Theorem shintcl 29671

Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shintcl	⊢ ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem shintcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inteq 4887	. . 3 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ∩ 𝐴 = ∩ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ))
2	1	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (∩ 𝐴 ∈ Sℋ ↔ ∩ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ∈ Sℋ ))
3		sseq1 3950	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (𝐴 ⊆ Sℋ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ))
4		neeq1 3007	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅))
5	3, 4	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅)))
6		sseq1 3950	. . . . 5 ⊢ ( Sℋ = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ( Sℋ ⊆ Sℋ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ))
7		neeq1 3007	. . . . 5 ⊢ ( Sℋ = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ( Sℋ ≠ ∅ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅))
8	6, 7	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ ( Sℋ = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (( Sℋ ⊆ Sℋ ∧ Sℋ ≠ ∅) ↔ (if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅)))
9		ssid 3947	. . . . 5 ⊢ Sℋ ⊆ Sℋ
10		h0elsh 29597	. . . . . 6 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
11	10	ne0ii 4276	. . . . 5 ⊢ Sℋ ≠ ∅
12	9, 11	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ( Sℋ ⊆ Sℋ ∧ Sℋ ≠ ∅)
13	5, 8, 12	elimhyp 4529	. . 3 ⊢ (if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅)
14	13	shintcli 29670	. 2 ⊢ ∩ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ∈ Sℋ
15	2, 14	dedth 4522	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944   ⊆ wss 3891  ∅c0 4261  ifcif 4464  ∩ cint 4884   S_ℋ csh 29269  0_ℋc0h 29276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-addf 10934  ax-mulf 10935  ax-hilex 29340  ax-hfvadd 29341  ax-hvcom 29342  ax-hvass 29343  ax-hv0cl 29344  ax-hvaddid 29345  ax-hfvmul 29346  ax-hvmulid 29347  ax-hvmulass 29348  ax-hvdistr1 29349  ax-hvdistr2 29350  ax-hvmul0 29351  ax-hfi 29420  ax-his1 29423  ax-his2 29424  ax-his3 29425  ax-his4 29426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xneg 12830  df-xadd 12831  df-xmul 12832  df-icc 13068  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-topgen 17135  df-psmet 20570  df-xmet 20571  df-met 20572  df-bl 20573  df-mopn 20574  df-top 22024  df-topon 22041  df-bases 22077  df-lm 22361  df-haus 22447  df-grpo 28834  df-gid 28835  df-ginv 28836  df-gdiv 28837  df-ablo 28886  df-vc 28900  df-nv 28933  df-va 28936  df-ba 28937  df-sm 28938  df-0v 28939  df-vs 28940  df-nmcv 28941  df-ims 28942  df-hnorm 29309  df-hvsub 29312  df-hlim 29313  df-sh 29548  df-ch 29562  df-ch0 29594

This theorem is referenced by:  spancl  29677  shsval2i  29728