Theorem smff 41682

Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smff.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smff.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smff.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smff	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)

Proof of Theorem smff

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smff.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2		smff.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smff.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	2, 3	issmf 41678	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
5	1, 4	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
6	5	simp2d 1174	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3090  {crab 3094   ⊆ wss 3770  ∪ cuni 4629   class class class wbr 4844  dom cdm 5313  ⟶wf 6098  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  ℝcr 10224   < clt 10364   ↾_t crest 16395  SAlgcsalg 41266  SMblFncsmblfn 41650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-po 5234  df-so 5235  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-er 7983  df-pm 8099  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-ioo 12427  df-ico 12429  df-smblfn 41651

This theorem is referenced by:  sssmf  41688  smfsssmf  41693  issmfle  41695  issmfgt  41706  issmfge  41719  smflimlem2  41721  smflimlem3  41722  smflimlem4  41723  smflim  41726  smfpimgtxr  41729  smfpimioompt  41734  smfpimioo  41735  smfresal  41736  smfres  41738  smfco  41750  smffmpt  41752  smfsuplem1  41758  smfsuplem3  41760  smfsupxr  41763  smfinflem  41764  smflimsuplem2  41768  smflimsuplem3  41769  smflimsuplem4  41770  smflimsuplem5  41771  smfliminflem  41777