MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilres Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cfilres 25044
Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilres ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
Proof of Theorem cfilres
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑣 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
2 filfbas 23572 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
31, 2syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ 𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
4 simp3 1136 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ π‘Œ ∈ 𝐹)
5 fbncp 23563 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ 𝐹)
63, 4, 5syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ Β¬ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ 𝐹)
7 filelss 23576 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
873adant1 1128 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
9 trfil3 23612 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ 𝐹))
101, 8, 9syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ↔ Β¬ (𝑋 βˆ– π‘Œ) ∈ 𝐹))
116, 10mpbird 256 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
1211adantr 479 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
13 cfili 25016 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
1413adantll 710 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
15 simpll2 1211 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
16 simpll3 1212 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘Œ ∈ 𝐹)
1715, 16jca 510 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹))
18 elrestr 17378 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ))
19183expa 1116 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ))
2017, 19sylan 578 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ))
21 inss1 4227 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑠
22 ss2ralv 4051 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∩ π‘Œ) βŠ† 𝑠 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
24 elinel2 4195 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ 𝑒 ∈ π‘Œ)
25 elinel2 4195 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ 𝑣 ∈ π‘Œ)
26 ovres 7575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) = (𝑒𝐷𝑣))
2726breq1d 5157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2824, 25, 27syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ) ∧ 𝑣 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)) β†’ ((𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
2928ralbidva 3173 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯))
3029ralbiia 3089 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒𝐷𝑣) < π‘₯)
3123, 30sylibr 233 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
32 raleq 3320 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3332raleqbi1dv 3331 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑠 ∩ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3433rspcev 3611 . . . . . . . . 9 (((𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
3534ex 411 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∩ π‘Œ) ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)βˆ€π‘£ ∈ (𝑠 ∩ π‘Œ)(𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3620, 31, 35syl2im 40 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3736rexlimdva 3153 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝐹 βˆ€π‘’ ∈ 𝑠 βˆ€π‘£ ∈ 𝑠 (𝑒𝐷𝑣) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯))
3814, 37mpd 15 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
3938ralrimiva 3144 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)
40 simp1 1134 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
41 xmetres2 24087 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
4240, 8, 41syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
4342adantr 479 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
44 iscfil2 25014 . . . . 5 ((𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)))
4543, 44syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) ↔ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝐹 β†Ύt π‘Œ)βˆ€π‘’ ∈ 𝑦 βˆ€π‘£ ∈ 𝑦 (𝑒(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑣) < π‘₯)))
4612, 39, 45mpbir2and 709 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
4746ex 411 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) β†’ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
48 cfilresi 25043 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) ∈ (CauFilβ€˜π·))
4948ex 411 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) ∈ (CauFilβ€˜π·)))
50493ad2ant1 1131 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) ∈ (CauFilβ€˜π·)))
51 fgtr 23614 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) = 𝐹)
52513adant1 1128 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) = 𝐹)
5352eleq1d 2816 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ ((𝑋filGen(𝐹 β†Ύt π‘Œ)) ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
5450, 53sylibd 238 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ ((𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) β†’ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
5547, 54impbid 211 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ 𝐹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 β†Ύt π‘Œ) ∈ (CauFilβ€˜(𝐷 β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   < clt 11252  β„+crp 12978   β†Ύt crest 17370  βˆžMetcxmet 21129  fBascfbas 21132  filGencfg 21133  Filcfil 23569  CauFilccfil 25000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-rest 17372  df-xmet 21137  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-fil 23570  df-cfil 25003
This theorem is referenced by:  metsscmetcld  25063
  Copyright terms: Public domain W3C validator