Theorem ovolsplit 45959

Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive: application to a set split in two parts, using addition for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovolsplit.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ovolsplit	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem ovolsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4438	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	eqcomi 2738	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
4	3	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
5		ovolsplit.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	5	ssinss1d 4206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
7	5	ssdifssd 4106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
8	6, 7	unssd 4151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ℝ)
9		ovolcl 25355	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ℝ → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ*)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ*)
11		pnfge 13066	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ* → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
14		oveq1 7376	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞ → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
16		ovolcl 25355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
17	7, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
19		reex 11135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
21	20, 5	ssexd 5274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22	21	difexd 5281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
23		elpwg 4562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ))
25	7, 24	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ)
26		ovolf 25359	. . . . . . . . . 10 ⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
27	26	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
28	25, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
29	28	xrge0nemnfd 45301	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞)
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞)
31		xaddpnf2 13163	. . . . . 6 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = +∞)
32	18, 30, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = +∞)
33	15, 32	eqtr2d 2765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → +∞ = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
34	13, 33	breqtrd 5128	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
35		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
36	20, 6	sselpwd 5278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ)
37	26	ffvelcdmi 7037	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
38	36, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
40		neqne 2933	. . . . . 6 ⊢ (¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞)
41	40	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞)
42		ge0xrre 45502	. . . . 5 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
43	39, 41, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
44	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
45		oveq2 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞ → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞))
46	45	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞))
47		ovolcl 25355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*)
48	6, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*)
49	38	xrge0nemnfd 45301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ -∞)
50		xaddpnf1 13162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ -∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
51	48, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
52	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
53	46, 52	eqtr2d 2765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → +∞ = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
54	44, 53	breqtrd 5128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
55	54	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
56		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
57		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
58	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
59		neqne 2933	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞)
60	59	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞)
61		ge0xrre 45502	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
62	58, 60, 61	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
63	62	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
64	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
65		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
66	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
67		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
68		ovolun 25376	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
69	64, 65, 66, 67, 68	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
70		rexadd 13168	. . . . . . . . 9 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
71	70	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
72	71	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
73	69, 72	breqtrd 5128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
74	56, 57, 63, 73	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
75	55, 74	pm2.61dan 812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
76	35, 43, 75	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
77	34, 76	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
78	4, 77	eqbrtrd 5124	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044   + caddc 11047  +∞cpnf 11181  -∞cmnf 11182  ℝ^*cxr 11183   ≤ cle 11185   +_𝑒 cxad 13046  [,]cicc 13285  vol*covol 25339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xadd 13049  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-ovol 25341

This theorem is referenced by:  ismbl4  45964