Theorem shintcl 31682

Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shintcl	⊢ ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem shintcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inteq 4915	. . 3 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ∩ 𝐴 = ∩ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ))
2	1	eleq1d 2848	. 2 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (∩ 𝐴 ∈ Sℋ ↔ ∩ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ∈ Sℋ ))
3		sseq1 3962	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (𝐴 ⊆ Sℋ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ))
4		neeq1 3020	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅))
5	3, 4	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅)))
6		sseq1 3962	. . . . 5 ⊢ ( Sℋ = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ( Sℋ ⊆ Sℋ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ))
7		neeq1 3020	. . . . 5 ⊢ ( Sℋ = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ( Sℋ ≠ ∅ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅))
8	6, 7	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ ( Sℋ = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (( Sℋ ⊆ Sℋ ∧ Sℋ ≠ ∅) ↔ (if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅)))
9		ssid 3959	. . . . 5 ⊢ Sℋ ⊆ Sℋ
10		h0elsh 31608	. . . . . 6 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
11	10	ne0ii 4297	. . . . 5 ⊢ Sℋ ≠ ∅
12	9, 11	pm3.2i 475	. . . 4 ⊢ ( Sℋ ⊆ Sℋ ∧ Sℋ ≠ ∅)
13	5, 8, 12	elimhyp 4553	. . 3 ⊢ (if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅)
14	13	shintcli 31681	. 2 ⊢ ∩ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ∈ Sℋ
15	2, 14	dedth 4546	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ifcif 4487  ∩ cint 4912   S_ℋ csh 31280  0_ℋc0h 31287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174  ax-mulf 11175  ax-hilex 31351  ax-hfvadd 31352  ax-hvcom 31353  ax-hvass 31354  ax-hv0cl 31355  ax-hvaddid 31356  ax-hfvmul 31357  ax-hvmulid 31358  ax-hvmulass 31359  ax-hvdistr1 31360  ax-hvdistr2 31361  ax-hvmul0 31362  ax-hfi 31431  ax-his1 31434  ax-his2 31435  ax-his3 31436  ax-his4 31437

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-icc 13374  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-topgen 17491  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-top 23051  df-topon 23068  df-bases 23103  df-lm 23386  df-haus 23472  df-grpo 30845  df-gid 30846  df-ginv 30847  df-gdiv 30848  df-ablo 30897  df-vc 30911  df-nv 30944  df-va 30947  df-ba 30948  df-sm 30949  df-0v 30950  df-vs 30951  df-nmcv 30952  df-ims 30953  df-hnorm 31320  df-hvsub 31323  df-hlim 31324  df-sh 31559  df-ch 31573  df-ch0 31605

This theorem is referenced by:  spancl  31688  shsval2i  31739