
19	18	impcom 413	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
20	19	gen2 1829	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
21		isch2 31855	. 2 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ Cℋ ↔ (∩ 𝐴 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)))
22	7, 20, 21	mpbir2an 724	1 ⊢ ∩ 𝐴 ∈ Cℋ

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ∀wal 1568   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ∩ cint 4910   class class class wbr 5106  ⟶wf 6554  ℕcn 12362   ⇝_𝑣 chli 31559   S_ℋ csh 31560   C_ℋ cch 31561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-1cn 11285  ax-addcl 11287  ax-hilex 31631  ax-hfvadd 31632  ax-hv0cl 31635  ax-hfvmul 31637

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-map 8877  df-nn 12363  df-sh 31839  df-ch 31853

This theorem is used by:  chintcl  31964  chincli  32092