Theorem cfilres 25281

Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfilres	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem cfilres

Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		filfbas 23831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4		simp3 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ∈ 𝐹)
5		fbncp 23822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹)
6	3, 4, 5	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹)
7		filelss 23835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
8	7	3adant1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9		trfil3 23871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹))
10	1, 8, 9	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹))
11	6, 10	mpbird 258	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
13		cfili 25253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
14	13	adantll 720	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
15		simpll2 1220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
16		simpll3 1221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ 𝐹)
17	15, 16	jca 516	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹))
18		elrestr 17382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
19	18	3expa 1124	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
20	17, 19	sylan 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
21		inss1 4165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑠
22		ss2ralv 3985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
24		elinel2 4131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝑌)
25		elinel2 4131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → 𝑣 ∈ 𝑌)
26		ovres 7522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
27	26	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
28	24, 25, 27	syl2an 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
29	28	ralbidva 3160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
30	29	ralbiia 3083	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
31	23, 30	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
32		raleq 3294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
33	32	raleqbi1dv 3307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
34	33	rspcev 3560	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
35	34	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
36	20, 31, 35	syl2im 40	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
37	36	rexlimdva 3140	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
38	14, 37	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
39	38	ralrimiva 3131	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
40		simp1 1142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41		xmetres2 24344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
42	40, 8, 41	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
43	42	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
44		iscfil2 25251	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
45	43, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
46	12, 39, 45	mpbir2and 719	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
47	46	ex 413	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
48		cfilresi 25280	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷))
49	48	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
50	49	3ad2ant1 1139	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
51		fgtr 23873	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) = 𝐹)
52	51	3adant1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) = 𝐹)
53	52	eleq1d 2824	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
54	50, 53	sylibd 240	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
55	47, 54	impbid 213	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072   × cxp 5616   ↾ cres 5620  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   < clt 11170  ℝ⁺crp 12933   ↾_t crest 17374  ∞Metcxmet 21332  fBascfbas 21335  filGencfg 21336  Filcfil 23828  CauFilccfil 25237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-2 12235  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ico 13295  df-rest 17376  df-xmet 21340  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-fil 23829  df-cfil 25240

This theorem is referenced by:  metsscmetcld  25300