Theorem ovolsplit 46003

Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive: application to a set split in two parts, using addition for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovolsplit.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ovolsplit	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem ovolsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
4	3	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
5		ovolsplit.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	5	ssinss1d 4247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
7	5	ssdifssd 4147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
8	6, 7	unssd 4192	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ℝ)
9		ovolcl 25513	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ℝ → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ*)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ*)
11		pnfge 13172	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ* → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
14		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞ → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
16		ovolcl 25513	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
17	7, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
19		reex 11246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
21	20, 5	ssexd 5324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22	21	difexd 5331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
23		elpwg 4603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ))
25	7, 24	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ)
26		ovolf 25517	. . . . . . . . . 10 ⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
27	26	ffvelcdmi 7103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
28	25, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
29	28	xrge0nemnfd 45343	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞)
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞)
31		xaddpnf2 13269	. . . . . 6 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = +∞)
32	18, 30, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = +∞)
33	15, 32	eqtr2d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → +∞ = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
34	13, 33	breqtrd 5169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
35		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
36	20, 6	sselpwd 5328	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ)
37	26	ffvelcdmi 7103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
38	36, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
40		neqne 2948	. . . . . 6 ⊢ (¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞)
41	40	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞)
42		ge0xrre 45544	. . . . 5 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
43	39, 41, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
44	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
45		oveq2 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞ → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞))
46	45	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞))
47		ovolcl 25513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*)
48	6, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*)
49	38	xrge0nemnfd 45343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ -∞)
50		xaddpnf1 13268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ -∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
51	48, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
52	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
53	46, 52	eqtr2d 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → +∞ = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
54	44, 53	breqtrd 5169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
55	54	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
56		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
57		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
58	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
59		neqne 2948	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞)
60	59	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞)
61		ge0xrre 45544	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
62	58, 60, 61	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
63	62	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
64	6	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
65		simp2 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
66	7	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
67		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
68		ovolun 25534	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
69	64, 65, 66, 67, 68	syl22anc 839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
70		rexadd 13274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
71	70	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
72	71	3adant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
73	69, 72	breqtrd 5169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
74	56, 57, 63, 73	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
75	55, 74	pm2.61dan 813	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
76	35, 43, 75	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
77	34, 76	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
78	4, 77	eqbrtrd 5165	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296   +_𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  vol*covol 25497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-ovol 25499

This theorem is referenced by:  ismbl4  46008