MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txunii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txunii 23617
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
txunii.1 𝑅 ∈ Top
txunii.2 𝑆 ∈ Top
txunii.3 𝑋 = 𝑅
txunii.4 𝑌 = 𝑆
Assertion
Ref Expression
txunii (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆)

Proof of Theorem txunii
StepHypRef Expression
1 txunii.1 . 2 𝑅 ∈ Top
2 txunii.2 . 2 𝑆 ∈ Top
3 txunii.3 . . 3 𝑋 = 𝑅
4 txunii.4 . . 3 𝑌 = 𝑆
53, 4txuni 23616 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆))
61, 2, 5mp2an 692 1 (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106   cuni 4912   × cxp 5687  (class class class)co 7431  Topctop 22915   ×t ctx 23584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-tx 23586
This theorem is referenced by:  txindis  23658  cxpcn3  26806  tpr2rico  33873  raddcn  33890  sxbrsigalem3  34254  dya2iocucvr  34266  sxbrsigalem1  34267  txsconnlem  35225  cvmlift2lem7  35294  cvmlift2lem9  35296  cvmlift2lem10  35297  cvmlift2lem12  35299  cvmlift2lem13  35300  cvmliftphtlem  35302
  Copyright terms: Public domain W3C validator