Theorem smff 44155

Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smff.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smff.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smff.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smff	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)

Proof of Theorem smff

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smff.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2		smff.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smff.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	2, 3	issmf 44151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
5	1, 4	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
6	5	simp2d 1141	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4836   class class class wbr 5070  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   < clt 10940   ↾_t crest 17048  SAlgcsalg 43739  SMblFncsmblfn 44123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-smblfn 44124

This theorem is referenced by:  sssmf  44161  smfsssmf  44166  issmfle  44168  issmfgt  44179  issmfge  44192  smflimlem2  44194  smflimlem3  44195  smflimlem4  44196  smflim  44199  smfpimgtxr  44202  smfpimioompt  44207  smfpimioo  44208  smfresal  44209  smfres  44211  smfco  44223  smffmpt  44225  smfsuplem1  44231  smfsuplem3  44233  smfsupxr  44236  smfinflem  44237  smflimsuplem2  44241  smflimsuplem3  44242  smflimsuplem4  44243  smflimsuplem5  44244  smfliminflem  44250