MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilres 25343
Description: Cauchy filter on a metric subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilres ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))

Proof of Theorem cfilres
Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
2 filfbas 23871 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
31, 2syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝐹 ∈ (fBas‘𝑋))
4 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝑌𝐹)
5 fbncp 23862 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹)
63, 4, 5syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹)
7 filelss 23875 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝑌𝑋)
873adant1 1129 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝑌𝑋)
9 trfil3 23911 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹))
101, 8, 9syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ↔ ¬ (𝑋𝑌) ∈ 𝐹))
116, 10mpbird 257 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
1211adantr 480 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌))
13 cfili 25315 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
1413adantll 714 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑠𝐹𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
15 simpll2 1212 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))
16 simpll3 1213 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌𝐹)
1715, 16jca 511 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹))
18 elrestr 17474 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹𝑠𝐹) → (𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌))
19183expa 1117 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝑠𝐹) → (𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌))
2017, 19sylan 580 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌))
21 inss1 4244 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝑌) ⊆ 𝑠
22 ss2ralv 4065 . . . . . . . . . 10 ((𝑠𝑌) ⊆ 𝑠 → (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
24 elinel2 4211 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (𝑠𝑌) → 𝑢𝑌)
25 elinel2 4211 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑠𝑌) → 𝑣𝑌)
26 ovres 7598 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢𝑌𝑣𝑌) → (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) = (𝑢𝐷𝑣))
2726breq1d 5157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢𝑌𝑣𝑌) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2824, 25, 27syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ (𝑠𝑌) ∧ 𝑣 ∈ (𝑠𝑌)) → ((𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2928ralbidva 3173 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ (𝑠𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
3029ralbiia 3088 . . . . . . . . 9 (∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥)
3123, 30sylibr 234 . . . . . . . 8 (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
32 raleq 3320 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑠𝑌) → (∀𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3332raleqbi1dv 3335 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑠𝑌) → (∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3433rspcev 3621 . . . . . . . . 9 (((𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
3534ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑠𝑌) ∈ (𝐹t 𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝑠𝑌)∀𝑣 ∈ (𝑠𝑌)(𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3620, 31, 35syl2im 40 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠𝐹) → (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3736rexlimdva 3152 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑠𝐹𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥))
3814, 37mpd 15 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
3938ralrimiva 3143 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)
40 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
41 xmetres2 24386 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
4240, 8, 41syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
4342adantr 480 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
44 iscfil2 25313 . . . . 5 ((𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
4543, 44syl 17 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) ↔ ((𝐹t 𝑌) ∈ (Fil‘𝑌) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ (𝐹t 𝑌)∀𝑢𝑦𝑣𝑦 (𝑢(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑣) < 𝑥)))
4612, 39, 45mpbir2and 713 . . 3 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))))
4746ex 412 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) → (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
48 cfilresi 25342 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷))
4948ex 412 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
50493ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷)))
51 fgtr 23913 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) = 𝐹)
52513adant1 1129 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) = 𝐹)
5352eleq1d 2823 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝑋filGen(𝐹t 𝑌)) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
5450, 53sylibd 239 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → ((𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌))) → 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)))
5547, 54impbid 212 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑌𝐹) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹t 𝑌) ∈ (CauFil‘(𝐷 ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  cdif 3959  cin 3961  wss 3962   class class class wbr 5147   × cxp 5686  cres 5690  cfv 6562  (class class class)co 7430   < clt 11292  +crp 13031  t crest 17466  ∞Metcxmet 21366  fBascfbas 21369  filGencfg 21370  Filcfil 23868  CauFilccfil 25299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-rest 17468  df-xmet 21374  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-fil 23869  df-cfil 25302
This theorem is referenced by:  metsscmetcld  25362
  Copyright terms: Public domain W3C validator