Theorem ntrclsk13 43414

Description: The interior of the intersection of any pair is equal to the intersection of the interiors if and only if the closure of the unions of any pair is equal to the union of closures. (Contributed by RP, 19-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrcls.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑖 ↑m 𝒫 𝑖) ↦ (𝑗 ∈ 𝒫 𝑖 ↦ (𝑖 ∖ (𝑘‘(𝑖 ∖ 𝑗))))))
ntrcls.d	⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
ntrcls.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐷𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ntrclsk13	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘   𝐼,𝑠,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘   𝜑,𝑠,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem ntrclsk13

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4201	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∩ 𝑡) = (𝑎 ∩ 𝑡))
2	1	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)))
3		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝐼‘𝑠) = (𝐼‘𝑎))
4	3	ineq1d 4207	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡)))
5	2, 4	eqeq12d 2743	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → ((𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡))))
6		ineq2 4202	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝑎 ∩ 𝑡) = (𝑎 ∩ 𝑏))
7	6	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)) = (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)))
8		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝐼‘𝑡) = (𝐼‘𝑏))
9	8	ineq2d 4208	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)))
10	7, 9	eqeq12d 2743	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏))))
11	5, 10	cbvral2vw 3233	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)))
12		ntrcls.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
13		ntrcls.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐷𝐾)
14	12, 13	ntrclsbex 43377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
15		difssd 4128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐵)
16	14, 15	sselpwd 5322	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
18		elpwi 4605	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
19	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
20		difssd 4128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐵)
21	19, 20	sselpwd 5322	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑎) ∈ 𝒫 𝐵)
22		difeq2 4112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎) → (𝐵 ∖ 𝑠) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)))
23	22	eqeq2d 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎) → (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) ↔ 𝑎 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎))))
24		eqcom 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
25	23, 24	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎) → (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎))
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎)) → (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎))
27		dfss4 4254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
28	27	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
29	28	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
30	21, 26, 29	rspcedvd 3609	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠))
31	18, 30	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠))
32		ineq1 4201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (𝑎 ∩ 𝑏) = ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏))
33	32	fveq2d 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = (𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)))
34		fveq2 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (𝐼‘𝑎) = (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)))
35	34	ineq1d 4207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)))
36	33, 35	eqeq12d 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → ((𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏))))
37	36	ralbidv 3172	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏))))
38	37	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠)) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏))))
39		difssd 4128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑡) ⊆ 𝐵)
40	14, 39	sselpwd 5322	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
41	40	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
42		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝜑)
43		elpwi 4605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵)
44	43	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
45		difssd 4128	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑏) ⊆ 𝐵)
46	14, 45	sselpwd 5322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
47	46	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
48		difeq2 4112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏) → (𝐵 ∖ 𝑡) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)))
49	48	eqeq2d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏) → (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) ↔ 𝑏 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏))))
50		eqcom 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
51	49, 50	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏) → (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏))
52	51	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏)) → (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏))
53		dfss4 4254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
54	53	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
55	54	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
56	47, 52, 55	rspcedvd 3609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡))
57	42, 44, 56	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) → ∃𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡))
58		ineq2 4202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏) = ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ (𝐵 ∖ 𝑡)))
59		difundi 4275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ (𝐵 ∖ 𝑡))
60	58, 59	eqtr4di 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏) = (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))
61	60	fveq2d 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → (𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))))
62		fveq2 6891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → (𝐼‘𝑏) = (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))
63	62	ineq2d 4208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
64	61, 63	eqeq12d 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
65	64	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → ((𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
66		simp1l 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → 𝜑)
67	66, 14	jccir 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → (𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V))
68		simp1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
69		simp2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
70		ntrcls.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑖 ↑m 𝒫 𝑖) ↦ (𝑗 ∈ 𝒫 𝑖 ↦ (𝑖 ∖ (𝑘‘(𝑖 ∖ 𝑗))))))
71	70, 12, 13	ntrclsiex 43396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
72		elmapi 8857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
74	73	anim1i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V))
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V))
76		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
77		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
78		difssd 4128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)) ⊆ 𝐵)
79	77, 78	sselpwd 5322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)) ∈ 𝒫 𝐵)
80	76, 79	ffvelcdmd 7089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ∈ 𝒫 𝐵)
81	80	elpwid 4607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ⊆ 𝐵)
82		difssd 4128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐵)
83	77, 82	sselpwd 5322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ 𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
84	76, 83	ffvelcdmd 7089	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∈ 𝒫 𝐵)
85	84	elpwid 4607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ⊆ 𝐵)
86		ssinss1 4233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ⊆ 𝐵 → ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵)
88	81, 87	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ⊆ 𝐵 ∧ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵))
89		rcompleq 4291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ⊆ 𝐵 ∧ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))))
90	75, 88, 89	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))))
91		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
92	71	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
93		eqid 2727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷‘𝐼) = (𝐷‘𝐼)
94		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
95	94	elpwid 4607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
96		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
97	96	elpwid 4607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑡 ⊆ 𝐵)
98	95, 97	unssd 4182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑠 ∪ 𝑡) ⊆ 𝐵)
99	91, 98	sselpwd 5322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑠 ∪ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
100		eqid 2727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡))
101	70, 12, 91, 92, 93, 99, 100	dssmapfv3d 43362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))))
102		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
103		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
104	71	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
105		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
106		eqid 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = ((𝐷‘𝐼)‘𝑠)
107	70, 12, 103, 104, 93, 105, 106	dssmapfv3d 43362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))))
108	102, 107	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))))
109		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
110		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
111	71	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
112		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
113		eqid 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)
114	70, 12, 110, 111, 93, 112, 113	dssmapfv3d 43362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
115	109, 114	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
116	108, 115	uneq12d 4160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) = ((𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))) ∪ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
117		difindi 4277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))) = ((𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))) ∪ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
118	116, 117	eqtr4di 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
119	101, 118	eqeq12d 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) ↔ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))))
120		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝜑)
121	70, 12, 13	ntrclsfv1 43398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐼) = 𝐾)
122		fveq1 6890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)))
123		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = (𝐾‘𝑠))
124		fveq1 6890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = (𝐾‘𝑡))
125	123, 124	uneq12d 4160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡)))
126	122, 125	eqeq12d 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → (((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
127	120, 121, 126	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
128	90, 119, 127	3bitr2d 307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
129	67, 68, 69, 128	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
130	65, 129	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → ((𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
131	41, 57, 130	ralxfrd2 5406	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
132	131	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠)) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
133	38, 132	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠)) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
134	17, 31, 133	ralxfrd2 5406	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
135	11, 134	bitrid 283	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ∃wrex 3065  Vcvv 3469   ∖ cdif 3941   ∪ cun 3942   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-map 8836

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