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Theorem ldgenpisyslem1 34165
Description: Lemma for ldgenpisys 34168. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
dynkin.o (𝜑𝑂𝑉)
ldgenpisys.e 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
ldgenpisys.1 (𝜑𝑇𝑃)
ldgenpisyslem1.1 (𝜑𝐴𝐸)
Assertion
Ref Expression
ldgenpisyslem1 (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑠,𝑏,𝑥,𝐴,𝑡,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝑦,𝑇   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4079 . . 3 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂
2 dynkin.o . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
3 pwexg 5377 . . . 4 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
4 rabexg 5336 . . . 4 (𝒫 𝑂 ∈ V → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V)
5 elpwg 4602 . . . 4 ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
62, 3, 4, 54syl 19 . . 3 (𝜑 → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
71, 6mpbiri 258 . 2 (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
8 ineq2 4213 . . . . 5 (𝑏 = ∅ → (𝐴𝑏) = (𝐴 ∩ ∅))
98eleq1d 2825 . . . 4 (𝑏 = ∅ → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸))
10 0elpw 5355 . . . . 5 ∅ ∈ 𝒫 𝑂
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑂)
12 dynkin.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
1312isldsys 34158 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
1413simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝐿 → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)))
1514simp1d 1142 . . . . . . . . 9 (𝑡𝐿 → ∅ ∈ 𝑡)
1615ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∅ ∈ 𝑡)
1716ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
1817ralrimiva 3145 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
19 0ex 5306 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
2019elintrab 4959 . . . . . 6 (∅ ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
2118, 20sylibr 234 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
22 in0 4394 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
23 ldgenpisys.e . . . . 5 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
2421, 22, 233eltr4g 2857 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸)
259, 11, 24elrabd 3693 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
26 ineq2 4213 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑥 → (𝐴𝑏) = (𝐴𝑥))
2726eleq1d 2825 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑥 → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸))
2827elrab 3691 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸))
29 pwidg 4619 . . . . . . . . . 10 (𝑂𝑉𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
302, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
3231elpwdifcl 32546 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝑂𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
3312pwldsys 34159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂𝐿)
342, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 𝒫 𝑂𝐿)
35 ldgenpisys.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇𝑃)
36 dynkin.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
3736ispisys 34154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
3835, 37sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
3938simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
4039elpwid 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
41 sseq2 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝒫 𝑂 → (𝑇𝑡𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂))
4241intminss 4973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝒫 𝑂𝐿𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂) → {𝑡𝐿𝑇𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
4334, 40, 42syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
4423, 43eqsstrid 4021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂)
45 ldgenpisyslem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴𝐸)
4644, 45sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
4746elpwid 4608 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑂)
4847ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝐴𝑂)
49 difin 4271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∖ (𝐴𝑥)) = (𝐴𝑥)
50 difin2 4300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑂 → (𝐴𝑥) = ((𝑂𝑥) ∩ 𝐴))
5149, 50eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴𝑥)) = ((𝑂𝑥) ∩ 𝐴))
52 incom 4208 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑂𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝑂𝑥))
5351, 52eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)))
54 difuncomp 32567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))))
5553, 54eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))))
5648, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))))
57 difeq2 4119 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥)) → (𝑂𝑦) = (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))))
5857eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥)) → ((𝑂𝑦) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))) ∈ 𝑡))
5914simp2d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐿 → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
6059ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
61 difeq2 4119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑦))
6261eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂𝑦) ∈ 𝑡))
6362cbvralvw 3236 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ ∀𝑦𝑡 (𝑂𝑦) ∈ 𝑡)
6460, 63sylib 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∀𝑦𝑡 (𝑂𝑦) ∈ 𝑡)
65 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑡𝐿)
6645, 23eleqtrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 {𝑡𝐿𝑇𝑡})
67 elintrabg 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴𝐸 → (𝐴 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝐴𝑡)))
6845, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝐴𝑡)))
6966, 68mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝐴𝑡))
7069r19.21bi 3250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝑇𝑡𝐴𝑡))
7170imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝐴𝑡)
7271adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝐴𝑡)
73 difeq2 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝐴 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴))
7473eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂𝐴) ∈ 𝑡))
7559adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡𝐿𝐴𝑡) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
76 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡𝐿𝐴𝑡) → 𝐴𝑡)
7774, 75, 76rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡𝐿𝐴𝑡) → (𝑂𝐴) ∈ 𝑡)
7865, 72, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑂𝐴) ∈ 𝑡)
79 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸))
8079simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)
8180, 23eleqtrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
82 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 ∈ V
8382inex2 5317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝑥) ∈ V
84 elintrabg 4960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑥) ∈ V → ((𝐴𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡)))
8583, 84mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ((𝐴𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡)))
8681, 85mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡))
87 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑇𝑡)
88 rspa 3247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡))
8988imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡)
9086, 65, 87, 89syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡)
91 incom 4208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑂𝐴) ∩ (𝐴𝑥)) = ((𝐴𝑥) ∩ (𝑂𝐴))
92 inss1 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝑥) ⊆ 𝐴
93 disjdif 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∩ (𝑂𝐴)) = ∅
94 ssdisj 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑥) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂𝐴)) = ∅) → ((𝐴𝑥) ∩ (𝑂𝐴)) = ∅)
9592, 93, 94mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑥) ∩ (𝑂𝐴)) = ∅
9691, 95eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑂𝐴) ∩ (𝐴𝑥)) = ∅
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ((𝑂𝐴) ∩ (𝐴𝑥)) = ∅)
9812, 65, 78, 90, 97unelldsys 34160 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥)) ∈ 𝑡)
9958, 64, 98rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))) ∈ 𝑡)
10056, 99eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡)
101100ex 412 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡))
102101ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡))
103 inex1g 5318 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐸 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ V)
10445, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ V)
105104adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ V)
106 elintrabg 4960 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ V → ((𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡)))
107105, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡)))
108102, 107mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
109108, 23eleqtrrdi 2851 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸)
11032, 109jca 511 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝑂𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸))
11128, 110sylan2b 594 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑂𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸))
