Theorem ovolsplit 44694

Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive: application to a set split in two parts, using addition for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovolsplit.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ovolsplit	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Proof of Theorem ovolsplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4478	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) = 𝐴
2	1	eqcomi 2741	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)))
4	3	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))))
5		ovolsplit.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
6	5	ssinss1d 43725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
7	5	ssdifssd 4142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
8	6, 7	unssd 4186	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ℝ)
9		ovolcl 24994	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵)) ⊆ ℝ → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ*)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ*)
11		pnfge 13109	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ∈ ℝ* → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
13	12	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
14		oveq1 7415	. . . . . 6 ⊢ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞ → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
15	14	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
16		ovolcl 24994	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
17	7, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ*)
19		reex 11200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℝ ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
21	20, 5	ssexd 5324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
22	21	difexd 5329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
23		elpwg 4605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ))
25	7, 24	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ)
26		ovolf 24998	. . . . . . . . . 10 ⊢ vol*:𝒫 ℝ⟶(0[,]+∞)
27	26	ffvelcdmi 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
28	25, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
29	28	xrge0nemnfd 44032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞)
30	29	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞)
31		xaddpnf2 13205	. . . . . 6 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ -∞) → (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = +∞)
32	18, 30, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (+∞ +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = +∞)
33	15, 32	eqtr2d 2773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → +∞ = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
34	13, 33	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
35		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
36	20, 6	sselpwd 5326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ)
37	26	ffvelcdmi 7085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ∈ 𝒫 ℝ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
38	36, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
39	38	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
40		neqne 2948	. . . . . 6 ⊢ (¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞)
41	40	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞)
42		ge0xrre 44234	. . . . 5 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
43	39, 41, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
44	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ +∞)
45		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞ → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞))
46	45	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞))
47		ovolcl 24994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*)
48	6, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ*)
49	38	xrge0nemnfd 44032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ -∞)
50		xaddpnf1 13204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ≠ -∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
51	48, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
52	51	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 +∞) = +∞)
53	46, 52	eqtr2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → +∞ = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
54	44, 53	breqtrd 5174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
55	54	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
56		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → 𝜑)
57		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
58	28	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
59		neqne 2948	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞ → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞)
60	59	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞)
61		ge0xrre 44234	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ≠ +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
62	58, 60, 61	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
63	62	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
64	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
65		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ)
66	7	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
67		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)
68		ovolun 25015	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ)) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
69	64, 65, 66, 67, 68	syl22anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
70		rexadd 13210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
71	70	eqcomd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
72	71	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) + (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
73	69, 72	breqtrd 5174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
74	56, 57, 63, 73	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
75	55, 74	pm2.61dan 811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
76	35, 43, 75	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ (vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) = +∞) → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
77	34, 76	pm2.61dan 811	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∖ 𝐵))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))
78	4, 77	eqbrtrd 5170	1 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝐴 ∖ 𝐵))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245  ℝ^*cxr 11246   ≤ cle 11248   +_𝑒 cxad 13089  [,]cicc 13326  vol*covol 24978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xadd 13092  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-ovol 24980

This theorem is referenced by:  ismbl4  44699