Theorem txunii 22725

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
txunii.1	⊢ 𝑅 ∈ Top
txunii.2	⊢ 𝑆 ∈ Top
txunii.3	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
txunii.4	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
txunii	⊢ (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆)

Proof of Theorem txunii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txunii.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Top
2		txunii.2	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Top
3		txunii.3	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
4		txunii.4	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆
5	3, 4	txuni 22724	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))
6	1, 2, 5	mp2an 688	1 ⊢ (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4844   × cxp 5586  (class class class)co 7268  Topctop 22023   ×_t ctx 22692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-topgen 17135  df-top 22024  df-topon 22041  df-bases 22077  df-tx 22694

This theorem is referenced by:  txindis  22766  cxpcn3  25882  tpr2rico  31841  raddcn  31858  sxbrsigalem3  32218  dya2iocucvr  32230  sxbrsigalem1  32231  txsconnlem  33181  cvmlift2lem7  33250  cvmlift2lem9  33252  cvmlift2lem10  33253  cvmlift2lem12  33255  cvmlift2lem13  33256  cvmliftphtlem  33258