Theorem ldsysgenld 34863

Description: The intersection of all lambda-systems containing a given collection of sets 𝐴, which is called the lambda-system generated by 𝐴, is itself also a lambda-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isldsys.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
ldsysgenld.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldsysgenld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)

Assertion

Ref	Expression
ldsysgenld	⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑠   𝑡,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑥,𝑉   𝑦,𝑡   𝐴,𝑠,𝑡,𝑥   𝐿,𝑠,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑠)   𝐴(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑉(𝑦, 𝑡, 𝑠)

Proof of Theorem ldsysgenld

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldsysgenld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		pwsiga 34832	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
4		isldsys.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
5	4	sigaldsys 34862	. . . . . . 7 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝐿
6	5, 3	sselid 3911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ 𝐿)
7		ldsysgenld.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
8		sseq2 3939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝒫 𝑂 → (𝐴 ⊆ 𝑡 ↔ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂))
9	8	elrab 3648	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ (𝒫 𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂))
10	6, 7, 9	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
11		intss1 4926	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
13	3, 12	sselpwd 5294	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
14	4	isldsys 34859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
15	14	simprbi 503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
16	15	simp1d 1160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∅ ∈ 𝑡)
17	16	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → ∅ ∈ 𝑡)
18	17	a1d 26	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
19	18	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
20		0ex 5264	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
21	20	elintrab 4923	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
22	19, 21	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
23		nfv 1949	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
24		nfcv 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝑥
25		nfrab1 3435	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}
26	25	nfint 4920	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}
27	24, 26	nfel 2940	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}
28	23, 27	nfan 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
29		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿)
30		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
31	30	elintrab 4923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑥 ∈ 𝑡))
32	31	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑥 ∈ 𝑡))
33	32	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑥 ∈ 𝑡))
34	33	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑥 ∈ 𝑡))
35	34	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ∈ 𝑡)
36	15	simp2d 1161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
37	36	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑡) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
38	29, 35, 37	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
39	38	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝐴 ⊆ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡))
40	39	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → (𝑡 ∈ 𝐿 → (𝐴 ⊆ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)))
41	28, 40	ralrimi 3264	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡))
42		difexg 5295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ V)
43		elintrabg 4924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ V → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)))
44	1, 42, 43	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)))
45	44	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)))
46	41, 45	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
47	46	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
48	26	nfpw 4580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}
49	24, 48	nfel 2940	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}
50	23, 49	nfan 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
51		nfv 1949	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
52	50, 51	nfan 1934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
53		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿)
54		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → 𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
55		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → 𝑡 ∈ 𝐿)
56		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → 𝐴 ⊆ 𝑡)
57		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑢 ∈ V
58	57	elintrab 4923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑢 ∈ 𝑡))
59	58	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑢 ∈ 𝑡))
60	59	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑢 ∈ 𝑡))
61	60	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝑢 ∈ 𝑡)
62	54, 55, 56, 61	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → 𝑢 ∈ 𝑡)
63	62	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → (𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} → 𝑢 ∈ 𝑡))
64	63	ssrdv 3919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝑡)
65	64	sspwd 4573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑡)
66		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
67	65, 66	sseldd 3914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
68		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
69	15	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
70	69	r19.21bi 3258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
71	70	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)
72	53, 67, 68, 71	syl21anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)
73	72	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
74	73	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝑡 ∈ 𝐿 → (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
75	52, 74	ralrimi 3264	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
76		vuniex 7780	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
77	76	elintrab 4923	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
78	75, 77	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
79	78	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}))
80	79	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}))
81	22, 47, 80	3jca 1146	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})))
82	13, 81	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}))))
83	4	isldsys 34859	. 2 ⊢ (∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿 ↔ (∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}))))
84	82, 83	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ∪ cuni 4870  ∩ cint 4910  Disj wdisj 5073   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  ωcom 7901   ≼ cdom 8999  sigAlgebracsiga 34810

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-siga 34811

This theorem is used by:  ldgenpisys  34869  dynkin  34870