MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marypha1 9050
Description: (Philip) Hall's marriage theorem, sufficiency: a finite relation contains an injection if there is no subset of its domain which would be forced to violate the pigeonhole principle. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
marypha1.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
marypha1.c (𝜑𝐶 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
marypha1.d ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
Assertion
Ref Expression
marypha1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑑,𝑓   𝐴,𝑑,𝑓   𝐶,𝑑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑑)

Proof of Theorem marypha1
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4522 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝐴)
2 marypha1.d . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
31, 2sylan2 596 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
43ralrimiva 3105 . . 3 (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
5 imaeq1 5924 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝑑) = (𝐶𝑑))
65breq2d 5065 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑑 ≼ (𝑐𝑑) ↔ 𝑑 ≼ (𝐶𝑑)))
76ralbidv 3118 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑)))
8 pweq 4529 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
98rexeqdv 3326 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V ↔ ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V))
107, 9imbi12d 348 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V)))
11 marypha1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
12 marypha1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
13 xpeq2 5572 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 × 𝑏) = (𝐴 × 𝐵))
1413pweqd 4532 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → 𝒫 (𝐴 × 𝑏) = 𝒫 (𝐴 × 𝐵))
1514raleqdv 3325 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1615imbi2d 344 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)) ↔ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V))))
17 marypha1lem 9049 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1817com12 32 . . . . . 6 (𝑏 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1916, 18vtoclga 3489 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
2011, 12, 19sylc 65 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V))
2112, 11xpexd 7536 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
22 marypha1.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2321, 22sselpwd 5219 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵))
2410, 20, 23rspcdva 3539 . . 3 (𝜑 → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V))
254, 24mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V)
26 elpwi 4522 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓𝐶)
2726, 22sylan9ssr 3915 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑓 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
28 rnss 5808 . . . . . 6 (𝑓 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → ran 𝑓 ⊆ ran (𝐴 × 𝐵))
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → ran 𝑓 ⊆ ran (𝐴 × 𝐵))
30 rnxpss 6035 . . . . 5 ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵
3129, 30sstrdi 3913 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → ran 𝑓𝐵)
32 f1ssr 6622 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1→V ∧ ran 𝑓𝐵) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3332expcom 417 . . . 4 (ran 𝑓𝐵 → (𝑓:𝐴1-1→V → 𝑓:𝐴1-1𝐵))
3431, 33syl 17 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → (𝑓:𝐴1-1→V → 𝑓:𝐴1-1𝐵))
3534reximdva 3193 . 2 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵))
3625, 35mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3408  wss 3866  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053   × cxp 5549  ran crn 5552  cima 5554  1-1wf1 6377  cdom 8624  Fincfn 8626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630
This theorem is referenced by:  marypha2  9055
  Copyright terms: Public domain W3C validator