Theorem shintcl 29741

Description: The intersection of a nonempty set of subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shintcl	⊢ ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem shintcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inteq 4889	. . 3 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ∩ 𝐴 = ∩ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ))
2	1	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (∩ 𝐴 ∈ Sℋ ↔ ∩ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ∈ Sℋ ))
3		sseq1 3951	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (𝐴 ⊆ Sℋ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ))
4		neeq1 3004	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅)))
6		sseq1 3951	. . . . 5 ⊢ ( Sℋ = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ( Sℋ ⊆ Sℋ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ))
7		neeq1 3004	. . . . 5 ⊢ ( Sℋ = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → ( Sℋ ≠ ∅ ↔ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅))
8	6, 7	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ( Sℋ = if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) → (( Sℋ ⊆ Sℋ ∧ Sℋ ≠ ∅) ↔ (if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅)))
9		ssid 3948	. . . . 5 ⊢ Sℋ ⊆ Sℋ
10		h0elsh 29667	. . . . . 6 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ
11	10	ne0ii 4277	. . . . 5 ⊢ Sℋ ≠ ∅
12	9, 11	pm3.2i 472	. . . 4 ⊢ ( Sℋ ⊆ Sℋ ∧ Sℋ ≠ ∅)
13	5, 8, 12	elimhyp 4530	. . 3 ⊢ (if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ⊆ Sℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ≠ ∅)
14	13	shintcli 29740	. 2 ⊢ ∩ if((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Sℋ ) ∈ Sℋ
15	2, 14	dedth 4523	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ Sℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  ifcif 4465  ∩ cint 4886   S_ℋ csh 29339  0_ℋc0h 29346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999  ax-addf 11000  ax-mulf 11001  ax-hilex 29410  ax-hfvadd 29411  ax-hvcom 29412  ax-hvass 29413  ax-hv0cl 29414  ax-hvaddid 29415  ax-hfvmul 29416  ax-hvmulid 29417  ax-hvmulass 29418  ax-hvdistr1 29419  ax-hvdistr2 29420  ax-hvmul0 29421  ax-hfi 29490  ax-his1 29493  ax-his2 29494  ax-his3 29495  ax-his4 29496

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9249  df-inf 9250  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-q 12739  df-rp 12781  df-xneg 12898  df-xadd 12899  df-xmul 12900  df-icc 13136  df-seq 13772  df-exp 13833  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-topgen 17203  df-psmet 20638  df-xmet 20639  df-met 20640  df-bl 20641  df-mopn 20642  df-top 22092  df-topon 22109  df-bases 22145  df-lm 22429  df-haus 22515  df-grpo 28904  df-gid 28905  df-ginv 28906  df-gdiv 28907  df-ablo 28956  df-vc 28970  df-nv 29003  df-va 29006  df-ba 29007  df-sm 29008  df-0v 29009  df-vs 29010  df-nmcv 29011  df-ims 29012  df-hnorm 29379  df-hvsub 29382  df-hlim 29383  df-sh 29618  df-ch 29632  df-ch0 29664

This theorem is referenced by:  spancl  29747  shsval2i  29798