Theorem txunii 22198

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
txunii.1	⊢ 𝑅 ∈ Top
txunii.2	⊢ 𝑆 ∈ Top
txunii.3	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
txunii.4	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
txunii	⊢ (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆)

Proof of Theorem txunii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txunii.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Top
2		txunii.2	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Top
3		txunii.3	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
4		txunii.4	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆
5	3, 4	txuni 22197	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))
6	1, 2, 5	mp2an 691	1 ⊢ (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∪ cuni 4800   × cxp 5517  (class class class)co 7135  Topctop 21498   ×_t ctx 22165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-topgen 16709  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-tx 22167

This theorem is referenced by:  txindis  22239  cxpcn3  25337  tpr2rico  31265  raddcn  31282  sxbrsigalem3  31640  dya2iocucvr  31652  sxbrsigalem1  31653  txsconnlem  32600  cvmlift2lem7  32669  cvmlift2lem9  32671  cvmlift2lem10  32672  cvmlift2lem12  32674  cvmlift2lem13  32675  cvmliftphtlem  32677