Theorem ldgenpisyslem1 32031

Description: Lemma for ldgenpisys 32034. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldgenpisys.e	⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
ldgenpisys.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
ldgenpisyslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisyslem1	⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑠,𝑏,𝑥,𝐴,𝑡,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝑦,𝑇   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4009	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂
2		dynkin.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
3		pwexg 5296	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
4		rabexg 5250	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ V → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V)
5		elpwg 4533	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
6	2, 3, 4, 5	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
7	1, 6	mpbiri 257	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
8		ineq2 4137	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ ∅))
9	8	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸))
10		0elpw 5273	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝑂
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑂)
12		dynkin.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
13	12	isldsys 32024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
14	13	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
15	14	simp1d 1140	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∅ ∈ 𝑡)
16	15	ad2antlr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∅ ∈ 𝑡)
17	16	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
18	17	ralrimiva 3107	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
19		0ex 5226	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
20	19	elintrab 4888	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
21	18, 20	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
22		in0 4322	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
23		ldgenpisys.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
24	21, 22, 23	3eltr4g 2856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸)
25	9, 11, 24	elrabd 3619	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
26		ineq2 4137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ 𝑥))
27	26	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸))
28	27	elrab 3617	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸))
29		pwidg 4552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
30	2, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
32	31	elpwdifcl 30776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
33	12	pwldsys 32025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ 𝐿)
34	2, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ 𝐿)
35		ldgenpisys.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
36		dynkin.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
37	36	ispisys 32020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
38	35, 37	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
39	38	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
40	39	elpwid 4541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
41		sseq2 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑡 = 𝒫 𝑂 → (𝑇 ⊆ 𝑡 ↔ 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂))
42	41	intminss 4902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝒫 𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂) → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
43	34, 40, 42	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
44	23, 43	eqsstrid 3965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂)
45		ldgenpisyslem1.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
46	44, 45	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
47	46	elpwid 4541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
48	47	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
49		difin 4192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝐴 ∖ 𝑥)
50		difin2 4222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ 𝑥) = ((𝑂 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴))
51	49, 50	syl5eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ((𝑂 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴))
52		incom 4131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥))
53	51, 52	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)))
54		difuncomp 30794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
55	53, 54	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
56	48, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
57		difeq2 4047	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥)) → (𝑂 ∖ 𝑦) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
58	57	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥)) → ((𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))) ∈ 𝑡))
59	14	simp2d 1141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
60	59	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
61		difeq2 4047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝑦))
62	61	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡))
63	62	cbvralvw 3372	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡)
64	60, 63	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡)
65		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿)
66	45, 23	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
67		elintrabg 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐸 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡)))
68	45, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡)))
69	66, 68	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡))
70	69	r19.21bi 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡))
71	70	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑡)
72	71	adantllr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑡)
73		difeq2 4047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝐴))
74	73	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ 𝑡))
75	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
76		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑡)
77	74, 75, 76	rspcdva 3554	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ 𝑡)
78	65, 72, 77	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ 𝑡)
79		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸))
80	79	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)
81	80, 23	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
82		vex 3426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑥 ∈ V
83	82	inex2 5237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ V
84		elintrabg 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑥) ∈ V → ((𝐴 ∩ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)))
85	83, 84	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ((𝐴 ∩ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)))
86	81, 85	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡))
87		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑇 ⊆ 𝑡)
88		rspa 3130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡))
89	88	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)
90	86, 65, 87, 89	syl21anc 834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)
91		incom 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ((𝐴 ∩ 𝑥) ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))
92		inss1 4159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) ⊆ 𝐴
93		disjdif 4402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅
94		ssdisj 4390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑥) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅) → ((𝐴 ∩ 𝑥) ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅)
95	92, 93, 94	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑥) ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅
96	91, 95	eqtri 2766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ∅
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ∅)
98	12, 65, 78, 90, 97	unelldsys 32026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥)) ∈ 𝑡)
99	58, 64, 98	rspcdva 3554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))) ∈ 𝑡)
100	56, 99	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡)
101	100	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡))
102	101	ralrimiva 3107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡))
103		inex1g 5238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐸 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V)
104	45, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V)
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V)
