Theorem smfneg 46808

Description: The negative of a sigma-measurable function is measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfneg.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
smfneg.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfneg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
smfneg.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfneg.m	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
smfneg	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfneg.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		smfneg.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	mulm1d 11637	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
5	4	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 = (-1 · 𝐵))
6	1, 5	mpteq2da 5202	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)))
7		smfneg.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfneg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
9		neg1rr 12179	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
11		smfneg.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12	1, 7, 8, 2, 10, 11	smfmulc1 46801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-1 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
13	6, 12	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  1c1 11076   · cmul 11080  -cneg 11413  SAlgcsalg 46313  SMblFncsmblfn 46700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-ac2 10423  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-ac 10076  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-ioo 13317  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-s4 14823  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-rest 17392  df-salg 46314  df-smblfn 46701

This theorem is referenced by:  smfinflem  46822  smfliminflem  46835