Theorem ntrclsk13 44060

Description: The interior of the intersection of any pair is equal to the intersection of the interiors if and only if the closure of the unions of any pair is equal to the union of closures. (Contributed by RP, 19-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrcls.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑖 ↑m 𝒫 𝑖) ↦ (𝑗 ∈ 𝒫 𝑖 ↦ (𝑖 ∖ (𝑘‘(𝑖 ∖ 𝑗))))))
ntrcls.d	⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
ntrcls.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐷𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ntrclsk13	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘   𝐼,𝑠,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘   𝜑,𝑠,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem ntrclsk13

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4176	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∩ 𝑡) = (𝑎 ∩ 𝑡))
2	1	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)))
3		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝐼‘𝑠) = (𝐼‘𝑎))
4	3	ineq1d 4182	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡)))
5	2, 4	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → ((𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡))))
6		ineq2 4177	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝑎 ∩ 𝑡) = (𝑎 ∩ 𝑏))
7	6	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)) = (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)))
8		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝐼‘𝑡) = (𝐼‘𝑏))
9	8	ineq2d 4183	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)))
10	7, 9	eqeq12d 2745	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏))))
11	5, 10	cbvral2vw 3219	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)))
12		ntrcls.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
13		ntrcls.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐷𝐾)
14	12, 13	ntrclsbex 44023	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
15		difssd 4100	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐵)
16	14, 15	sselpwd 5283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
18		elpwi 4570	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
19	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
20		difssd 4100	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐵)
21	19, 20	sselpwd 5283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑎) ∈ 𝒫 𝐵)
22		difeq2 4083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎) → (𝐵 ∖ 𝑠) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)))
23	22	eqeq2d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎) → (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) ↔ 𝑎 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎))))
24		eqcom 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
25	23, 24	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎) → (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎))
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎)) → (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎))
27		dfss4 4232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
28	27	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
29	28	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
30	21, 26, 29	rspcedvd 3590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠))
31	18, 30	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠))
32		ineq1 4176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (𝑎 ∩ 𝑏) = ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏))
33	32	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = (𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)))
34		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (𝐼‘𝑎) = (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)))
35	34	ineq1d 4182	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)))
36	33, 35	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → ((𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏))))
37	36	ralbidv 3156	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏))))
38	37	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠)) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏))))
39		difssd 4100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑡) ⊆ 𝐵)
40	14, 39	sselpwd 5283	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
42		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝜑)
43		elpwi 4570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵)
44	43	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
45		difssd 4100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑏) ⊆ 𝐵)
46	14, 45	sselpwd 5283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
47	46	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
48		difeq2 4083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏) → (𝐵 ∖ 𝑡) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)))
49	48	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏) → (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) ↔ 𝑏 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏))))
50		eqcom 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
51	49, 50	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏) → (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏))
52	51	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏)) → (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏))
53		dfss4 4232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
54	53	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
55	54	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
56	47, 52, 55	rspcedvd 3590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡))
57	42, 44, 56	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) → ∃𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡))
58		ineq2 4177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏) = ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ (𝐵 ∖ 𝑡)))
59		difundi 4253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ (𝐵 ∖ 𝑡))
60	58, 59	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏) = (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))
61	60	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → (𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))))
62		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → (𝐼‘𝑏) = (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))
63	62	ineq2d 4183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
64	61, 63	eqeq12d 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
65	64	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → ((𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
66		simp1l 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → 𝜑)
67	66, 14	jccir 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → (𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V))
68		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
69		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
70		ntrcls.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑖 ↑m 𝒫 𝑖) ↦ (𝑗 ∈ 𝒫 𝑖 ↦ (𝑖 ∖ (𝑘‘(𝑖 ∖ 𝑗))))))
71	70, 12, 13	ntrclsiex 44042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
72		elmapi 8822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
74	73	anim1i 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V))
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V))
76		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
77		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
78		difssd 4100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)) ⊆ 𝐵)
79	77, 78	sselpwd 5283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)) ∈ 𝒫 𝐵)
80	76, 79	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ∈ 𝒫 𝐵)
81	80	elpwid 4572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ⊆ 𝐵)
82		difssd 4100	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐵)
83	77, 82	sselpwd 5283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ 𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
84	76, 83	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∈ 𝒫 𝐵)
85	84	elpwid 4572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ⊆ 𝐵)
86		ssinss1 4209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ⊆ 𝐵 → ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵)
88	81, 87	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ⊆ 𝐵 ∧ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵))
89		rcompleq 4268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ⊆ 𝐵 ∧ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))))
90	75, 88, 89	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))))
91		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
92	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
93		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷‘𝐼) = (𝐷‘𝐼)
94		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
95	94	elpwid 4572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
96		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
97	96	elpwid 4572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑡 ⊆ 𝐵)
98	95, 97	unssd 4155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑠 ∪ 𝑡) ⊆ 𝐵)
99	91, 98	sselpwd 5283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑠 ∪ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
100		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡))
101	70, 12, 91, 92, 93, 99, 100	dssmapfv3d 44008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))))
102		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
103		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
104	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
105		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
106		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = ((𝐷‘𝐼)‘𝑠)
107	70, 12, 103, 104, 93, 105, 106	dssmapfv3d 44008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))))
108	102, 107	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))))
109		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
110		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
111	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
112		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
113		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)
114	70, 12, 110, 111, 93, 112, 113	dssmapfv3d 44008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
115	109, 114	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
116	108, 115	uneq12d 4132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) = ((𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))) ∪ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
117		difindi 4255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))) = ((𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))) ∪ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
118	116, 117	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
119	101, 118	eqeq12d 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) ↔ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))))
120		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝜑)
121	70, 12, 13	ntrclsfv1 44044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐼) = 𝐾)
122		fveq1 6857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)))
123		fveq1 6857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = (𝐾‘𝑠))
124		fveq1 6857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = (𝐾‘𝑡))
125	123, 124	uneq12d 4132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡)))
126	122, 125	eqeq12d 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → (((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
127	120, 121, 126	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
128	90, 119, 127	3bitr2d 307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
129	67, 68, 69, 128	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
130	65, 129	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → ((𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
131	41, 57, 130	ralxfrd2 5367	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
132	131	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠)) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
133	38, 132	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠)) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
134	17, 31, 133	ralxfrd2 5367	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
135	11, 134	bitrid 283	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8801

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