MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marypha1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marypha1 9431
Description: (Philip) Hall's marriage theorem, sufficiency: a finite relation contains an injection if there is no subset of its domain which would be forced to violate the pigeonhole principle. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
marypha1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
marypha1.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
marypha1.c (𝜑𝐶 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
marypha1.d ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
Assertion
Ref Expression
marypha1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑑,𝑓   𝐴,𝑑,𝑓   𝐶,𝑑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑑)

Proof of Theorem marypha1
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4608 . . . . 5 (𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑𝐴)
2 marypha1.d . . . . 5 ((𝜑𝑑𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
31, 2sylan2 591 . . . 4 ((𝜑𝑑 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
43ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑))
5 imaeq1 6053 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝑑) = (𝐶𝑑))
65breq2d 5159 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑑 ≼ (𝑐𝑑) ↔ 𝑑 ≼ (𝐶𝑑)))
76ralbidv 3175 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑)))
8 pweq 4615 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → 𝒫 𝑐 = 𝒫 𝐶)
98rexeqdv 3324 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V ↔ ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V))
107, 9imbi12d 343 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → ((∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V) ↔ (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V)))
11 marypha1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
12 marypha1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
13 xpeq2 5696 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 × 𝑏) = (𝐴 × 𝐵))
1413pweqd 4618 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → 𝒫 (𝐴 × 𝑏) = 𝒫 (𝐴 × 𝐵))
1514raleqdv 3323 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1615imbi2d 339 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)) ↔ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V))))
17 marypha1lem 9430 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝑏 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1817com12 32 . . . . . 6 (𝑏 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝑏)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
1916, 18vtoclga 3565 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V)))
2011, 12, 19sylc 65 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵)(∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝑐𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝑐𝑓:𝐴1-1→V))
2112, 11xpexd 7740 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
22 marypha1.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
2321, 22sselpwd 5325 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵))
2410, 20, 23rspcdva 3612 . . 3 (𝜑 → (∀𝑑 ∈ 𝒫 𝐴𝑑 ≼ (𝐶𝑑) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V))
254, 24mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V)
26 elpwi 4608 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓𝐶)
2726, 22sylan9ssr 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑓 ⊆ (𝐴 × 𝐵))
28 rnss 5937 . . . . . 6 (𝑓 ⊆ (𝐴 × 𝐵) → ran 𝑓 ⊆ ran (𝐴 × 𝐵))
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → ran 𝑓 ⊆ ran (𝐴 × 𝐵))
30 rnxpss 6170 . . . . 5 ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵
3129, 30sstrdi 3993 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → ran 𝑓𝐵)
32 f1ssr 6793 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1→V ∧ ran 𝑓𝐵) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
3332expcom 412 . . . 4 (ran 𝑓𝐵 → (𝑓:𝐴1-1→V → 𝑓:𝐴1-1𝐵))
3431, 33syl 17 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ 𝒫 𝐶) → (𝑓:𝐴1-1→V → 𝑓:𝐴1-1𝐵))
3534reximdva 3166 . 2 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1→V → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵))
3625, 35mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓 ∈ 𝒫 𝐶𝑓:𝐴1-1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3472  wss 3947  𝒫 cpw 4601   class class class wbr 5147   × cxp 5673  ran crn 5676  cima 5678  1-1wf1 6539  cdom 8939  Fincfn 8941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945
This theorem is referenced by:  marypha2  9436
  Copyright terms: Public domain W3C validator