MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marypha1 8685
Description: (Philip) Hall's marriage theorem, sufficiency: a finite relation contains an injection if there is no subset of its domain which would be forced to violate the pigeonhole principle. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
marypha1.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
marypha1.c (𝜑𝐶 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
marypha1.d ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
Assertion
Ref Expression
marypha1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑑,𝑓   𝐴,𝑑,𝑓   𝐶,𝑑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑑)

Proof of Theorem marypha1
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4426 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝐴)
2 marypha1.d . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
31, 2sylan2 583 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
43ralrimiva 3126 . . 3 (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
5 imaeq1 5759 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝑑) = (𝐶𝑑))
65breq2d 4935 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑑 ≼ (𝑐𝑑) ↔ 𝑑 ≼ (𝐶𝑑)))
76ralbidv 3141 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑)))
8 pweq 4419 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
98rexeqdv 3350 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V ↔ ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V))
107, 9imbi12d 337 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V)))
11 marypha1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
12 marypha1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
13 xpeq2 5421 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 × 𝑏) = (𝐴 × 𝐵))
1413pweqd 4421 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → 𝒫 (𝐴 × 𝑏) = 𝒫 (𝐴 × 𝐵))
1514raleqdv 3349 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1615imbi2d 333 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)) ↔ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V))))
17 marypha1lem 8684 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1817com12 32 . . . . . 6 (𝑏 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1916, 18vtoclga 3487 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
2011, 12, 19sylc 65 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V))
2112, 11xpexd 7285 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
22 marypha1.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2321, 22sselpwd 5080 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵))
2410, 20, 23rspcdva 3535 . . 3 (𝜑 → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V))
254, 24mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V)
26 elpwi 4426 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓𝐶)
2726, 22sylan9ssr 3868 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑓 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
28 rnss 5645 . . . . . 6 (𝑓 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → ran 𝑓 ⊆ ran (𝐴 × 𝐵))
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → ran 𝑓 ⊆ ran (𝐴 × 𝐵))
30 rnxpss 5863 . . . . 5 ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵
3129, 30syl6ss 3866 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → ran 𝑓𝐵)
32 f1ssr 6404 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1→V ∧ ran 𝑓𝐵) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3332expcom 406 . . . 4 (ran 𝑓𝐵 → (𝑓:𝐴1-1→V → 𝑓:𝐴1-1𝐵))
3431, 33syl 17 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → (𝑓:𝐴1-1→V → 𝑓:𝐴1-1𝐵))
3534reximdva 3213 . 2 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵))
3625, 35mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wral 3082  wrex 3083  Vcvv 3409  wss 3825  𝒫 cpw 4416   class class class wbr 4923   × cxp 5398  ran crn 5401  cima 5403  1-1wf1 6179  cdom 8296  Fincfn 8298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-om 7391  df-1o 7897  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302
This theorem is referenced by:  marypha2  8690
  Copyright terms: Public domain W3C validator