Theorem saliunclf 46318

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliunclf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
saliunclf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝑆
saliunclf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐾
saliunclf.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliunclf.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliunclf.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliunclf	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saliunclf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saliunclf.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		saliunclf.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
3	1, 2	ralrimia 3245	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)
4		dfiun3g 5952	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸))
6		saliunclf.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		saliunclf.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐾
8		saliunclf.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) = (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸)
10	1, 7, 8, 9, 2	rnmptssdff 45266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ⊆ 𝑆)
11	6, 10	sselpwd 5303	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝒫 𝑆)
12		saliunclf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
13	7	rn1st 45264	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≼ ω → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ≼ ω)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ≼ ω)
15	6, 11, 14	salunicl 46312	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝑆)
16	5, 15	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052  ∪ cuni 4888  ∪ ciun 4972   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ran crn 5660  ωcom 7866   ≼ cdom 8962  SAlgcsalg 46304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-card 9958  df-acn 9961  df-salg 46305

This theorem is referenced by:  saliuncl  46319  saliinclf  46322  smfsupdmmbllem  46840  smfinfdmmbllem  46844