MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marypha1 9459
Description: (Philip) Hall's marriage theorem, sufficiency: a finite relation contains an injection if there is no subset of its domain which would be forced to violate the pigeonhole principle. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
marypha1.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
marypha1.c (𝜑𝐶 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
marypha1.d ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
Assertion
Ref Expression
marypha1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑑,𝑓   𝐴,𝑑,𝑓   𝐶,𝑑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑑)

Proof of Theorem marypha1
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4611 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝐴)
2 marypha1.d . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
31, 2sylan2 591 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
43ralrimiva 3135 . . 3 (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
5 imaeq1 6059 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝑑) = (𝐶𝑑))
65breq2d 5161 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑑 ≼ (𝑐𝑑) ↔ 𝑑 ≼ (𝐶𝑑)))
76ralbidv 3167 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑)))
8 pweq 4618 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
98rexeqdv 3315 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V ↔ ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V))
107, 9imbi12d 343 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V)))
11 marypha1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
12 marypha1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
13 xpeq2 5699 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 × 𝑏) = (𝐴 × 𝐵))
1413pweqd 4621 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → 𝒫 (𝐴 × 𝑏) = 𝒫 (𝐴 × 𝐵))
1514raleqdv 3314 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1615imbi2d 339 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)) ↔ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V))))
17 marypha1lem 9458 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1817com12 32 . . . . . 6 (𝑏 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1916, 18vtoclga 3556 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
2011, 12, 19sylc 65 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V))
2112, 11xpexd 7754 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
22 marypha1.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2321, 22sselpwd 5329 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵))
2410, 20, 23rspcdva 3607 . . 3 (𝜑 → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V))
254, 24mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V)
26 elpwi 4611 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓𝐶)
2726, 22sylan9ssr 3991 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑓 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
28 rnss 5941 . . . . . 6 (𝑓 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → ran 𝑓 ⊆ ran (𝐴 × 𝐵))
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → ran 𝑓 ⊆ ran (𝐴 × 𝐵))
30 rnxpss 6178 . . . . 5 ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵
3129, 30sstrdi 3989 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → ran 𝑓𝐵)
32 f1ssr 6799 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1→V ∧ ran 𝑓𝐵) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3332expcom 412 . . . 4 (ran 𝑓𝐵 → (𝑓:𝐴1-1→V → 𝑓:𝐴1-1𝐵))
3431, 33syl 17 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → (𝑓:𝐴1-1→V → 𝑓:𝐴1-1𝐵))
3534reximdva 3157 . 2 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵))
3625, 35mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  wss 3944  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5149   × cxp 5676  ran crn 5679  cima 5681  1-1wf1 6546  cdom 8962  Fincfn 8964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-om 7872  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968
This theorem is referenced by:  marypha2  9464
  Copyright terms: Public domain W3C validator