Theorem ntrclsk13 41570

Description: The interior of the intersection of any pair is equal to the intersection of the interiors if and only if the closure of the unions of any pair is equal to the union of closures. (Contributed by RP, 19-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrcls.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑖 ↑m 𝒫 𝑖) ↦ (𝑗 ∈ 𝒫 𝑖 ↦ (𝑖 ∖ (𝑘‘(𝑖 ∖ 𝑗))))))
ntrcls.d	⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
ntrcls.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐷𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ntrclsk13	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘   𝐼,𝑠,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘   𝜑,𝑠,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem ntrclsk13

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4136	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∩ 𝑡) = (𝑎 ∩ 𝑡))
2	1	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)))
3		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝐼‘𝑠) = (𝐼‘𝑎))
4	3	ineq1d 4142	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡)))
5	2, 4	eqeq12d 2754	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → ((𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡))))
6		ineq2 4137	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝑎 ∩ 𝑡) = (𝑎 ∩ 𝑏))
7	6	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)) = (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)))
8		fveq2 6756	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝐼‘𝑡) = (𝐼‘𝑏))
9	8	ineq2d 4143	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)))
10	7, 9	eqeq12d 2754	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏))))
11	5, 10	cbvral2vw 3385	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)))
12		ntrcls.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
13		ntrcls.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐷𝐾)
14	12, 13	ntrclsbex 41533	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
15		difssd 4063	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐵)
16	14, 15	sselpwd 5245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
18		elpwi 4539	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
19	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
20		difssd 4063	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐵)
21	19, 20	sselpwd 5245	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑎) ∈ 𝒫 𝐵)
22		difeq2 4047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎) → (𝐵 ∖ 𝑠) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)))
23	22	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎) → (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) ↔ 𝑎 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎))))
24		eqcom 2745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
25	23, 24	bitrdi 286	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎) → (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎))
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎)) → (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎))
27		dfss4 4189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
28	27	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
29	28	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
30	21, 26, 29	rspcedvd 3555	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠))
31	18, 30	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠))
32		ineq1 4136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (𝑎 ∩ 𝑏) = ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏))
33	32	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = (𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)))
34		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (𝐼‘𝑎) = (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)))
35	34	ineq1d 4142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)))
36	33, 35	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → ((𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏))))
37	36	ralbidv 3120	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏))))
38	37	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠)) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏))))
39		difssd 4063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑡) ⊆ 𝐵)
40	14, 39	sselpwd 5245	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
41	40	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
42		simpll 763	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝜑)
43		elpwi 4539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵)
44	43	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
45		difssd 4063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑏) ⊆ 𝐵)
46	14, 45	sselpwd 5245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
47	46	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
48		difeq2 4047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏) → (𝐵 ∖ 𝑡) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)))
49	48	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏) → (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) ↔ 𝑏 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏))))
50		eqcom 2745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
51	49, 50	bitrdi 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏) → (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏))
52	51	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏)) → (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏))
53		dfss4 4189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
54	53	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
55	54	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
56	47, 52, 55	rspcedvd 3555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡))
57	42, 44, 56	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) → ∃𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡))
58		ineq2 4137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏) = ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ (𝐵 ∖ 𝑡)))
59		difundi 4210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ (𝐵 ∖ 𝑡))
60	58, 59	eqtr4di 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏) = (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))
61	60	fveq2d 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → (𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))))
62		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → (𝐼‘𝑏) = (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))
63	62	ineq2d 4143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
64	61, 63	eqeq12d 2754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
65	64	3ad2ant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → ((𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
66		simp1l 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → 𝜑)
67	66, 14	jccir 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → (𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V))
68		simp1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
69		simp2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
70		ntrcls.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑖 ↑m 𝒫 𝑖) ↦ (𝑗 ∈ 𝒫 𝑖 ↦ (𝑖 ∖ (𝑘‘(𝑖 ∖ 𝑗))))))
71	70, 12, 13	ntrclsiex 41552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
72		elmapi 8595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
74	73	anim1i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V))
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V))
76		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
77		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
78		difssd 4063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)) ⊆ 𝐵)
79	77, 78	sselpwd 5245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)) ∈ 𝒫 𝐵)
80	76, 79	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ∈ 𝒫 𝐵)
81	80	elpwid 4541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ⊆ 𝐵)
82		difssd 4063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐵)
83	77, 82	sselpwd 5245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ 𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
84	76, 83	ffvelrnd 6944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∈ 𝒫 𝐵)
85	84	elpwid 4541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ⊆ 𝐵)
86		ssinss1 4168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ⊆ 𝐵 → ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵)
88	81, 87	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ⊆ 𝐵 ∧ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵))
89		rcompleq 4226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ⊆ 𝐵 ∧ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))))
90	75, 88, 89	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))))
91		simplr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
92	71	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
93		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷‘𝐼) = (𝐷‘𝐼)
94		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
95	94	elpwid 4541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
96		simprr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
97	96	elpwid 4541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑡 ⊆ 𝐵)
98	95, 97	unssd 4116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑠 ∪ 𝑡) ⊆ 𝐵)
99	91, 98	sselpwd 5245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑠 ∪ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
100		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡))
101	70, 12, 91, 92, 93, 99, 100	dssmapfv3d 41516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))))
102		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
103		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
104	71	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
105		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
106		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = ((𝐷‘𝐼)‘𝑠)
107	70, 12, 103, 104, 93, 105, 106	dssmapfv3d 41516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))))
108	102, 107	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))))
109		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
110		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
111	71	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
112		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
113		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)
114	70, 12, 110, 111, 93, 112, 113	dssmapfv3d 41516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
115	109, 114	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
116	108, 115	uneq12d 4094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) = ((𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))) ∪ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
117		difindi 4212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))) = ((𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))) ∪ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
118	116, 117	eqtr4di 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
119	101, 118	eqeq12d 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) ↔ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))))
120		simpll 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝜑)
121	70, 12, 13	ntrclsfv1 41554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐼) = 𝐾)
122		fveq1 6755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)))
123		fveq1 6755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = (𝐾‘𝑠))
124		fveq1 6755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = (𝐾‘𝑡))
125	123, 124	uneq12d 4094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡)))
126	122, 125	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → (((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
127	120, 121, 126	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
128	90, 119, 127	3bitr2d 306	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
129	67, 68, 69, 128	syl12anc 833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
130	65, 129	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → ((𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
131	41, 57, 130	ralxfrd2 5330	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
132	131	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠)) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
133	38, 132	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠)) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
134	17, 31, 133	ralxfrd2 5330	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
135	11, 134	syl5bb 282	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-map 8575

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