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Theorem ldsysgenld 33456
Description: The intersection of all lambda-systems containing a given collection of sets 𝐴, which is called the lambda-system generated by 𝐴, is itself also a lambda-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isldsys.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
ldsysgenld.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
ldsysgenld.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
ldsysgenld (πœ‘ β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑠   𝑑,𝐿   𝑂,𝑠,𝑑,π‘₯   π‘₯,𝑉   𝑦,𝑑   𝐴,𝑠,𝑑,π‘₯   𝐿,𝑠,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑠)   𝐴(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑑,𝑠)

Proof of Theorem ldsysgenld
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ldsysgenld.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
2 pwsiga 33426 . . . . 5 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
4 isldsys.l . . . . . . . 8 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
54sigaldsys 33455 . . . . . . 7 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝐿
65, 3sselid 3979 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑂 ∈ 𝐿)
7 ldsysgenld.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑂)
8 sseq2 4007 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝒫 𝑂 β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 ↔ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑂))
98elrab 3682 . . . . . 6 (𝒫 𝑂 ∈ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ (𝒫 𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑂))
106, 7, 9sylanbrc 581 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑂 ∈ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
11 intss1 4966 . . . . 5 (𝒫 𝑂 ∈ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} βŠ† 𝒫 𝑂)
1210, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} βŠ† 𝒫 𝑂)
133, 12sselpwd 5325 . . 3 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
144isldsys 33452 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ 𝐿 ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (βˆ… ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))))
1514simprbi 495 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ 𝐿 β†’ (βˆ… ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)))
1615simp1d 1140 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝐿 β†’ βˆ… ∈ 𝑑)
1716adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) β†’ βˆ… ∈ 𝑑)
1817a1d 25 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆ… ∈ 𝑑))
1918ralrimiva 3144 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆ… ∈ 𝑑))
20 0ex 5306 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
2120elintrab 4963 . . . . 5 (βˆ… ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆ… ∈ 𝑑))
2219, 21sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
23 nfv 1915 . . . . . . . 8 β„²π‘‘πœ‘
24 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑π‘₯
25 nfrab1 3449 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑{𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}
2625nfint 4959 . . . . . . . . 9 β„²π‘‘βˆ© {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}
2724, 26nfel 2915 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑 π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}
2823, 27nfan 1900 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
29 simplr 765 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ 𝑑 ∈ 𝐿)
30 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘₯ ∈ V
3130elintrab 4963 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ π‘₯ ∈ 𝑑))
3231biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ π‘₯ ∈ 𝑑))
3332adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ π‘₯ ∈ 𝑑))
3433r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ π‘₯ ∈ 𝑑))
3534imp 405 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ π‘₯ ∈ 𝑑)
3615simp2d 1141 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ 𝐿 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)
3736r19.21bi 3246 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)
3829, 35, 37syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)
3938ex 411 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑))
4039ex 411 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ (𝑑 ∈ 𝐿 β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)))
4128, 40ralrimi 3252 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑))
42 difexg 5326 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ V)
43 elintrabg 4964 . . . . . . . 8 ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ V β†’ ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)))
441, 42, 433syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)))
4544adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)))
4641, 45mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
4746ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
4826nfpw 4620 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}
4924, 48nfel 2915 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑 π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}
5023, 49nfan 1900 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
51 nfv 1915 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
5250, 51nfan 1900 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦))
53 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ 𝑑 ∈ 𝐿)
54 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ 𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
55 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ 𝑑 ∈ 𝐿)
56 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑑)
57 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑒 ∈ V
5857elintrab 4963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ 𝑒 ∈ 𝑑))
5958biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ 𝑒 ∈ 𝑑))
6059r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ 𝑒 ∈ 𝑑))
6160imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ 𝑒 ∈ 𝑑)
6254, 55, 56, 61syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ 𝑒 ∈ 𝑑)
6362ex 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ (𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} β†’ 𝑒 ∈ 𝑑))
6463ssrdv 3987 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} βŠ† 𝑑)
6564sspwd 4614 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} βŠ† 𝒫 𝑑)
66 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
6765, 66sseldd 3982 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑)
68 simpllr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦))
6915simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ 𝐿 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
7069r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
7170imp 405 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
7253, 67, 68, 71syl21anc 834 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
7372ex 411 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
7473ex 411 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐿 β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)))
7552, 74ralrimi 3252 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
76 vuniex 7731 . . . . . . . 8 βˆͺ π‘₯ ∈ V
7776elintrab 4963 . . . . . . 7 (βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
7875, 77sylibr 233 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
7978ex 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}))
8079ralrimiva 3144 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}))
8122, 47, 803jca 1126 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})))
8213, 81jca 510 . 2 (πœ‘ β†’ (∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (βˆ… ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}))))
834isldsys 33452 . 2 (∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ 𝐿 ↔ (∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (βˆ… ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}))))
8482, 83sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆ© cint 4949  Disj wdisj 5112   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  sigAlgebracsiga 33404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-siga 33405
This theorem is referenced by:  ldgenpisys  33462  dynkin  33463
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