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Theorem ldgenpisyslem1 33838
Description: Lemma for ldgenpisys 33841. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
dynkin.o (𝜑𝑂𝑉)
ldgenpisys.e 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
ldgenpisys.1 (𝜑𝑇𝑃)
ldgenpisyslem1.1 (𝜑𝐴𝐸)
Assertion
Ref Expression
ldgenpisyslem1 (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑠,𝑏,𝑥,𝐴,𝑡,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝑦,𝑇   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4069 . . 3 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂
2 dynkin.o . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
3 pwexg 5372 . . . 4 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
4 rabexg 5328 . . . 4 (𝒫 𝑂 ∈ V → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V)
5 elpwg 4601 . . . 4 ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
62, 3, 4, 54syl 19 . . 3 (𝜑 → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
71, 6mpbiri 257 . 2 (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
8 ineq2 4200 . . . . 5 (𝑏 = ∅ → (𝐴𝑏) = (𝐴 ∩ ∅))
98eleq1d 2810 . . . 4 (𝑏 = ∅ → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸))
10 0elpw 5350 . . . . 5 ∅ ∈ 𝒫 𝑂
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑂)
12 dynkin.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
1312isldsys 33831 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
1413simprbi 495 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝐿 → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)))
1514simp1d 1139 . . . . . . . . 9 (𝑡𝐿 → ∅ ∈ 𝑡)
1615ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∅ ∈ 𝑡)
1716ex 411 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
1817ralrimiva 3136 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
19 0ex 5302 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
2019elintrab 4958 . . . . . 6 (∅ ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
2118, 20sylibr 233 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
22 in0 4387 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
23 ldgenpisys.e . . . . 5 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
2421, 22, 233eltr4g 2842 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸)
259, 11, 24elrabd 3677 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
26 ineq2 4200 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑥 → (𝐴𝑏) = (𝐴𝑥))
2726eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑥 → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸))
2827elrab 3675 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸))
29 pwidg 4618 . . . . . . . . . 10 (𝑂𝑉𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
302, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
3130adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
3231elpwdifcl 32366 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝑂𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
3312pwldsys 33832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂𝐿)
342, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 𝒫 𝑂𝐿)
35 ldgenpisys.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇𝑃)
36 dynkin.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
3736ispisys 33827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
3835, 37sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
3938simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
4039elpwid 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
41 sseq2 3999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝒫 𝑂 → (𝑇𝑡𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂))
4241intminss 4972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝒫 𝑂𝐿𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂) → {𝑡𝐿𝑇𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
4334, 40, 42syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
4423, 43eqsstrid 4021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂)
45 ldgenpisyslem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴𝐸)
4644, 45sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
4746elpwid 4607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑂)
4847ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝐴𝑂)
49 difin 4256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∖ (𝐴𝑥)) = (𝐴𝑥)
50 difin2 4286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑂 → (𝐴𝑥) = ((𝑂𝑥) ∩ 𝐴))
5149, 50eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴𝑥)) = ((𝑂𝑥) ∩ 𝐴))
52 incom 4195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑂𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝑂𝑥))
5351, 52eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)))
54 difuncomp 32387 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))))
5553, 54eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))))
5648, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))))
57 difeq2 4108 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥)) → (𝑂𝑦) = (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))))
5857eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥)) → ((𝑂𝑦) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))) ∈ 𝑡))
5914simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐿 → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
6059ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
61 difeq2 4108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑦))
6261eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂𝑦) ∈ 𝑡))
6362cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ ∀𝑦𝑡 (𝑂𝑦) ∈ 𝑡)
6460, 63sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∀𝑦𝑡 (𝑂𝑦) ∈ 𝑡)
65 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑡𝐿)
6645, 23eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 {𝑡𝐿𝑇𝑡})
67 elintrabg 4959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴𝐸 → (𝐴 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝐴𝑡)))
6845, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝐴𝑡)))
6966, 68mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝐴𝑡))
7069r19.21bi 3239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝑇𝑡𝐴𝑡))
7170imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝐴𝑡)
7271adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝐴𝑡)
73 difeq2 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝐴 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴))
7473eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂𝐴) ∈ 𝑡))
7559adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡𝐿𝐴𝑡) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
76 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡𝐿𝐴𝑡) → 𝐴𝑡)
7774, 75, 76rspcdva 3603 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡𝐿𝐴𝑡) → (𝑂𝐴) ∈ 𝑡)
7865, 72, 77syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑂𝐴) ∈ 𝑡)
79 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸))
8079simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)
8180, 23eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
82 vex 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 ∈ V
8382inex2 5313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝑥) ∈ V
84 elintrabg 4959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑥) ∈ V → ((𝐴𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡)))
8583, 84mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ((𝐴𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡)))
8681, 85mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡))
87 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑇𝑡)
88 rspa 3236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡))
8988imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡)
9086, 65, 87, 89syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡)
91 incom 4195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑂𝐴) ∩ (𝐴𝑥)) = ((𝐴𝑥) ∩ (𝑂𝐴))
92 inss1 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝑥) ⊆ 𝐴
93 disjdif 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∩ (𝑂𝐴)) = ∅
94 ssdisj 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑥) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂𝐴)) = ∅) → ((𝐴𝑥) ∩ (𝑂𝐴)) = ∅)
9592, 93, 94mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑥) ∩ (𝑂𝐴)) = ∅
9691, 95eqtri 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑂𝐴) ∩ (𝐴𝑥)) = ∅
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ((𝑂𝐴) ∩ (𝐴𝑥)) = ∅)
9812, 65, 78, 90, 97unelldsys 33833 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥)) ∈ 𝑡)
9958, 64, 98rspcdva 3603 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))) ∈ 𝑡)
10056, 99eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡)
101100ex 411 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡))
102101ralrimiva 3136 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡))
103 inex1g 5314 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐸 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ V)
10445, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ V)
105104adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ V)
106 elintrabg 4959 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ V → ((𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡)))
107105, 106syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡)))
108102, 107mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
109108, 23eleqtrrdi 2836 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸)
11032, 109jca 510 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝑂𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸))
11128, 110sylan2b 592 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑂𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸))
