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Theorem ldgenpisyslem1 31067
 Description: Lemma for ldgenpisys 31070. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dynkin.p 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
dynkin.o (𝜑𝑂𝑉)
ldgenpisys.e 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
ldgenpisys.1 (𝜑𝑇𝑃)
ldgenpisyslem1.1 (𝜑𝐴𝐸)
Assertion
Ref Expression
ldgenpisyslem1 (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑠,𝑏,𝑥,𝐴,𝑡,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝑦,𝑇   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3940 . . 3 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂
2 dynkin.o . . . 4 (𝜑𝑂𝑉)
3 pwexg 5126 . . . 4 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
4 rabexg 5084 . . . 4 (𝒫 𝑂 ∈ V → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V)
5 elpwg 4424 . . . 4 ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
62, 3, 4, 54syl 19 . . 3 (𝜑 → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
71, 6mpbiri 250 . 2 (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
8 0elpw 5104 . . . . 5 ∅ ∈ 𝒫 𝑂
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑂)
10 dynkin.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 (𝑂𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑠))}
1110isldsys 31060 . . . . . . . . . . 11 (𝑡𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))))
1211simprbi 489 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝐿 → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡)))
1312simp1d 1122 . . . . . . . . 9 (𝑡𝐿 → ∅ ∈ 𝑡)
1413ad2antlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∅ ∈ 𝑡)
1514ex 405 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
1615ralrimiva 3126 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
17 0ex 5062 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
1817elintrab 4755 . . . . . 6 (∅ ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
1916, 18sylibr 226 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
20 in0 4225 . . . . 5 (𝐴 ∩ ∅) = ∅
21 ldgenpisys.e . . . . 5 𝐸 = {𝑡𝐿𝑇𝑡}
2219, 20, 213eltr4g 2877 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸)
23 ineq2 4064 . . . . . 6 (𝑏 = ∅ → (𝐴𝑏) = (𝐴 ∩ ∅))
2423eleq1d 2844 . . . . 5 (𝑏 = ∅ → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸))
2524elrab 3589 . . . 4 (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (∅ ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸))
269, 22, 25sylanbrc 575 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
27 ineq2 4064 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑥 → (𝐴𝑏) = (𝐴𝑥))
2827eleq1d 2844 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑥 → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸))
2928elrab 3589 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸))
30 pwidg 4431 . . . . . . . . . 10 (𝑂𝑉𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
312, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
3231adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
3332elpwdifcl 30055 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝑂𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
3410pwldsys 31061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑂𝑉 → 𝒫 𝑂𝐿)
352, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 𝒫 𝑂𝐿)
36 ldgenpisys.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑇𝑃)
37 dynkin.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
3837ispisys 31056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
3936, 38sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
4039simpld 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
4140elpwid 4428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
42 sseq2 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡 = 𝒫 𝑂 → (𝑇𝑡𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂))
4342intminss 4769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝒫 𝑂𝐿𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂) → {𝑡𝐿𝑇𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
4435, 41, 43syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
4521, 44syl5eqss 3899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂)
46 ldgenpisyslem1.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴𝐸)
4745, 46sseldd 3853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
4847elpwid 4428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑂)
4948ad3antrrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝐴𝑂)
50 difin 4119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∖ (𝐴𝑥)) = (𝐴𝑥)
51 difin2 4147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑂 → (𝐴𝑥) = ((𝑂𝑥) ∩ 𝐴))
5250, 51syl5eq 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴𝑥)) = ((𝑂𝑥) ∩ 𝐴))
53 incom 4060 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑂𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝑂𝑥))
5452, 53syl6eq 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)))
55 difuncomp 30067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))))
5654, 55eqtr3d 2810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))))
5749, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))))
58 difeq2 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥)) → (𝑂𝑦) = (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))))
5958eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥)) → ((𝑂𝑦) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))) ∈ 𝑡))
6012simp2d 1123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐿 → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
6160ad2antlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
62 difeq2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑦))
6362eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂𝑦) ∈ 𝑡))
6463cbvralv 3377 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ ∀𝑦𝑡 (𝑂𝑦) ∈ 𝑡)
6561, 64sylib 210 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∀𝑦𝑡 (𝑂𝑦) ∈ 𝑡)
66 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑡𝐿)
6746, 21syl6eleq 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 {𝑡𝐿𝑇𝑡})
68 elintrabg 4756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴𝐸 → (𝐴 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝐴𝑡)))
6946, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝐴𝑡)))
7067, 69mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡𝐴𝑡))
7170r19.21bi 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐿) → (𝑇𝑡𝐴𝑡))
7271imp 398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝐴𝑡)
7372adantllr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝐴𝑡)
74 difeq2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝐴 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴))
7574eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑂𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂𝐴) ∈ 𝑡))
7660adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡𝐿𝐴𝑡) → ∀𝑥𝑡 (𝑂𝑥) ∈ 𝑡)
77 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡𝐿𝐴𝑡) → 𝐴𝑡)
