MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilres 24660
Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilres ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem cfilres
Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 filfbas 23199 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
31, 2syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝑌𝐹)
5 fbncp 23190 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹)
63, 4, 5syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹)
7 filelss 23203 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝑌𝑋)
873adant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝑌𝑋)
9 trfil3 23239 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹))
101, 8, 9syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹))
116, 10mpbird 256 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
1211adantr 481 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
13 cfili 24632 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
1413adantll 712 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
15 simpll2 1213 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
16 simpll3 1214 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌𝐹)
1715, 16jca 512 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹))
18 elrestr 17310 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹𝑠𝐹) → (𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌))
19183expa 1118 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝑠𝐹) → (𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌))
2017, 19sylan 580 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌))
21 inss1 4188 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝑌) ⊆ 𝑠
22 ss2ralv 4012 . . . . . . . . . 10 ((𝑠𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
24 elinel2 4156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (𝑠𝑌) → 𝑢𝑌)
25 elinel2 4156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑠𝑌) → 𝑣𝑌)
26 ovres 7520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑌𝑣𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
2726breq1d 5115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑌𝑣𝑌) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2824, 25, 27syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ (𝑠𝑌) ∧ 𝑣 ∈ (𝑠𝑌)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2928ralbidva 3172 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (𝑠𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
3029ralbiia 3094 . . . . . . . . 9 (∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
3123, 30sylibr 233 . . . . . . . 8 (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
32 raleq 3309 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑠𝑌) → (∀𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3332raleqbi1dv 3307 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑠𝑌) → (∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3433rspcev 3581 . . . . . . . . 9 (((𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
3534ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3620, 31, 35syl2im 40 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3736rexlimdva 3152 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑠𝐹𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3814, 37mpd 15 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
3938ralrimiva 3143 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
40 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41 xmetres2 23714 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
4240, 8, 41syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
4342adantr 481 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
44 iscfil2 24630 . . . . 5 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
4543, 44syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
4612, 39, 45mpbir2and 711 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
4746ex 413 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
48 cfilresi 24659 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷))
4948ex 413 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
50493ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
51 fgtr 23241 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) = 𝐹)
52513adant1 1130 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) = 𝐹)
5352eleq1d 2822 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
5450, 53sylibd 238 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
5547, 54impbid 211 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  cdif 3907  cin 3909  wss 3910   class class class wbr 5105   × cxp 5631  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357   < clt 11189  +crp 12915  t crest 17302  ∞Metcxmet 20781  fBascfbas 20784  filGencfg 20785  Filcfil 23196  CauFilccfil 24616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-rest 17304  df-xmet 20789  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-fil 23197  df-cfil 24619
This theorem is referenced by:  metsscmetcld  24679
  Copyright terms: Public domain W3C validator