112 ineq2 4200 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑂𝑥) → (𝐴𝑏) = (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)))
113112eleq1d 2810 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑂𝑥) → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸))
114113elrab 3675 . . . . 5 ((𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ ((𝑂𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸))
115111, 114sylibr 233 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) → (𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
116115ralrimiva 3136 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
117 ineq2 4200 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑥 → (𝐴𝑏) = (𝐴 𝑥))
118117eleq1d 2810 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑥 → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 𝑥) ∈ 𝐸))
1191sspwi 4610 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
120 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
121119, 120sselid 3970 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
122121elpwunicl 32388 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑂)
123 uniin2 32386 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑥 (𝐴𝑦) = (𝐴 𝑥)
124 vex 3467 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
125124inex2 5313 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑦) ∈ V
126125dfiun3 5963 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑥 (𝐴𝑦) = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
127123, 126eqtr3i 2755 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝑥) = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
128 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑡𝐿)
129 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦(𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
130 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 𝑥 ≼ ω
131 nfdisj1 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦Disj 𝑦𝑥 𝑦
132130, 131nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)
133129, 132nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
134 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 𝑡𝐿
135133, 134nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦(((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿)
136 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 𝑇𝑡
137135, 136nfan 1894 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡)
138 elpwi 4605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
139138ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
140139sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
141 ineq2 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑦 → (𝐴𝑏) = (𝐴𝑦))
142141eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑦 → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴𝑦) ∈ 𝐸))
143142elrab 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑦) ∈ 𝐸))
144143simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} → (𝐴𝑦) ∈ 𝐸)
145140, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐴𝑦) ∈ 𝐸)
146 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑡𝐿)
147 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑇𝑡)
14823eleq2i 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴𝑦) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴𝑦) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
149125elintrab 4958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴𝑦) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
150148, 149bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑦) ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
151 rspa 3236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
152150, 151sylanb 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑦) ∈ 𝐸𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
153152imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑦) ∈ 𝐸𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡)
154145, 146, 147, 153syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡)
155154ex 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑦𝑥 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
156137, 155ralrimi 3245 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∀𝑦𝑥 (𝐴𝑦) ∈ 𝑡)
157 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) = (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
158157rnmptss 7127 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦𝑥 (𝐴𝑦) ∈ 𝑡 → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ⊆ 𝑡)
159156, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ⊆ 𝑡)
160128, 159sselpwd 5323 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
161 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
162161simpld 493 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑥 ≼ ω)
163 1stcrestlem 23372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ≼ ω → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω)
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω)
165161simprd 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → Disj 𝑦𝑥 𝑦)
166 disjin2 32420 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦𝑥 (𝐴𝑦))
167 disjrnmpt 32418 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝑥 (𝐴𝑦) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑧)
168165, 166, 1673syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑧)
169 nfmpt1 5251 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦(𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
170169nfrn 5948 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
171 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧𝑦
172 nfcv 2892 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑧
173 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧𝑦 = 𝑧)
174170, 171, 172, 173cbvdisjf 32404 . . . . . . . . . . . . 13 (Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑧)
175168, 174sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦)
176 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → (𝑧 ≼ ω ↔ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω))
177172, 170disjeq1f 32406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → (Disj 𝑦𝑧 𝑦Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦))
178176, 177anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) ↔ (ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦)))
179 unieq 4914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → 𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)))
180179eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → ( 𝑧𝑡 ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡))
181178, 180imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → (((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡) ↔ ((ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡)))
18214simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))
183 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑧 ≼ ω))
184 disjeq1 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦𝑧 𝑦))
185183, 184anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ↔ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)))
186 unieq 4914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 𝑥 = 𝑧)
187186eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥𝑡 𝑧𝑡))
188185, 187imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡) ↔ ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡)))
189188cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡))
190182, 189sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐿 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡))
191190adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝐿 ∧ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡))
192 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝐿 ∧ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
193181, 191, 192rspcdva 3603 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝐿 ∧ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ((ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡))
194193imp 405 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡𝐿 ∧ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦)) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡)
195128, 160, 164, 175, 194syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡)
196127, 195eqeltrid 2829 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑡)
197196ex 411 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑡))
198197ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑡))
199 vuniex 7741 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
200199inex2 5313 . . . . . . . . 9 (𝐴 𝑥) ∈ V
201200elintrab 4958 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑡))
202198, 201sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝐴 𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
203202, 23eleqtrrdi 2836 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝐸)
204118, 122, 203elrabd 3677 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
205204ex 411 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}))
206205ralrimiva 3136 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}))
20725, 116, 2063jca 1125 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})))
20812isldsys 33831 . 2 ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿 ↔ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}))))
2097, 207, 208sylanbrc 581 1 (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463  cdif 3937  cun 3938  cin 3939  wss 3940  c0 4318  𝒫 cpw 4598   cuni 4903   cint 4944   ciun 4991  Disj wdisj 5108   class class class wbr 5143  cmpt 5226  ran crn 5673  cfv 6542  ωcom 7867  cdom 8958  ficfi 9431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-acn 9963
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