7875, 76, 77rspcdva 3535 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡𝐿𝐴𝑡) → (𝑂𝐴) ∈ 𝑡)
7966, 73, 78syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑂𝐴) ∈ 𝑡)
80 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸))
8180simprd 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)
8281, 21syl6eleq 2870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
83 vex 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 ∈ V
8483inex2 5073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝑥) ∈ V
85 elintrabg 4756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑥) ∈ V → ((𝐴𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡)))
8684, 85mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ((𝐴𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡)))
8782, 86mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡))
88 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑇𝑡)
89 rspa 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡))
9089imp 398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡)
9187, 66, 88, 90syl21anc 825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑥) ∈ 𝑡)
92 incom 4060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑂𝐴) ∩ (𝐴𝑥)) = ((𝐴𝑥) ∩ (𝑂𝐴))
93 inss1 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴𝑥) ⊆ 𝐴
94 disjdif 4298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∩ (𝑂𝐴)) = ∅
95 ssdisj 4286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴𝑥) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂𝐴)) = ∅) → ((𝐴𝑥) ∩ (𝑂𝐴)) = ∅)
9693, 94, 95mp2an 679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴𝑥) ∩ (𝑂𝐴)) = ∅
9792, 96eqtri 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑂𝐴) ∩ (𝐴𝑥)) = ∅
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ((𝑂𝐴) ∩ (𝐴𝑥)) = ∅)
9910, 66, 79, 91, 98unelldsys 31062 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥)) ∈ 𝑡)
10059, 65, 99rspcdva 3535 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑂 ∖ ((𝑂𝐴) ∪ (𝐴𝑥))) ∈ 𝑡)
10157, 100eqeltrd 2860 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡)
102101ex 405 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡))
103102ralrimiva 3126 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡))
104 inex1g 5074 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐸 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ V)
10546, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ V)
106105adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ V)
107 elintrabg 4756 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ V → ((𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡)))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝑡)))
109103, 108mpbird 249 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
110109, 21syl6eleqr 2871 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸)
11133, 110jca 504 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝑂𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸))
11229, 111sylan2b 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑂𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸))
113 ineq2 4064 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑂𝑥) → (𝐴𝑏) = (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)))
114113eleq1d 2844 . . . . . 6 (𝑏 = (𝑂𝑥) → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸))
115114elrab 3589 . . . . 5 ((𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ ((𝑂𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂𝑥)) ∈ 𝐸))
116112, 115sylibr 226 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) → (𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
117116ralrimiva 3126 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
1182ad2antrr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → 𝑂𝑉)
119 sspwb 5192 . . . . . . . . 9 ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂 ↔ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂)
1201, 119mpbi 222 . . . . . . . 8 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
121 simplr 756 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
122120, 121sseldi 3850 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
123118, 122elpwunicl 30069 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑂)
124 uniin2 30066 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑥 (𝐴𝑦) = (𝐴 𝑥)
125 vex 3412 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
126125inex2 5073 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑦) ∈ V
127126dfiun3 5673 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑥 (𝐴𝑦) = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
128124, 127eqtr3i 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝑥) = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
129 simplr 756 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑡𝐿)
130 nfv 1873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦(𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
131 nfv 1873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 𝑥 ≼ ω
132 nfdisj1 4904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦Disj 𝑦𝑥 𝑦
133131, 132nfan 1862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)
134130, 133nfan 1862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
135 nfv 1873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 𝑡𝐿
136134, 135nfan 1862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦(((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿)
137 nfv 1873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 𝑇𝑡
138136, 137nfan 1862 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡)
139 elpwi 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
140139ad4antlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
141140sselda 3852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
142 ineq2 4064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑦 → (𝐴𝑏) = (𝐴𝑦))
143142eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑦 → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴𝑦) ∈ 𝐸))
144143elrab 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴𝑦) ∈ 𝐸))
145144simprbi 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} → (𝐴𝑦) ∈ 𝐸)
146141, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐴𝑦) ∈ 𝐸)
147 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑡𝐿)
148 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑇𝑡)
14921eleq2i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴𝑦) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴𝑦) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
150126elintrab 4755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴𝑦) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
151149, 150bitri 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴𝑦) ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
152 rspa 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
153151, 152sylanb 573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝑦) ∈ 𝐸𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
