Theorem ldgenpisyslem1 34460

Description: Lemma for ldgenpisys 34463. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dynkin.p	⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
dynkin.l	⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
dynkin.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
ldgenpisys.e	⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
ldgenpisys.1	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
ldgenpisyslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
ldgenpisyslem1	⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝐿   𝑂,𝑠,𝑡,𝑥   𝑡,𝑃,𝑥,𝑦   𝐿,𝑠   𝑇,𝑠,𝑡,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑠,𝑏,𝑥,𝐴,𝑡,𝑦   𝐸,𝑏,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦   𝑂,𝑏,𝑦   𝑥,𝑉   𝑦,𝑇   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑏)   𝑃(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑏)   𝐿(𝑏)   𝑉(𝑦,𝑡,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem ldgenpisyslem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4033	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂
2		dynkin.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
3		pwexg 5335	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ V)
4		rabexg 5293	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ V → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V)
5		elpwg 4558	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ V → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
6	2, 3, 4, 5	4syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ↔ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝑂))
7	1, 6	mpbiri 260	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
8		ineq2 4166	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = ∅ → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ ∅))
9	8	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ∅ → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸))
10		0elpw 5312	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝑂
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 𝑂)
12		dynkin.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐿 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (∅ ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑠))}
13	12	isldsys 34453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 ↔ (𝑡 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))))
14	13	simprbi 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → (∅ ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡)))
15	14	simp1d 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∅ ∈ 𝑡)
16	15	ad2antlr 737	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∅ ∈ 𝑡)
17	16	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
18	17	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
19		0ex 5257	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
20	19	elintrab 4918	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → ∅ ∈ 𝑡))
21	18, 20	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
22		in0 4349	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
23		ldgenpisys.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡}
24	21, 22, 23	3eltr4g 2879	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ ∅) ∈ 𝐸)
25	9, 11, 24	elrabd 3652	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
26		ineq2 4166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ 𝑥))
27	26	eleq1d 2847	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸))
28	27	elrab 3650	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸))
29		pwidg 4575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
30	2, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
31	30	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → 𝑂 ∈ 𝒫 𝑂)
32	31	elpwdifcl 32725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂)
33	12	pwldsys 34454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝑂 ∈ 𝐿)
34	2, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑂 ∈ 𝐿)
35		ldgenpisys.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
36		dynkin.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑃 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∣ (fi‘𝑠) ⊆ 𝑠}
37	36	ispisys 34449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑃 ↔ (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
38	35, 37	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (fi‘𝑇) ⊆ 𝑇))
39	38	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
40	39	elpwid 4564	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂)
41		sseq2 3962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑡 = 𝒫 𝑂 → (𝑇 ⊆ 𝑡 ↔ 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂))
42	41	intminss 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝒫 𝑂 ∈ 𝐿 ∧ 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑂) → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
43	34, 40, 42	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ⊆ 𝒫 𝑂)
44	23, 43	eqsstrid 3974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑂)
45		ldgenpisyslem1.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐸)
46	44, 45	sseldd 3937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
47	46	elpwid 4564	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
48	47	ad3antrrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
49		difin 4224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝐴 ∖ 𝑥)
50		difin2 4253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ 𝑥) = ((𝑂 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴))
51	49, 50	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ((𝑂 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴))
52		incom 4161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥))
53	51, 52	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)))
54		difuncomp 32753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∖ (𝐴 ∩ 𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
55	53, 54	eqtr3d 2799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑂 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
56	48, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
57		difeq2 4074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥)) → (𝑂 ∖ 𝑦) = (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))))
58	57	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥)) → ((𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))) ∈ 𝑡))
59	14	simp2d 1156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
60	59	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
61		difeq2 4074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝑦))
62	61	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡))
63	62	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡)
64	60, 63	sylib 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑦 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑦) ∈ 𝑡)
65		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿)
66	45, 23	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
67		elintrabg 4919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐸 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡)))
