Theorem ntrclsk13 44169

Description: The interior of the intersection of any pair is equal to the intersection of the interiors if and only if the closure of the unions of any pair is equal to the union of closures. (Contributed by RP, 19-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrcls.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑖 ↑m 𝒫 𝑖) ↦ (𝑗 ∈ 𝒫 𝑖 ↦ (𝑖 ∖ (𝑘‘(𝑖 ∖ 𝑗))))))
ntrcls.d	⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
ntrcls.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐷𝐾)

Assertion

Ref	Expression
ntrclsk13	⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘   𝐼,𝑠,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘   𝜑,𝑠,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑠)

Proof of Theorem ntrclsk13

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 4162	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝑠 ∩ 𝑡) = (𝑎 ∩ 𝑡))
2	1	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)))
3		fveq2 6828	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → (𝐼‘𝑠) = (𝐼‘𝑎))
4	3	ineq1d 4168	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡)))
5	2, 4	eqeq12d 2747	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑎 → ((𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡))))
6		ineq2 4163	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝑎 ∩ 𝑡) = (𝑎 ∩ 𝑏))
7	6	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)) = (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)))
8		fveq2 6828	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → (𝐼‘𝑡) = (𝐼‘𝑏))
9	8	ineq2d 4169	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)))
10	7, 9	eqeq12d 2747	. . 3 ⊢ (𝑡 = 𝑏 → ((𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏))))
11	5, 10	cbvral2vw 3214	. 2 ⊢ (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)))
12		ntrcls.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑂‘𝐵)
13		ntrcls.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐷𝐾)
14	12, 13	ntrclsbex 44132	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
15		difssd 4086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐵)
16	14, 15	sselpwd 5268	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
17	16	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
18		elpwi 4556	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
19	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
20		difssd 4086	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑎) ⊆ 𝐵)
21	19, 20	sselpwd 5268	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑎) ∈ 𝒫 𝐵)
22		difeq2 4069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎) → (𝐵 ∖ 𝑠) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)))
23	22	eqeq2d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎) → (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) ↔ 𝑎 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎))))
24		eqcom 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
25	23, 24	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎) → (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎))
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑠 = (𝐵 ∖ 𝑎)) → (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎))
27		dfss4 4218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
28	27	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
29	28	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑎)) = 𝑎)
30	21, 26, 29	rspcedvd 3574	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠))
31	18, 30	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠))
32		ineq1 4162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (𝑎 ∩ 𝑏) = ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏))
33	32	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = (𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)))
34		fveq2 6828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (𝐼‘𝑎) = (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)))
35	34	ineq1d 4168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)))
36	33, 35	eqeq12d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → ((𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏))))
37	36	ralbidv 3155	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏))))
38	37	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠)) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏))))
39		difssd 4086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑡) ⊆ 𝐵)
40	14, 39	sselpwd 5268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
42		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝜑)
43		elpwi 4556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵)
44	43	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
45		difssd 4086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑏) ⊆ 𝐵)
46	14, 45	sselpwd 5268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∖ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
47	46	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ 𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
48		difeq2 4069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏) → (𝐵 ∖ 𝑡) = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)))
49	48	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏) → (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) ↔ 𝑏 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏))))
50		eqcom 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
51	49, 50	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏) → (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏))
52	51	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑡 = (𝐵 ∖ 𝑏)) → (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏))
53		dfss4 4218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
54	53	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
55	54	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∖ (𝐵 ∖ 𝑏)) = 𝑏)
56	47, 52, 55	rspcedvd 3574	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡))
57	42, 44, 56	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝒫 𝐵) → ∃𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡))
58		ineq2 4163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏) = ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ (𝐵 ∖ 𝑡)))
59		difundi 4239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ (𝐵 ∖ 𝑡))
60	58, 59	eqtr4di 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏) = (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))
61	60	fveq2d 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → (𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))))
62		fveq2 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → (𝐼‘𝑏) = (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))
63	62	ineq2d 4169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
64	61, 63	eqeq12d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡) → ((𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
65	64	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → ((𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
