HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shintcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shintcl 28798
Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shintcl ((𝐴S𝐴 ≠ ∅) → 𝐴S )

Proof of Theorem shintcl
StepHypRef Expression
1 inteq 4785 . . 3 (𝐴 = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → 𝐴 = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ))
21eleq1d 2867 . 2 (𝐴 = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → ( 𝐴S if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ∈ S ))
3 sseq1 3913 . . . . 5 (𝐴 = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → (𝐴S ↔ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ⊆ S ))
4 neeq1 3046 . . . . 5 (𝐴 = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ≠ ∅))
53, 4anbi12d 630 . . . 4 (𝐴 = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → ((𝐴S𝐴 ≠ ∅) ↔ (if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ⊆ S ∧ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ≠ ∅)))
6 sseq1 3913 . . . . 5 ( S = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → ( SS ↔ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ⊆ S ))
7 neeq1 3046 . . . . 5 ( S = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → ( S ≠ ∅ ↔ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ≠ ∅))
86, 7anbi12d 630 . . . 4 ( S = if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) → (( SSS ≠ ∅) ↔ (if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ⊆ S ∧ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ≠ ∅)))
9 ssid 3910 . . . . 5 SS
10 h0elsh 28724 . . . . . 6 0S
1110ne0ii 4223 . . . . 5 S ≠ ∅
129, 11pm3.2i 471 . . . 4 ( SSS ≠ ∅)
135, 8, 12elimhyp 4444 . . 3 (if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ⊆ S ∧ if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ≠ ∅)
1413shintcli 28797 . 2 if((𝐴S𝐴 ≠ ∅), 𝐴, S ) ∈ S
152, 14dedth 4437 1 ((𝐴S𝐴 ≠ ∅) → 𝐴S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  wss 3859  c0 4211  ifcif 4381   cint 4782   S csh 28396  0c0h 28403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463  ax-hilex 28467  ax-hfvadd 28468  ax-hvcom 28469  ax-hvass 28470  ax-hv0cl 28471  ax-hvaddid 28472  ax-hfvmul 28473  ax-hvmulid 28474  ax-hvmulass 28475  ax-hvdistr1 28476  ax-hvdistr2 28477  ax-hvmul0 28478  ax-hfi 28547  ax-his1 28550  ax-his2 28551  ax-his3 28552  ax-his4 28553
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-sup 8752  df-inf 8753  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-icc 12595  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-topgen 16546  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-lm 21521  df-haus 21607  df-grpo 27961  df-gid 27962  df-ginv 27963  df-gdiv 27964  df-ablo 28013  df-vc 28027  df-nv 28060  df-va 28063  df-ba 28064  df-sm 28065  df-0v 28066  df-vs 28067  df-nmcv 28068  df-ims 28069  df-hnorm 28436  df-hvsub 28439  df-hlim 28440  df-sh 28675  df-ch 28689  df-ch0 28721
This theorem is referenced by:  spancl  28804  shsval2i  28855
  Copyright terms: Public domain W3C validator