68	45, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡)))
69	66, 68	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡))
70	69	r19.21bi 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → 𝐴 ∈ 𝑡))
71	70	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑡)
72	71	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑡)
73		difeq2 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑂 ∖ 𝑥) = (𝑂 ∖ 𝐴))
74	73	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡 ↔ (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ 𝑡))
75	59	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → ∀𝑥 ∈ 𝑡 (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝑡)
76		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → 𝐴 ∈ 𝑡)
77	74, 75, 76	rspcdva 3582	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ 𝑡) → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ 𝑡)
78	65, 72, 77	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑂 ∖ 𝐴) ∈ 𝑡)
79		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸))
80	79	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)
81	80, 23	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
82		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑥 ∈ V
83	82	inex2 5274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ V
84		elintrabg 4919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑥) ∈ V → ((𝐴 ∩ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)))
85	83, 84	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ((𝐴 ∩ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)))
86	81, 85	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡))
87		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑇 ⊆ 𝑡)
88		rspa 3251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡))
89	88	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)
90	86, 65, 87, 89	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝑡)
91		incom 4161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ((𝐴 ∩ 𝑥) ∩ (𝑂 ∖ 𝐴))
92		inss1 4188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑥) ⊆ 𝐴
93		disjdif 4426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅
94		ssdisj 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑥) ⊆ 𝐴 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅) → ((𝐴 ∩ 𝑥) ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅)
95	92, 93, 94	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑥) ∩ (𝑂 ∖ 𝐴)) = ∅
96	91, 95	eqtri 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ∅
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∩ (𝐴 ∩ 𝑥)) = ∅)
98	12, 65, 78, 90, 97	unelldsys 34455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥)) ∈ 𝑡)
99	58, 64, 98	rspcdva 3582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑂 ∖ ((𝑂 ∖ 𝐴) ∪ (𝐴 ∩ 𝑥))) ∈ 𝑡)
100	56, 99	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡)
101	100	ex 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡))
102	101	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡))
103		inex1g 5275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐸 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V)
104	45, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V)
105	104	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V)
106		elintrabg 4919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ V → ((𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡)))
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝑡)))
108	102, 107	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
109	108, 23	eleqtrrdi 2873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸)
110	32, 109	jca 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑥) ∈ 𝐸)) → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
111	28, 110	sylan2b 603	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
112		ineq2 4166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝑂 ∖ 𝑥) → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)))
113	112	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝑂 ∖ 𝑥) → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
114	113	elrab 3650	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ ((𝑂 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ (𝑂 ∖ 𝑥)) ∈ 𝐸))
115	111, 114	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) → (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
116	115	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
117		ineq2 4166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ ∪ 𝑥))
118	117	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = ∪ 𝑥 → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝐸))
119	1	sspwi 4567	. . . . . . . 8 ⊢ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ⊆ 𝒫 𝒫 𝑂
120		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
121	119, 120	sselid 3934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝒫 𝑂)
122	121	elpwunicl 32754	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑂)
123		uniin2 32752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) = (𝐴 ∩ ∪ 𝑥)
124		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑦 ∈ V
125	124	inex2 5274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ V
126	125	dfiun3 5946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) = ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
127	123, 126	eqtr3i 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) = ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
128		simplr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑡 ∈ 𝐿)
129		nfv 1934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
130		nfv 1934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑥 ≼ ω
131		nfdisj1 5081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑦Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦
132	130, 131	nfan 1919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
133	129, 132	nfan 1919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
134		nfv 1934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑡 ∈ 𝐿
135	133, 134	nfan 1919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦(((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿)
136		nfv 1934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑇 ⊆ 𝑡
137	135, 136	nfan 1919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡)
138		elpwi 4562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
139	138	ad4antlr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
140	139	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
141		ineq2 4166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → (𝐴 ∩ 𝑏) = (𝐴 ∩ 𝑦))
142	141	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 = 𝑦 → ((𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸))
143	142	elrab 3650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑂 ∧ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸))
144	143	simprbi 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸)
145	140, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸)
146		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑡 ∈ 𝐿)
