Theorem smff 45434

Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smff.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smff.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smff.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smff	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)

Proof of Theorem smff

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smff.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2		smff.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smff.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	2, 3	issmf 45430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
5	1, 4	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
6	5	simp2d 1143	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  {crab 3432   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105   < clt 11244   ↾_t crest 17362  SAlgcsalg 45010  SMblFncsmblfn 45397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-smblfn 45398

This theorem is referenced by:  sssmf  45440  smfsssmf  45445  issmfle  45447  smfpimltxr  45449  issmfgt  45458  issmfge  45472  smflimlem2  45474  smflimlem3  45475  smflimlem4  45476  smflim  45479  smfpimgtxr  45482  smfpimioompt  45488  smfpimioo  45489  smfresal  45490  smfres  45492  smfco  45504  smffmptf  45506  smfsuplem1  45513  smfsuplem3  45515  smfsupxr  45518  smfinflem  45519  smflimsuplem2  45523  smflimsuplem3  45524  smflimsuplem4  45525  smflimsuplem5  45526  smfliminflem  45532  smfpimne  45541  smfpimne2  45542  smfsupdmmbllem  45546  smfinfdmmbllem  45550