Theorem ttcsnexg 36818

Description: If the transitive closure of a class is a set, then its singleton transitive closure is a set. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ttcsnexg	⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → TC+ {𝐴} ∈ V)

Proof of Theorem ttcsnexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttcexrg 36795	. . 3 ⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		ttcsng 36817	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → TC+ {𝐴} = (TC+ 𝐴 ∪ {𝐴}))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → TC+ {𝐴} = (TC+ 𝐴 ∪ {𝐴}))
4		snex 5386	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ V
5		unexg 7711	. . 3 ⊢ ((TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ {𝐴} ∈ V) → (TC+ 𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
6	4, 5	mpan2 699	. 2 ⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → (TC+ 𝐴 ∪ {𝐴}) ∈ V)
7	3, 6	eqeltrd 2852	1 ⊢ (TC+ 𝐴 ∈ 𝑉 → TC+ {𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444   ∪ cun 3893  {csn 4572  TC+ cttc 36784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-ttc 36785

This theorem is referenced by:  ttcsnexbig  36819