154153imp 398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑦) ∈ 𝐸𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡)
155146, 147, 148, 154syl21anc 825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡)
156155ex 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑦𝑥 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑡))
157138, 156ralrimi 3160 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ∀𝑦𝑥 (𝐴𝑦) ∈ 𝑡)
158 eqid 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) = (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
159158rnmptss 6703 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦𝑥 (𝐴𝑦) ∈ 𝑡 → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ⊆ 𝑡)
160157, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ⊆ 𝑡)
161129, 160sselpwd 5080 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
162 simpllr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦))
163162simpld 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → 𝑥 ≼ ω)
164 1stcrestlem 21758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ≼ ω → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω)
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω)
166162simprd 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → Disj 𝑦𝑥 𝑦)
167 disjin2 30097 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦𝑥 (𝐴𝑦))
168 disjrnmpt 30095 . . . . . . . . . . . . . 14 (Disj 𝑦𝑥 (𝐴𝑦) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑧)
169166, 167, 1683syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑧)
170 nfmpt1 5019 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦(𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
171170nfrn 5661 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))
172 nfcv 2926 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧𝑦
173 nfcv 2926 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦𝑧
174 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧𝑦 = 𝑧)
175171, 172, 173, 174cbvdisjf 30082 . . . . . . . . . . . . 13 (Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑧)
176169, 175sylibr 226 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦)
177 breq1 4926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → (𝑧 ≼ ω ↔ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω))
178173, 171disjeq1f 30084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → (Disj 𝑦𝑧 𝑦Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦))
179177, 178anbi12d 621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) ↔ (ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦)))
180 unieq 4714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → 𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)))
181180eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → ( 𝑧𝑡 ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡))
182179, 181imbi12d 337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) → (((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡) ↔ ((ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡)))
18312simp3d 1124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡))
184 breq1 4926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑧 ≼ ω))
185 disjeq1 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 → (Disj 𝑦𝑥 𝑦Disj 𝑦𝑧 𝑦))
186184, 185anbi12d 621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) ↔ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)))
187 unieq 4714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑧 𝑥 = 𝑧)
188187eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → ( 𝑥𝑡 𝑧𝑡))
189186, 188imbi12d 337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡) ↔ ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡)))
190189cbvralv 3377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥𝑡) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡))
191183, 190sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐿 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡))
192191adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝐿 ∧ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → 𝑧𝑡))
193 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡𝐿 ∧ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
194182, 192, 193rspcdva 3535 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡𝐿 ∧ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ((ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡))
195194imp 398 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡𝐿 ∧ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦))𝑦)) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡)
196129, 161, 165, 176, 195syl22anc 826 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → ran (𝑦𝑥 ↦ (𝐴𝑦)) ∈ 𝑡)
197128, 196syl5eqel 2864 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) ∧ 𝑇𝑡) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑡)
198197ex 405 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡𝐿) → (𝑇𝑡 → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑡))
199198ralrimiva 3126 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑡))
200 vuniex 7278 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
201200inex2 5073 . . . . . . . . 9 (𝐴 𝑥) ∈ V
202201elintrab 4755 . . . . . . . 8 ((𝐴 𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡} ↔ ∀𝑡𝐿 (𝑇𝑡 → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑡))
203199, 202sylibr 226 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝐴 𝑥) ∈ {𝑡𝐿𝑇𝑡})
204203, 21syl6eleqr 2871 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝐸)
205 ineq2 4064 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑥 → (𝐴𝑏) = (𝐴 𝑥))
206205eleq1d 2844 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑥 → ((𝐴𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 𝑥) ∈ 𝐸))
207206elrab 3589 . . . . . 6 ( 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ↔ ( 𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 𝑥) ∈ 𝐸))
208123, 204, 207sylanbrc 575 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})
209208ex 405 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}))
210209ralrimiva 3126 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}))
21126, 117, 2103jca 1108 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸})))
21210isldsys 31060 . 2 ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿 ↔ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸}))))
2137, 211, 212sylanbrc 575 1 (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3082  {crab 3086  Vcvv 3409   ∖ cdif 3820   ∪ cun 3821   ∩ cin 3822   ⊆ wss 3823  ∅c0 4172  𝒫 cpw 4416  ∪ cuni 4706  ∩ cint 4743  ∪ ciun 4786  Disj wdisj 4891   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002  ran crn 5402  ‘cfv 6182  ωcom 7390   ≼ cdom 8298  ficfi 8663 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-disj 4892  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-2o 7900  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-oi 8763  df-dju 9118  df-card 9156  df-acn 9159 This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem2  31068
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