MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cfilres 24805
Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilres ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
Proof of Theorem cfilres
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑣 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
2 filfbas 23344 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
4 simp3 1139 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ π‘Œ ∈ 𝐹)
5 fbncp 23335 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ 𝐹)
63, 4, 5syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ 𝐹)
7 filelss 23348 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
873adant1 1131 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
9 trfil3 23384 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ 𝐹))
101, 8, 9syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ 𝐹))
116, 10mpbird 257 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
1211adantr 482 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
13 cfili 24777 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
1413adantll 713 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
15 simpll2 1214 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
16 simpll3 1215 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ ∈ 𝐹)
1715, 16jca 513 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹))
18 elrestr 17371 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ))
19183expa 1119 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ))
2017, 19sylan 581 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ))
21 inss1 4228 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑠
22 ss2ralv 4052 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑠 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
24 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ 𝑒 ∈ π‘Œ)
25 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ 𝑣 ∈ π‘Œ)
26 ovres 7570 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) = (𝑒𝐷𝑣))
2726breq1d 5158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2824, 25, 27syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑣 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2928ralbidva 3176 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
3029ralbiia 3092 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
3123, 30sylibr 233 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
32 raleq 3323 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3332raleqbi1dv 3334 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3433rspcev 3613 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
3534ex 414 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3620, 31, 35syl2im 40 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3736rexlimdva 3156 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3814, 37mpd 15 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
3938ralrimiva 3147 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
40 simp1 1137 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
41 xmetres2 23859 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
4240, 8, 41syl2anc 585 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
4342adantr 482 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
44 iscfil2 24775 . . . . 5 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)))
4543, 44syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)))
4612, 39, 45mpbir2and 712 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
4746ex 414 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
48 cfilresi 24804 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) ∈ (CauFilβ€˜π·))
4948ex 414 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) ∈ (CauFilβ€˜π·)))
50493ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) ∈ (CauFilβ€˜π·)))
51 fgtr 23386 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) = 𝐹)
52513adant1 1131 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) = 𝐹)
5352eleq1d 2819 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
5450, 53sylibd 238 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) β†’ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
5547, 54impbid 211 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   < clt 11245  β„+crp 12971   β†Ύt crest 17363  βˆžMetcxmet 20922  fBascfbas 20925  filGencfg 20926  Filcfil 23341  CauFilccfil 24761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-2 12272  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ico 13327  df-rest 17365  df-xmet 20930  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-fil 23342  df-cfil 24764
This theorem is referenced by:  metsscmetcld  24824
  Copyright terms: Public domain W3C validator