Theorem saliunclf 47153

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliunclf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
saliunclf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝑆
saliunclf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐾
saliunclf.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliunclf.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliunclf.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliunclf	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saliunclf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saliunclf.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		saliunclf.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
3	1, 2	ralrimia 3261	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)
4		dfiun3g 5952	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸))
6		saliunclf.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		saliunclf.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐾
8		saliunclf.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) = (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸)
10	1, 7, 8, 9, 2	rnmptssdff 46107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ⊆ 𝑆)
11	6, 10	sselpwd 5293	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝒫 𝑆)
12		saliunclf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
13	7	rn1st 46105	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≼ ω → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ≼ ω)
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ≼ ω)
15	6, 11, 14	salunicl 47147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝑆)
16	5, 15	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076  ∪ cuni 4867  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5656  ωcom 7863   ≼ cdom 8953  SAlgcsalg 47139

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-card 9947  df-acn 9950  df-salg 47140

This theorem is used by:  saliuncl  47154  saliinclf  47157  smfsupdmmbllem  47675  smfinfdmmbllem  47679