Theorem cfilres 25358

Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfilres	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem cfilres

Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2		filfbas 23908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4		simp3 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ∈ 𝐹)
5		fbncp 23899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹)
6	3, 4, 5	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹)
7		filelss 23912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
8	7	3adant1 1143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝑌 ⊆ 𝑋)
9		trfil3 23948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹))
10	1, 8, 9	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋 ∖ 𝑌) ∈ 𝐹))
11	6, 10	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
12	11	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
13		cfili 25330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
14	13	adantll 724	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
15		simpll2 1227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
16		simpll3 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ 𝐹)
17	15, 16	jca 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹))
18		elrestr 17457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹 ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
19	18	3expa 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
20	17, 19	sylan 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌))
21		inss1 4188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑠
22		ss2ralv 4007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
24		elinel2 4154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → 𝑢 ∈ 𝑌)
25		elinel2 4154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → 𝑣 ∈ 𝑌)
26		ovres 7562	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
27	26	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝑌 ∧ 𝑣 ∈ 𝑌) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
28	24, 25, 27	syl2an 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) ∧ 𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
29	28	ralbidva 3183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
30	29	ralbiia 3106	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
31	23, 30	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
32		raleq 3317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
33	32	raleqbi1dv 3330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝑠 ∩ 𝑌) → (∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
34	33	rspcev 3581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
35	34	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 ∩ 𝑌) ∈ (𝐹 ↾t 𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠 ∩ 𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
36	20, 31, 35	syl2im 40	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ 𝐹) → (∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
37	36	rexlimdva 3163	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ 𝐹 ∀𝑢 ∈ 𝑠 ∀𝑣 ∈ 𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
38	14, 37	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
39	38	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
40		simp1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41		xmetres2 24421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
42	40, 8, 41	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
43	42	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
44		iscfil2 25328	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
45	43, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ (𝐹 ↾t 𝑌)∀𝑢 ∈ 𝑦 ∀𝑣 ∈ 𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
46	12, 39, 45	mpbir2and 723	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
47	46	ex 416	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
48		cfilresi 25357	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷))
49	48	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
50	49	3ad2ant1 1146	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
51		fgtr 23950	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) = 𝐹)
52	51	3adant1 1143	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) = 𝐹)
53	52	eleq1d 2847	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝑋filGen(𝐹 ↾t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
54	50, 53	sylibd 241	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → ((𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
55	47, 54	impbid 214	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ↾t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100   × cxp 5645   ↾ cres 5649  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   < clt 11216  ℝ⁺crp 12993   ↾_t crest 17449  ∞Metcxmet 21409  fBascfbas 21412  filGencfg 21413  Filcfil 23905  CauFilccfil 25314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ico 13355  df-rest 17451  df-xmet 21417  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-fil 23906  df-cfil 25317

This theorem is referenced by:  metsscmetcld  25377