Theorem shintcl 31160

Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shintcl	⊢ ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem shintcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inteq 4956	. . 3 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ∩ 𝐴 = ∩ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ))
2	1	eleq1d 2814	. 2 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (∩ 𝐴 ∈ Sℋ ↔ ∩ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ∈ Sℋ ))
3		sseq1 4007	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (𝐴 ⊆ Sℋ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ))
4		neeq1 3000	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅))
5	3, 4	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅)))
6		sseq1 4007	. . . . 5 ⊢ ( Sℋ = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ( Sℋ ⊆ Sℋ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ))
7		neeq1 3000	. . . . 5 ⊢ ( Sℋ = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ( Sℋ ≠ ∅ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅))
8	6, 7	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ ( Sℋ = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (( Sℋ ⊆ Sℋ ∧ Sℋ ≠ ∅) ↔ (if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅)))
9		ssid 4004	. . . . 5 ⊢ Sℋ ⊆ Sℋ
10		h0elsh 31086	. . . . . 6 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
11	10	ne0ii 4341	. . . . 5 ⊢ Sℋ ≠ ∅
12	9, 11	pm3.2i 469	. . . 4 ⊢ ( Sℋ ⊆ Sℋ ∧ Sℋ ≠ ∅)
13	5, 8, 12	elimhyp 4597	. . 3 ⊢ (if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅)
14	13	shintcli 31159	. 2 ⊢ ∩ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ∈ Sℋ
15	2, 14	dedth 4590	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  ifcif 4532  ∩ cint 4953   S_ℋ csh 30758  0_ℋc0h 30765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hvcom 30831  ax-hvass 30832  ax-hv0cl 30833  ax-hvaddid 30834  ax-hfvmul 30835  ax-hvmulid 30836  ax-hvmulass 30837  ax-hvdistr1 30838  ax-hvdistr2 30839  ax-hvmul0 30840  ax-hfi 30909  ax-his1 30912  ax-his2 30913  ax-his3 30914  ax-his4 30915

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13371  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-lm 23153  df-haus 23239  df-grpo 30323  df-gid 30324  df-ginv 30325  df-gdiv 30326  df-ablo 30375  df-vc 30389  df-nv 30422  df-va 30425  df-ba 30426  df-sm 30427  df-0v 30428  df-vs 30429  df-nmcv 30430  df-ims 30431  df-hnorm 30798  df-hvsub 30801  df-hlim 30802  df-sh 31037  df-ch 31051  df-ch0 31083

This theorem is referenced by:  spancl  31166  shsval2i  31217