Theorem saliunclf 44716

Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
saliunclf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
saliunclf.2	⊢ Ⅎ𝑘𝑆
saliunclf.3	⊢ Ⅎ𝑘𝐾
saliunclf.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
saliunclf.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
saliunclf.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
saliunclf	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saliunclf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saliunclf.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		saliunclf.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐾) → 𝐸 ∈ 𝑆)
3	1, 2	ralrimia 3252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)
4		dfiun3g 5939	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 = ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸))
6		saliunclf.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
7		saliunclf.3	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐾
8		saliunclf.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝑆
9		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) = (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸)
10	1, 7, 8, 9, 2	rnmptssdff 43658	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ⊆ 𝑆)
11	6, 10	sselpwd 5303	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝒫 𝑆)
12		saliunclf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≼ ω)
13	7	rn1st 43656	. . . 4 ⊢ (𝐾 ≼ ω → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ≼ ω)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ≼ ω)
15	6, 11, 14	salunicl 44710	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ ran (𝑘 ∈ 𝐾 ↦ 𝐸) ∈ 𝑆)
16	5, 15	eqeltrd 2832	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐾 𝐸 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2882  ∀wral 3060  ∪ cuni 4885  ∪ ciun 4974   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5208  ran crn 5654  ωcom 7822   ≼ cdom 8903  SAlgcsalg 44702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-card 9899  df-acn 9902  df-salg 44703

This theorem is referenced by:  saliuncl  44717  saliinclf  44720  smfsupdmmbllem  45238  smfinfdmmbllem  45242