147		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑇 ⊆ 𝑡)
148	23	eleq2i 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ↔ (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
149	125	elintrab 4918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
150	148, 149	bitri 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
151		rspa 3251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
152	150, 151	sylanb 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
153	152	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡)
154	145, 146, 147, 153	syl21anc 848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡)
155	154	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡))
156	137, 155	ralrimi 3260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡)
157		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
158	157	rnmptss 7104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) ∈ 𝑡 → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ⊆ 𝑡)
159	156, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ⊆ 𝑡)
160	128, 159	sselpwd 5284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
161		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦))
162	161	simpld 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → 𝑥 ≼ ω)
163		1stcrestlem 23512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≼ ω → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω)
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω)
165	161	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)
166		disjin2 32787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦))
167		disjrnmpt 32785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 (𝐴 ∩ 𝑦) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑧)
168	165, 166, 167	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑧)
169		nfmpt1 5199	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
170	169	nfrn 5928	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))
171		nfcv 2924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑧𝑦
172		nfcv 2924	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦𝑧
173		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → 𝑦 = 𝑧)
174	170, 171, 172, 173	cbvdisjf 32771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦 ↔ Disj 𝑧 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑧)
175	168, 174	sylibr 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦)
176		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (𝑧 ≼ ω ↔ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω))
177	172, 170	disjeq1f 32773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦))
178	176, 177	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) ↔ (ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦)))
179		unieq 4876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → ∪ 𝑧 = ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)))
180	179	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (∪ 𝑧 ∈ 𝑡 ↔ ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡))
181	178, 180	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) → (((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡) ↔ ((ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡)))
182	14	simp3d 1157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡))
183		breq1 5103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝑧 ≼ ω))
184		disjeq1 5074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦))
185	183, 184	anbi12d 641	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ↔ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦)))
186		unieq 4876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ∪ 𝑥 = ∪ 𝑧)
187	186	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑡 ↔ ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
188	185, 187	imbi12d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡) ↔ ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡)))
189	188	cbvralvw 3240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑡((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑡) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
190	182, 189	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ 𝐿 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
191	190	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑡((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑧 𝑦) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑡))
192		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡)
193	181, 191, 192	rspcdva 3582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) → ((ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡))
194	193	imp 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑡 ∈ 𝐿 ∧ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝒫 𝑡) ∧ (ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦))𝑦)) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡)
195	128, 160, 164, 175, 194	syl22anc 849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → ∪ ran (𝑦 ∈ 𝑥 ↦ (𝐴 ∩ 𝑦)) ∈ 𝑡)
196	127, 195	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ⊆ 𝑡) → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡)
197	196	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) ∧ 𝑡 ∈ 𝐿) → (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡))
198	197	ralrimiva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡))
199		vuniex 7722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ V
200	199	inex2 5274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ V
201	200	elintrab 4918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡} ↔ ∀𝑡 ∈ 𝐿 (𝑇 ⊆ 𝑡 → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝑡))
202	198, 201	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ ∩ {𝑡 ∈ 𝐿 ∣ 𝑇 ⊆ 𝑡})
203	202, 23	eleqtrrdi 2873	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → (𝐴 ∩ ∪ 𝑥) ∈ 𝐸)
204	118, 122, 203	elrabd 3652	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦)) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})
205	204	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}) → ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}))
206	205	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}))
207	25, 116, 206	3jca 1141	. 2 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸})))
208	12	isldsys 34453	. 2 ⊢ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿 ↔ ({𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝒫 𝒫 𝑂 ∧ (∅ ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} (𝑂 ∖ 𝑥) ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) → ∪ 𝑥 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸}))))
209	7, 207, 208	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → {𝑏 ∈ 𝒫 𝑂 ∣ (𝐴 ∩ 𝑏) ∈ 𝐸} ∈ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  {crab 3414  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4555  ∪ cuni 4865  ∩ cint 4905  ∪ ciun 4949  Disj wdisj 5067   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ran crn 5648  ‘cfv 6521  ωcom 7846   ≼ cdom 8925  ficfi 9356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-acn 9900

This theorem is referenced by:  ldgenpisyslem2  34461