MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cfilres 25045
Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilres ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
Proof of Theorem cfilres
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑣 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
2 filfbas 23573 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
4 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ π‘Œ ∈ 𝐹)
5 fbncp 23564 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ 𝐹)
63, 4, 5syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ 𝐹)
7 filelss 23577 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
873adant1 1129 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
9 trfil3 23613 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ 𝐹))
101, 8, 9syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ 𝐹))
116, 10mpbird 257 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
1211adantr 480 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
13 cfili 25017 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
1413adantll 711 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
15 simpll2 1212 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
16 simpll3 1213 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ ∈ 𝐹)
1715, 16jca 511 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹))
18 elrestr 17379 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ))
19183expa 1117 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ))
2017, 19sylan 579 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ))
21 inss1 4228 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑠
22 ss2ralv 4052 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑠 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
24 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ 𝑒 ∈ π‘Œ)
25 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ 𝑣 ∈ π‘Œ)
26 ovres 7576 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) = (𝑒𝐷𝑣))
2726breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2824, 25, 27syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑣 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2928ralbidva 3174 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
3029ralbiia 3090 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
3123, 30sylibr 233 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
32 raleq 3321 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3332raleqbi1dv 3332 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3433rspcev 3612 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
3534ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3620, 31, 35syl2im 40 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3736rexlimdva 3154 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3814, 37mpd 15 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
3938ralrimiva 3145 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
40 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
41 xmetres2 24088 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
4240, 8, 41syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
4342adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
44 iscfil2 25015 . . . . 5 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)))
4543, 44syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)))
4612, 39, 45mpbir2and 710 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
4746ex 412 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
48 cfilresi 25044 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) ∈ (CauFilβ€˜π·))
4948ex 412 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) ∈ (CauFilβ€˜π·)))
50493ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) ∈ (CauFilβ€˜π·)))
51 fgtr 23615 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) = 𝐹)
52513adant1 1129 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) = 𝐹)
5352eleq1d 2817 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
5450, 53sylibd 238 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) β†’ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
5547, 54impbid 211 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   < clt 11253  β„+crp 12979   β†Ύt crest 17371  βˆžMetcxmet 21130  fBascfbas 21133  filGencfg 21134  Filcfil 23570  CauFilccfil 25001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-2 12280  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ico 13335  df-rest 17373  df-xmet 21138  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-fil 23571  df-cfil 25004
This theorem is referenced by:  metsscmetcld  25064
  Copyright terms: Public domain W3C validator