HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shintcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shintcl 31087
Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shintcl ((𝐴S𝐴 ≠ ∅) → 𝐴S )

Proof of Theorem shintcl
StepHypRef Expression
1 inteq 4946 . . 3 (𝐴 = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → 𝐴 = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ))
21eleq1d 2812 . 2 (𝐴 = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → ( 𝐴S if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ∈ S ))
3 sseq1 4002 . . . . 5 (𝐴 = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → (𝐴S ↔ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ⊆ S ))
4 neeq1 2997 . . . . 5 (𝐴 = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ≠ ∅))
53, 4anbi12d 630 . . . 4 (𝐴 = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → ((𝐴S𝐴 ≠ ∅) ↔ (if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ⊆ S ∧ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ≠ ∅)))
6 sseq1 4002 . . . . 5 ( S = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → ( SS ↔ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ⊆ S ))
7 neeq1 2997 . . . . 5 ( S = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → ( S ≠ ∅ ↔ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ≠ ∅))
86, 7anbi12d 630 . . . 4 ( S = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → (( SSS ≠ ∅) ↔ (if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ⊆ S ∧ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ≠ ∅)))
9 ssid 3999 . . . . 5 SS
10 h0elsh 31013 . . . . . 6 0S
1110ne0ii 4332 . . . . 5 S ≠ ∅
129, 11pm3.2i 470 . . . 4 ( SSS ≠ ∅)
135, 8, 12elimhyp 4588 . . 3 (if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ⊆ S ∧ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ≠ ∅)
1413shintcli 31086 . 2 if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ∈ S
152, 14dedth 4581 1 ((𝐴S𝐴 ≠ ∅) → 𝐴S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wss 3943  c0 4317  ifcif 4523   cint 4943   S csh 30685  0c0h 30692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30756  ax-hfvadd 30757  ax-hvcom 30758  ax-hvass 30759  ax-hv0cl 30760  ax-hvaddid 30761  ax-hfvmul 30762  ax-hvmulid 30763  ax-hvmulass 30764  ax-hvdistr1 30765  ax-hvdistr2 30766  ax-hvmul0 30767  ax-hfi 30836  ax-his1 30839  ax-his2 30840  ax-his3 30841  ax-his4 30842
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-icc 13334  df-seq 13970  df-exp 14030  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-topgen 17395  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-lm 23083  df-haus 23169  df-grpo 30250  df-gid 30251  df-ginv 30252  df-gdiv 30253  df-ablo 30302  df-vc 30316  df-nv 30349  df-va 30352  df-ba 30353  df-sm 30354  df-0v 30355  df-vs 30356  df-nmcv 30357  df-ims 30358  df-hnorm 30725  df-hvsub 30728  df-hlim 30729  df-sh 30964  df-ch 30978  df-ch0 31010
This theorem is referenced by:  spancl  31093  shsval2i  31144
  Copyright terms: Public domain W3C validator