Theorem chintcli 31093

Description: The intersection of a nonempty set of closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chintcl.1	⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
chintcli	⊢ ∩ 𝐴 ∈ Cℋ

Proof of Theorem chintcli

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chintcl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)
2	1	simpli 483	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ Cℋ
3		chsssh 30987	. . . . 5 ⊢ Cℋ ⊆ Sℋ
4	2, 3	sstri 3986	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ Sℋ
5	1	simpri 485	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
6	4, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)
7	6	shintcli 31091	. 2 ⊢ ∩ 𝐴 ∈ Sℋ
8	2	sseli 3973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ Cℋ )
9		vex 3472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9	chlimi 30996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑦 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑦)
11	10	3exp 1116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
12	11	com3r 87	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
13	8, 12	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
14	13	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
15	14	ralimdva 3161	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦))
16	5	fint 6764	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦)
17	9	elint2 4950	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦)
18	15, 16, 17	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
19	18	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
20	19	gen2 1790	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
21		isch2 30985	. 2 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ Cℋ ↔ (∩ 𝐴 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)))
22	7, 20, 21	mpbir2an 708	1 ⊢ ∩ 𝐴 ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1531   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∀wral 3055   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  ∩ cint 4943   class class class wbr 5141  ⟶wf 6533  ℕcn 12216   ⇝_𝑣 chli 30689   S_ℋ csh 30690   C_ℋ cch 30691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hv0cl 30765  ax-hfvmul 30767

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-map 8824  df-nn 12217  df-sh 30969  df-ch 30983

This theorem is referenced by:  chintcl  31094  chincli  31222