Theorem ttcsng 37058

Description: Relationship between TC+ {𝐴} and TC+ 𝐴: the former contains the additional element 𝐴. (Contributed by Matthew House, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ttcsng	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → TC+ {𝐴} = (TC+ 𝐴 ∪ {𝐴}))

Proof of Theorem ttcsng

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ttciunun 37050	. 2 ⊢ TC+ {𝐴} = (∪ 𝑥 ∈ {𝐴}TC+ 𝑥 ∪ {𝐴})
2		ttceq 37027	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → TC+ 𝑥 = TC+ 𝐴)
3	2	iunxsng 5055	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑥 ∈ {𝐴}TC+ 𝑥 = TC+ 𝐴)
4	3	uneq1d 4120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∪ 𝑥 ∈ {𝐴}TC+ 𝑥 ∪ {𝐴}) = (TC+ 𝐴 ∪ {𝐴}))
5	1, 4	eqtrid 2809	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → TC+ {𝐴} = (TC+ 𝐴 ∪ {𝐴}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∪ cun 3902  {csn 4588  ∪ ciun 4955  TC+ cttc 37025

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-ttc 37026

This theorem is used by:  ttcsnexg  37059  ttcsntrsucg  37061