Theorem smff 47947

Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smff.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smff.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smff.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smff	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)

Proof of Theorem smff

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smff.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2		smff.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smff.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	2, 3	issmf 47943	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
5	1, 4	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
6	5	simp2d 1161	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870   class class class wbr 5106  dom cdm 5655  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226   < clt 11370   ↾_t crest 17620  SAlgcsalg 47523  SMblFncsmblfn 47910

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-er 8745  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-smblfn 47911

This theorem is used by:  sssmf  47953  smfsssmf  47958  issmfle  47960  smfpimltxr  47962  issmfgt  47971  issmfge  47985  smflimlem2  47987  smflimlem3  47988  smflimlem4  47989  smflim  47992  smfpimgtxr  47995  smfpimioompt  48001  smfpimioo  48002  smfresal  48003  smfres  48005  smfco  48017  smffmptf  48019  smfsuplem1  48026  smfsuplem3  48028  smfsupxr  48031  smfinflem  48032  smflimsuplem2  48036  smflimsuplem3  48037  smflimsuplem4  48038  smflimsuplem5  48039  smfliminflem  48045  smfpimne  48054  smfpimne2  48055  smfsupdmmbllem  48059  smfinfdmmbllem  48063