Theorem ldsysgenld 34141

Description: The intersection of all lambda-systems containing a given collection of sets 𝐴, which is called the lambda-system generated by 𝐴, is itself also a lambda-system. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isldsys.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
ldsysgenld.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldsysgenld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)

Assertion

Ref	Expression
ldsysgenld	⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑠   𝑡,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑥,𝑉   𝑦,𝑡   𝐴,𝑠,𝑡,𝑥   𝐿,𝑠,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑠)   𝐴(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑂(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠)

Proof of Theorem ldsysgenld

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldsysgenld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
2		pwsiga 34111	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ (sigAlgebra‘𝑂))
4		isldsys.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
5	4	sigaldsys 34140	. . . . . . 7 ⊢ (sigAlgebra‘𝑂) ⊆ 𝐿
6	5, 3	sselid 3993	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ 𝐿)
7		ldsysgenld.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂)
8		sseq2 4022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝒫 𝑂 → (𝐴 ⊆ 𝑡 ↔ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂))
9	8	elrab 3695	. . . . . 6 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ (𝒫 𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝑂))
10	6, 7, 9	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
11		intss1 4968	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
13	3, 12	sselpwd 5334	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
14	4	isldsys 34137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
15	14	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
16	15	simp1d 1141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∅ ∈ 𝑡)
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → ∅ ∈ 𝑡)
18	17	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
19	18	ralrimiva 3144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
20		0ex 5313	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
21	20	elintrab 4965	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
22	19, 21	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
23		nfv 1912	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡𝜑
24		nfcv 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡𝑥
25		nfrab1 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡{𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}
26	25	nfint 4961	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}
27	24, 26	nfel 2918	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}
28	23, 27	nfan 1897	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
29		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿)
30		vex 3482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑥 ∈ V
31	30	elintrab 4965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑥 ∈ 𝑡))
32	31	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑥 ∈ 𝑡))
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑥 ∈ 𝑡))
34	33	r19.21bi 3249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑥 ∈ 𝑡))
35	34	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ∈ 𝑡)
36	15	simp2d 1142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
37	36	r19.21bi 3249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝑡) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
38	29, 35, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
39	38	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝐴 ⊆ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡))
40	39	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → (𝑡 ∈ 𝐿 → (𝐴 ⊆ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)))
41	28, 40	ralrimi 3255	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡))
42		difexg 5335	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ V)
43		elintrabg 4966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ V → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)))
44	1, 42, 43	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)))
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)))
46	41, 45	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
47	46	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
48	26	nfpw 4624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑡𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}
49	24, 48	nfel 2918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑡 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}
50	23, 49	nfan 1897	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
51		nfv 1912	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
52	50, 51	nfan 1897	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
53		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿)
54		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → 𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
55		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → 𝑡 ∈ 𝐿)
56		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → 𝐴 ⊆ 𝑡)
57		vex 3482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑢 ∈ V
58	57	elintrab 4965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑢 ∈ 𝑡))
59	58	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑢 ∈ 𝑡))
60	59	r19.21bi 3249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝐴 ⊆ 𝑡 → 𝑢 ∈ 𝑡))
61	60	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝑢 ∈ 𝑡)
62	54, 55, 56, 61	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → 𝑢 ∈ 𝑡)
63	62	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → (𝑢 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} → 𝑢 ∈ 𝑡))
64	63	ssrdv 4001	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝑡)
65	64	sspwd 4618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑡)
66		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
67	65, 66	sseldd 3996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡)
68		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
69	15	simp3d 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
70	69	r19.21bi 3249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
71	70	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)
72	53, 67, 68, 71	syl21anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑡) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)
73	72	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
74	73	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝑡 ∈ 𝐿 → (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
75	52, 74	ralrimi 3255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
76		vuniex 7758	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
77	76	elintrab 4965	. . . . . . 7 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝐴 ⊆ 𝑡 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
78	75, 77	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})
79	78	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}))
80	79	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}))
81	22, 47, 80	3jca 1127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡})))
82	13, 81	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}))))
83	4	isldsys 34137	. 2 ⊢ (∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿 ↔ (∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ ∀𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡}))))
84	82, 83	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝐴 ⊆ 𝑡} ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  𝒫 cpw 4605  ∪ cuni 4912  ∩ cint 4951  Disj wdisj 5115   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  ωcom 7887   ≼ cdom 8982  sigAlgebracsiga 34089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-siga 34090

This theorem is referenced by:  ldgenpisys  34147  dynkin  34148