Theorem cfilres 25617

Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfilres	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem cfilres

Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		filfbas 24167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3	1, 2	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ∈ 𝐹)
5		fbncp 24158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹)
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹)
7		filelss 24171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
8	7	3adant1 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9		trfil3 24207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹))
10	1, 8, 9	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹))
11	6, 10	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
13		cfili 25589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
14	13	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
15		simpll2 1232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
16		simpll3 1233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ 𝐹)
17	15, 16	jca 521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹))
18		elrestr 17599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
19	18	3expa 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
20	17, 19	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
21		inss1 4182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑠
22		ss2ralv 4002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
24		elinel2 4148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝑌)
25		elinel2 4148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → 𝑣 ∈ 𝑌)
26		ovres 7586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
27	26	breq1d 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
28	24, 25, 27	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
29	28	ralbidva 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
30	29	ralbiia 3107	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
31	23, 30	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
32		raleq 3317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
33	32	raleqbi1dv 3330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
34	33	rspcev 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
35	34	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
36	20, 31, 35	syl2im 41	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
37	36	rexlimdva 3164	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
38	14, 37	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
39	38	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
40		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41		xmetres2 24680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
42	40, 8, 41	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
43	42	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
44		iscfil2 25587	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
45	43, 44	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
46	12, 39, 45	mpbir2and 726	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
47	46	ex 418	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
48		cfilresi 25616	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷))
49	48	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
50	49	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
51		fgtr 24209	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) = 𝐹)
52	51	3adant1 1148	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) = 𝐹)
53	52	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
54	50, 53	sylibd 242	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
55	47, 54	impbid 215	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   < clt 11343  ℝ⁺crp 13120   ↾_t crest 17591  ∞Metcxmet 21663  fBascfbas 21666  filGencfg 21667  Filcfil 24164  CauFilccfil 25573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ico 13482  df-rest 17593  df-xmet 21671  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-fil 24165  df-cfil 25576

This theorem is used by:  metsscmetcld  25636