Theorem chintcli 31376

Description: The intersection of a nonempty set of closed subspaces is a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
chintcl.1	⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
chintcli	⊢ ∩ 𝐴 ∈ Cℋ

Proof of Theorem chintcli

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chintcl.1	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)
2	1	simpli 483	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ Cℋ
3		chsssh 31270	. . . . 5 ⊢ Cℋ ⊆ Sℋ
4	2, 3	sstri 4008	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ Sℋ
5	1	simpri 485	. . . 4 ⊢ 𝐴 ≠ ∅
6	4, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅)
7	6	shintcli 31374	. 2 ⊢ ∩ 𝐴 ∈ Sℋ
8	2	sseli 3994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ Cℋ )
9		vex 3485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9	chlimi 31279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Cℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶𝑦 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑦)
11	10	3exp 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
12	11	com3r 87	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑦 ∈ Cℋ → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
13	8, 12	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦)))
14	13	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ⇝𝑣 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑓:ℕ⟶𝑦 → 𝑥 ∈ 𝑦))
15	14	ralimdva 3167	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦))
16	5	fint 6795	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑓:ℕ⟶𝑦)
17	9	elint2 4961	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑦)
18	15, 16, 17	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ (𝑓 ⇝𝑣 𝑥 → (𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴))
19	18	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
20	19	gen2 1795	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)
21		isch2 31268	. 2 ⊢ (∩ 𝐴 ∈ Cℋ ↔ (∩ 𝐴 ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶∩ 𝐴 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ∩ 𝐴)))
22	7, 20, 21	mpbir2an 711	1 ⊢ ∩ 𝐴 ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061   ⊆ wss 3966  ∅c0 4342  ∩ cint 4954   class class class wbr 5151  ⟶wf 6565  ℕcn 12273   ⇝_𝑣 chli 30972   S_ℋ csh 30973   C_ℋ cch 30974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-1cn 11220  ax-addcl 11222  ax-hilex 31044  ax-hfvadd 31045  ax-hv0cl 31048  ax-hfvmul 31050

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-map 8876  df-nn 12274  df-sh 31252  df-ch 31266

This theorem is referenced by:  chintcl  31377  chincli  31505