Theorem smff 47835

Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smff.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smff.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smff.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
smff	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)

Proof of Theorem smff

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smff.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2		smff.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smff.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
4	2, 3	issmf 47831	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))))
5	1, 4	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ⊆ ∪ 𝑆 ∧ 𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
6	5	simp2d 1161	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102  dom cdm 5650  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11202   < clt 11346   ↾_t crest 17596  SAlgcsalg 47411  SMblFncsmblfn 47798

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8720  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-ioo 13483  df-ico 13485  df-smblfn 47799

This theorem is used by:  sssmf  47841  smfsssmf  47846  issmfle  47848  smfpimltxr  47850  issmfgt  47859  issmfge  47873  smflimlem2  47875  smflimlem3  47876  smflimlem4  47877  smflim  47880  smfpimgtxr  47883  smfpimioompt  47889  smfpimioo  47890  smfresal  47891  smfres  47893  smfco  47905  smffmptf  47907  smfsuplem1  47914  smfsuplem3  47916  smfsupxr  47919  smfinflem  47920  smflimsuplem2  47924  smflimsuplem3  47925  smflimsuplem4  47926  smflimsuplem5  47927  smfliminflem  47933  smfpimne  47942  smfpimne2  47943  smfsupdmmbllem  47947  smfinfdmmbllem  47951