Theorem ovolsplit 45002

Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive: application to a set split in two parts, using addition for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovolsplit.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ovolsplit	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem ovolsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	eqcomi 2739	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
4	3	fveq2d 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
5		ovolsplit.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	5	ssinss1d 44036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
7	5	ssdifssd 4141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
8	6, 7	unssd 4185	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ℝ)
9		ovolcl 25227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ℝ → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ*)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ*)
11		pnfge 13114	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ* → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
13	12	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
14		oveq1 7418	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞ → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
15	14	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
16		ovolcl 25227	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
17	7, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
19		reex 11203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
21	20, 5	ssexd 5323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22	21	difexd 5328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
23		elpwg 4604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ))
25	7, 24	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ)
26		ovolf 25231	. . . . . . . . . 10 ⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
27	26	ffvelcdmi 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
28	25, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
29	28	xrge0nemnfd 44340	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞)
30	29	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞)
31		xaddpnf2 13210	. . . . . 6 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = +∞)
32	18, 30, 31	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = +∞)
33	15, 32	eqtr2d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → +∞ = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
34	13, 33	breqtrd 5173	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
35		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
36	20, 6	sselpwd 5325	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ)
37	26	ffvelcdmi 7084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
38	36, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
39	38	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
40		neqne 2946	. . . . . 6 ⊢ (¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞)
41	40	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞)
42		ge0xrre 44542	. . . . 5 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
43	39, 41, 42	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
44	12	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
45		oveq2 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞ → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞))
46	45	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞))
47		ovolcl 25227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*)
48	6, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*)
49	38	xrge0nemnfd 44340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ -∞)
50		xaddpnf1 13209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ -∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
51	48, 49, 50	syl2anc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
52	51	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
53	46, 52	eqtr2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → +∞ = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
54	44, 53	breqtrd 5173	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
55	54	adantlr 711	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
56		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
57		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
58	28	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
59		neqne 2946	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞)
60	59	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞)
61		ge0xrre 44542	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
62	58, 60, 61	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
63	62	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
64	6	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
65		simp2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
66	7	3ad2ant1 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
67		simp3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
68		ovolun 25248	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
69	64, 65, 66, 67, 68	syl22anc 835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
70		rexadd 13215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
71	70	eqcomd 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
72	71	3adant1 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
73	69, 72	breqtrd 5173	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
74	56, 57, 63, 73	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
75	55, 74	pm2.61dan 809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
76	35, 43, 75	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
77	34, 76	pm2.61dan 809	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
78	4, 77	eqbrtrd 5169	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  Vcvv 3472   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  ℝ^*cxr 11251   ≤ cle 11253   +_𝑒 cxad 13094  [,]cicc 13331  vol*covol 25211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-ovol 25213

This theorem is referenced by:  ismbl4  45007