HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chintcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chintcli 31365
Description: The intersection of a nonempty set of closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chintcl.1 (𝐴C𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
chintcli 𝐴C

Proof of Theorem chintcli
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chintcl.1 . . . . . 6 (𝐴C𝐴 ≠ ∅)
21simpli 483 . . . . 5 𝐴C
3 chsssh 31259 . . . . 5 CS
42, 3sstri 4018 . . . 4 𝐴S
51simpri 485 . . . 4 𝐴 ≠ ∅
64, 5pm3.2i 470 . . 3 (𝐴S𝐴 ≠ ∅)
76shintcli 31363 . 2 𝐴S
82sseli 4004 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴𝑦C )
9 vex 3492 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
109chlimi 31268 . . . . . . . . . 10 ((𝑦C𝑓:ℕ⟶𝑦𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝑦)
11103exp 1119 . . . . . . . . 9 (𝑦C → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → (𝑓𝑣 𝑥𝑥𝑦)))
1211com3r 87 . . . . . . . 8 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑦C → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦)))
138, 12syl5 34 . . . . . . 7 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑦𝐴 → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦)))
1413imp 406 . . . . . 6 ((𝑓𝑣 𝑥𝑦𝐴) → (𝑓:ℕ⟶𝑦𝑥𝑦))
1514ralimdva 3173 . . . . 5 (𝑓𝑣 𝑥 → (∀𝑦𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦 → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
165fint 6802 . . . . 5 (𝑓:ℕ⟶ 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦)
179elint2 4977 . . . . 5 (𝑥 𝐴 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦)
1815, 16, 173imtr4g 296 . . . 4 (𝑓𝑣 𝑥 → (𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑥 𝐴))
1918impcom 407 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)
2019gen2 1794 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)
21 isch2 31257 . 2 ( 𝐴C ↔ ( 𝐴S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ 𝐴𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 𝐴)))
227, 20, 21mpbir2an 710 1 𝐴C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wal 1535  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  wss 3976  c0 4352   cint 4970   class class class wbr 5166  wf 6571  cn 12295  𝑣 chli 30961   S csh 30962   C cch 30963
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-1cn 11244  ax-addcl 11246  ax-hilex 31033  ax-hfvadd 31034  ax-hv0cl 31037  ax-hfvmul 31039
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-map 8888  df-nn 12296  df-sh 31241  df-ch 31255
This theorem is referenced by:  chintcl  31366  chincli  31494
  Copyright terms: Public domain W3C validator