66		simp1l 1198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → 𝜑)
67	66, 14	jccir 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → (𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V))
68		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
69		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
70		ntrcls.o	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑖 ↑m 𝒫 𝑖) ↦ (𝑗 ∈ 𝒫 𝑖 ↦ (𝑖 ∖ (𝑘‘(𝑖 ∖ 𝑗))))))
71	70, 12, 13	ntrclsiex 44151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
72		elmapi 8779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
74	73	anim1i 615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V))
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V))
76		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
77		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
78		difssd 4086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)) ⊆ 𝐵)
79	77, 78	sselpwd 5268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)) ∈ 𝒫 𝐵)
80	76, 79	ffvelcdmd 7024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ∈ 𝒫 𝐵)
81	80	elpwid 4558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ⊆ 𝐵)
82		difssd 4086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ 𝑠) ⊆ 𝐵)
83	77, 82	sselpwd 5268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐵 ∖ 𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
84	76, 83	ffvelcdmd 7024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∈ 𝒫 𝐵)
85	84	elpwid 4558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ⊆ 𝐵)
86		ssinss1 4195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ⊆ 𝐵 → ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵)
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵)
88	81, 87	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ⊆ 𝐵 ∧ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵))
89		rcompleq 4254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) ⊆ 𝐵 ∧ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ⊆ 𝐵) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))))
90	75, 88, 89	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))))
91		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
92	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
93		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷‘𝐼) = (𝐷‘𝐼)
94		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
95	94	elpwid 4558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
96		simprr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
97	96	elpwid 4558	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑡 ⊆ 𝐵)
98	95, 97	unssd 4141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑠 ∪ 𝑡) ⊆ 𝐵)
99	91, 98	sselpwd 5268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑠 ∪ 𝑡) ∈ 𝒫 𝐵)
100		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡))
101	70, 12, 91, 92, 93, 99, 100	dssmapfv3d 44117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))))
102		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
103		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
104	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
105		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
106		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = ((𝐷‘𝐼)‘𝑠)
107	70, 12, 103, 104, 93, 105, 106	dssmapfv3d 44117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))))
108	102, 107	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))))
109		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
110		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
111	71	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
112		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
113		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)
114	70, 12, 110, 111, 93, 112, 113	dssmapfv3d 44117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
115	109, 114	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
116	108, 115	uneq12d 4118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) = ((𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))) ∪ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
117		difindi 4241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))) = ((𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠))) ∪ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))
118	116, 117	eqtr4di 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡)))))
119	101, 118	eqeq12d 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) ↔ (𝐵 ∖ (𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡)))) = (𝐵 ∖ ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))))))
120		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝜑)
121	70, 12, 13	ntrclsfv1 44153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝐼) = 𝐾)
122		fveq1 6827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → ((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)))
123		fveq1 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → ((𝐷‘𝐼)‘𝑠) = (𝐾‘𝑠))
124		fveq1 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → ((𝐷‘𝐼)‘𝑡) = (𝐾‘𝑡))
125	123, 124	uneq12d 4118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡)))
126	122, 125	eqeq12d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷‘𝐼) = 𝐾 → (((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
127	120, 121, 126	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → (((𝐷‘𝐼)‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = (((𝐷‘𝐼)‘𝑠) ∪ ((𝐷‘𝐼)‘𝑡)) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
128	90, 119, 127	3bitr2d 307	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
129	67, 68, 69, 128	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → ((𝐼‘(𝐵 ∖ (𝑠 ∪ 𝑡))) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑡))) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
130	65, 129	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑏 = (𝐵 ∖ 𝑡)) → ((𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ (𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
131	41, 57, 130	ralxfrd2 5352	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
132	131	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠)) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘((𝐵 ∖ 𝑠) ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘(𝐵 ∖ 𝑠)) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
133	38, 132	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑎 = (𝐵 ∖ 𝑠)) → (∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
134	17, 31, 133	ralxfrd2 5352	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑏 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑎 ∩ 𝑏)) = ((𝐼‘𝑎) ∩ (𝐼‘𝑏)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))
135	11, 134	bitrid 283	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐼‘(𝑠 ∩ 𝑡)) = ((𝐼‘𝑠) ∩ (𝐼‘𝑡)) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵(𝐾‘(𝑠 ∪ 𝑡)) = ((𝐾‘𝑠) ∪ (𝐾‘𝑡))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4549   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-map 8758

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