112 ineq2 4213 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑂𝑥) → (𝐴𝑏) = (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)))
113112eleq1d 2825 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑂𝑥) → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸))
114113elrab 3691 . . . . 5 ((𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ ((𝑂𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸))
115111, 114sylibr 234 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) → (𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
116115ralrimiva 3145 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
117 ineq2 4213 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑥 → (𝐴𝑏) = (𝐴 𝑥))
118117eleq1d 2825 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑥 → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 𝑥) ∈ 𝐸))
1191sspwi 4611 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
120 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
121119, 120sselid 3980 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
122121elpwunicl 32568 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑂)
123 uniin2 32566 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑥 (𝐴𝑦) = (𝐴 𝑥)
124 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
125124inex2 5317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑦) ∈ V
126125dfiun3 5979 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑥 (𝐴𝑦) = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
127123, 126eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝑥) = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
128 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑡𝐿)
129 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦(𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
130 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 𝑥 ≼ ω
131 nfdisj1 5123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦Disj 𝑦𝑥 𝑦
132130, 131nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)
133129, 132nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
134 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 𝑡𝐿
135133, 134nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦(((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿)
136 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 𝑇𝑡
137135, 136nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡)
138 elpwi 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
139138ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
140139sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
141 ineq2 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑦 → (𝐴𝑏) = (𝐴𝑦))
142141eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑦 → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴𝑦) ∈ 𝐸))
143142elrab 3691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑦) ∈ 𝐸))
144143simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} → (𝐴𝑦) ∈ 𝐸)
145140, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐴𝑦) ∈ 𝐸)
146 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑡𝐿)
147 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑇𝑡)
14823eleq2i 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴𝑦) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴𝑦) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
149125elintrab 4959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴𝑦) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
150148, 149bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑦) ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
151 rspa 3247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
152150, 151sylanb 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑦) ∈ 𝐸𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
153152imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑦) ∈ 𝐸𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡)
154145, 146, 147, 153syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡)
155154ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑦𝑥 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
156137, 155ralrimi 3256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∀𝑦𝑥 (𝐴𝑦) ∈ 𝑡)
157 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) = (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
158157rnmptss 7142 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦𝑥 (𝐴𝑦) ∈ 𝑡 → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ⊆ 𝑡)
159156, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ⊆ 𝑡)
160128, 159sselpwd 5327 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
161 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
162161simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑥 ≼ ω)
163 1stcrestlem 23461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ≼ ω → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω)
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω)
165161simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → Disj 𝑦𝑥 𝑦)
166 disjin2 32601 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦𝑥 (𝐴𝑦))
167 disjrnmpt 32599 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝑥 (𝐴𝑦) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑧)
168165, 166, 1673syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑧)
169 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦(𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
170169nfrn 5962 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
171 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧𝑦
172 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑧
173 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧𝑦 = 𝑧)
174170, 171, 172, 173cbvdisjf 32585 . . . . . . . . . . . . 13 (Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑧)
175168, 174sylibr 234 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦)
176 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → (𝑧 ≼ ω ↔ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω))
177172, 170disjeq1f 32587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → (Disj 𝑦𝑧 𝑦Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦))
178176, 177anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) ↔ (ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦)))
179 unieq 4917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → 𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)))
180179eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → ( 𝑧𝑡 ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡))
181178, 180imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → (((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡) ↔ ((ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡)))
18214simp3d 1144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))
183 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑧 ≼ ω))
184 disjeq1 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦𝑧 𝑦))
185183, 184anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ↔ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)))
186 unieq 4917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 𝑥 = 𝑧)
187186eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥𝑡 𝑧𝑡))
188185, 187imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡) ↔ ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡)))
189188cbvralvw 3236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡))
190182, 189sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐿 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡))
191190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝐿 ∧ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡))
192 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝐿 ∧ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
193181, 191, 192rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝐿 ∧ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ((ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡))
194193imp 406 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡𝐿 ∧ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦)) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡)
195128, 160, 164, 175, 194syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡)
196127, 195eqeltrid 2844 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑡)
197196ex 412 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑡))
198197ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑡))
199 vuniex 7760 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
200199inex2 5317 . . . . . . . . 9 (𝐴 𝑥) ∈ V
201200elintrab 4959 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑡))
202198, 201sylibr 234 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝐴 𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
203202, 23eleqtrrdi 2851 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝐸)
204118, 122, 203elrabd 3693 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
205204ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}))
206205ralrimiva 3145 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}))
20725, 116, 2063jca 1128 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})))
20812isldsys 34158 . 2 ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿 ↔ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}))))
2097, 207, 208sylanbrc 583 1 (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332  𝒫 cpw 4599   cuni 4906   cint 4945   ciun 4990  Disj wdisj 5109   class class class wbr 5142  cmpt 5224  ran crn 5685  cfv 6560  ωcom 7888  cdom 8984  ficfi 9451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983
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