106		elintrabg 4889	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V → ((𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡)))
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡)))
108	102, 107	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
109	108, 23	eleqtrrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸)
110	32, 109	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
111	28, 110	sylan2b 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
112		ineq2 4137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑂 ∖ 𝑥) → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)))
113	112	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑂 ∖ 𝑥) → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
114	113	elrab 3617	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
115	111, 114	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
116	115	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
117		ineq2 4137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ ∪ 𝑥))
118	117	eleq1d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑥 → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝐸))
119	1	sspwi 4544	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
120		simplr 765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
121	119, 120	sselid 3915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
122	121	elpwunicl 30795	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑂)
123		uniin2 30793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) = (𝐴 ∩ ∪ 𝑥)
124		vex 3426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑦 ∈ V
125	124	inex2 5237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ V
126	125	dfiun3 5864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) = ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
127	123, 126	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) = ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
128		simplr 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿)
129		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
130		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ≼ ω
131		nfdisj1 5049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
132	130, 131	nfan 1903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
133	129, 132	nfan 1903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
134		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑡 ∈ 𝐿
135	133, 134	nfan 1903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿)
136		nfv 1918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑇 ⊆ 𝑡
137	135, 136	nfan 1903	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡)
138		elpwi 4539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
139	138	ad4antlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
140	139	sselda 3917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
141		ineq2 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ 𝑦))
142	141	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸))
143	142	elrab 3617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸))
144	143	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸)
145	140, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸)
146		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝐿)
147		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑇 ⊆ 𝑡)
148	23	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
149	125	elintrab 4888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
150	148, 149	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
151		rspa 3130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
152	150, 151	sylanb 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
153	152	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡)
154	145, 146, 147, 153	syl21anc 834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡)
155	154	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
156	137, 155	ralrimi 3139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡)
157		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
158	157	rnmptss 6978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡 → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ⊆ 𝑡)
159	156, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ⊆ 𝑡)
160	128, 159	sselpwd 5245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
161		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
162	161	simpld 494	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ≼ ω)
163		1stcrestlem 22511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≼ ω → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω)
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω)
165	161	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
166		disjin2 30827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦))
167		disjrnmpt 30825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑧)
168	165, 166, 167	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑧)
169		nfmpt1 5178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
170	169	nfrn 5850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
171		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧𝑦
172		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦𝑧
173		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧)
174	170, 171, 172, 173	cbvdisjf 30811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦 ↔ Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑧)
175	168, 174	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦)
176		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (𝑧 ≼ ω ↔ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω))
177	172, 170	disjeq1f 30813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦))
178	176, 177	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) ↔ (ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦)))
179		unieq 4847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → ∪ 𝑧 = ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)))
180	179	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (∪ 𝑧 ∈ 𝑡 ↔ ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡))
181	178, 180	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡) ↔ ((ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡)))
182	14	simp3d 1142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
183		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑧 ≼ ω))
184		disjeq1 5042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦))
185	183, 184	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ↔ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)))
186		unieq 4847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)
187	186	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑡 ↔ ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
188	185, 187	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡) ↔ ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡)))
189	188	cbvralvw 3372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
190	182, 189	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
191	190	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
192		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
193	181, 191, 192	rspcdva 3554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ((ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡))
194	193	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦)) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡)
195	128, 160, 164, 175, 194	syl22anc 835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡)
196	127, 195	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡)
197	196	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡))
198	197	ralrimiva 3107	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡))
199		vuniex 7570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
200	199	inex2 5237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ V
201	200	elintrab 4888	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡))
202	198, 201	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
203	202, 23	eleqtrrdi 2850	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝐸)
204	118, 122, 203	elrabd 3619	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
205	204	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}))
206	205	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}))
207	25, 116, 206	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})))
208	12	isldsys 32024	. 2 ⊢ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿 ↔ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}))))
209	7, 207, 208	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836  ∩ cint 4876  ∪ ciun 4921  Disj wdisj 5035   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  ‘cfv 6418  ωcom 7687   ≼ cdom 8689  ficfi 9099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem2  32032