Theorem txunii 23546

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
txunii.1	⊢ 𝑅 ∈ Top
txunii.2	⊢ 𝑆 ∈ Top
txunii.3	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
txunii.4	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
txunii	⊢ (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆)

Proof of Theorem txunii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txunii.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Top
2		txunii.2	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Top
3		txunii.3	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
4		txunii.4	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆
5	3, 4	txuni 23545	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))
6	1, 2, 5	mp2an 693	1 ⊢ (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4840   × cxp 5618  (class class class)co 7356  Topctop 22846   ×_t ctx 23513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-topgen 17395  df-top 22847  df-topon 22864  df-bases 22899  df-tx 23515

This theorem is referenced by:  txindis  23587  cxpcn3  26700  tpr2rico  34044  raddcn  34061  sxbrsigalem3  34404  dya2iocucvr  34416  sxbrsigalem1  34417  txsconnlem  35410  cvmlift2lem7  35479  cvmlift2lem9  35481  cvmlift2lem10  35482  cvmlift2lem12  35484  cvmlift2lem13  35485  cvmliftphtlem  35487