Theorem cfilres 23900

Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfilres	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem cfilres

Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		filfbas 22453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ∈ 𝐹)
5		fbncp 22444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹)
6	3, 4, 5	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹)
7		filelss 22457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
8	7	3adant1 1127	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9		trfil3 22493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹))
10	1, 8, 9	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹))
11	6, 10	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
12	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
13		cfili 23872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
14	13	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
15		simpll2 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
16		simpll3 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ 𝐹)
17	15, 16	jca 515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹))
18		elrestr 16694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
19	18	3expa 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
20	17, 19	sylan 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
21		inss1 4155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑠
22		ss2ralv 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
24		elinel2 4123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝑌)
25		elinel2 4123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → 𝑣 ∈ 𝑌)
26		ovres 7294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
27	26	breq1d 5040	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
28	24, 25, 27	syl2an 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
29	28	ralbidva 3161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
30	29	ralbiia 3132	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
31	23, 30	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
32		raleq 3358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
33	32	raleqbi1dv 3356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
34	33	rspcev 3571	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
35	34	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
36	20, 31, 35	syl2im 40	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
37	36	rexlimdva 3243	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
38	14, 37	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
39	38	ralrimiva 3149	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
40		simp1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41		xmetres2 22968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
42	40, 8, 41	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
43	42	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
44		iscfil2 23870	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
45	43, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
46	12, 39, 45	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
47	46	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
48		cfilresi 23899	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷))
49	48	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
50	49	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
51		fgtr 22495	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) = 𝐹)
52	51	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) = 𝐹)
53	52	eleq1d 2874	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
54	50, 53	sylibd 242	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
55	47, 54	impbid 215	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   × cxp 5517   ↾ cres 5521  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   < clt 10664  ℝ⁺crp 12377   ↾_t crest 16686  ∞Metcxmet 20076  fBascfbas 20079  filGencfg 20080  Filcfil 22450  CauFilccfil 23856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ico 12732  df-rest 16688  df-xmet 20084  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-fil 22451  df-cfil 23859

This theorem is referenced by:  metsscmetcld  23919