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Theorem ldsysgenld 32823
Description: The intersection of all lambda-systems containing a given collection of sets 𝐴, which is called the lambda-system generated by 𝐴, is itself also a lambda-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
isldsys.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
ldsysgenld.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
ldsysgenld.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑂)
Assertion
Ref Expression
ldsysgenld (πœ‘ β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑠   𝑑,𝐿   𝑂,𝑠,𝑑,π‘₯   π‘₯,𝑉   𝑦,𝑑   𝐴,𝑠,𝑑,π‘₯   𝐿,𝑠,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑠)   𝐴(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑑,𝑠)

Proof of Theorem ldsysgenld
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ldsysgenld.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
2 pwsiga 32793 . . . . 5 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
31, 2syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebraβ€˜π‘‚))
4 isldsys.l . . . . . . . 8 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (βˆ… ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑠((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑠))}
54sigaldsys 32822 . . . . . . 7 (sigAlgebraβ€˜π‘‚) βŠ† 𝐿
65, 3sselid 3946 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑂 ∈ 𝐿)
7 ldsysgenld.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑂)
8 sseq2 3974 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝒫 𝑂 β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 ↔ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑂))
98elrab 3649 . . . . . 6 (𝒫 𝑂 ∈ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ (𝒫 𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝑂))
106, 7, 9sylanbrc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝒫 𝑂 ∈ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
11 intss1 4928 . . . . 5 (𝒫 𝑂 ∈ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} βŠ† 𝒫 𝑂)
1210, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} βŠ† 𝒫 𝑂)
133, 12sselpwd 5287 . . 3 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
144isldsys 32819 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ 𝐿 ↔ (𝑑 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (βˆ… ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))))
1514simprbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ 𝐿 β†’ (βˆ… ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)))
1615simp1d 1143 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ 𝐿 β†’ βˆ… ∈ 𝑑)
1716adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) β†’ βˆ… ∈ 𝑑)
1817a1d 25 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆ… ∈ 𝑑))
1918ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆ… ∈ 𝑑))
20 0ex 5268 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
2120elintrab 4925 . . . . 5 (βˆ… ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆ… ∈ 𝑑))
2219, 21sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
23 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘‘πœ‘
24 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑π‘₯
25 nfrab1 3425 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑{𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}
2625nfint 4921 . . . . . . . . 9 β„²π‘‘βˆ© {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}
2724, 26nfel 2918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑 π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}
2823, 27nfan 1903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
29 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ 𝑑 ∈ 𝐿)
30 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘₯ ∈ V
3130elintrab 4925 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ π‘₯ ∈ 𝑑))
3231biimpi 215 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ π‘₯ ∈ 𝑑))
3332adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ π‘₯ ∈ 𝑑))
3433r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ π‘₯ ∈ 𝑑))
3534imp 408 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ π‘₯ ∈ 𝑑)
3615simp2d 1144 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ 𝐿 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑑 (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)
3736r19.21bi 3233 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ 𝑑) β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)
3829, 35, 37syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)
3938ex 414 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑))
4039ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ (𝑑 ∈ 𝐿 β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)))
4128, 40ralrimi 3239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑))
42 difexg 5288 . . . . . . . 8 (𝑂 ∈ 𝑉 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ V)
43 elintrabg 4926 . . . . . . . 8 ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ V β†’ ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)))
441, 42, 433syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)))
4544adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ ((𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑑)))
4641, 45mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
4746ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
4826nfpw 4583 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑑𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}
4924, 48nfel 2918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑑 π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}
5023, 49nfan 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
51 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑑(π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)
5250, 51nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑑((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦))
53 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ 𝑑 ∈ 𝐿)
54 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ 𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
55 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ 𝑑 ∈ 𝐿)
56 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑑)
57 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑒 ∈ V
5857elintrab 4925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ 𝑒 ∈ 𝑑))
5958biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ 𝑒 ∈ 𝑑))
6059r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ 𝑒 ∈ 𝑑))
6160imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ 𝑒 ∈ 𝑑)
6254, 55, 56, 61syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ 𝑒 ∈ 𝑑)
6362ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ (𝑒 ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} β†’ 𝑒 ∈ 𝑑))
6463ssrdv 3954 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} βŠ† 𝑑)
6564sspwd 4577 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} βŠ† 𝒫 𝑑)
66 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
6765, 66sseldd 3949 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑)
68 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦))
6915simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ 𝐿 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
7069r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
7170imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ 𝐿 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑑) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
7253, 67, 68, 71syl21anc 837 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 βŠ† 𝑑) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)
7372ex 414 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
7473ex 414 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐿 β†’ (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑)))
7552, 74ralrimi 3239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
76 vuniex 7680 . . . . . . . 8 βˆͺ π‘₯ ∈ V
7776elintrab 4925 . . . . . . 7 (βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝐿 (𝐴 βŠ† 𝑑 β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑑))
7875, 77sylibr 233 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) ∧ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})
7978ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}) β†’ ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}))
8079ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}))
8122, 47, 803jca 1129 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑})))
8213, 81jca 513 . 2 (πœ‘ β†’ (∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (βˆ… ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}))))
834isldsys 32819 . 2 (∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ 𝐿 ↔ (∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (βˆ… ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} (𝑂 βˆ– π‘₯) ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ((π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ Disj 𝑦 ∈ π‘₯ 𝑦) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑}))))
8482, 83sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑑 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 βŠ† 𝑑} ∈ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  βˆͺ cuni 4869  βˆ© cint 4911  Disj wdisj 5074   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  Ο‰com 7806   β‰Ό cdom 8887  sigAlgebracsiga 32771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-ac 10060  df-siga 32772
This theorem is referenced by:  ldgenpisys  32829  dynkin  32830
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