Theorem saliunclf 46576

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliunclf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
saliunclf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝑆
saliunclf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐾
saliunclf.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliunclf.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliunclf.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliunclf	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saliunclf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saliunclf.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		saliunclf.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
3	1, 2	ralrimia 3235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)
4		dfiun3g 5917	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸))
6		saliunclf.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		saliunclf.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐾
8		saliunclf.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) = (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸)
10	1, 7, 8, 9, 2	rnmptssdff 45529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ⊆ 𝑆)
11	6, 10	sselpwd 5273	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝒫 𝑆)
12		saliunclf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
13	7	rn1st 45527	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≼ ω → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ≼ ω)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ≼ ω)
15	6, 11, 14	salunicl 46570	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝑆)
16	5, 15	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051  ∪ cuni 4863  ∪ ciun 4946   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625  ωcom 7808   ≼ cdom 8881  SAlgcsalg 46562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-card 9851  df-acn 9854  df-salg 46563

This theorem is referenced by:  saliuncl  46577  saliinclf  46580  smfsupdmmbllem  47098  smfinfdmmbllem  47102