Theorem txunii 21725

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
txunii.1	⊢ 𝑅 ∈ Top
txunii.2	⊢ 𝑆 ∈ Top
txunii.3	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
txunii.4	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
txunii	⊢ (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆)

Proof of Theorem txunii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txunii.1	. 2 ⊢ 𝑅 ∈ Top
2		txunii.2	. 2 ⊢ 𝑆 ∈ Top
3		txunii.3	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
4		txunii.4	. . 3 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆
5	3, 4	txuni 21724	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))
6	1, 2, 5	mp2an 684	1 ⊢ (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∪ cuni 4628   × cxp 5310  (class class class)co 6878  Topctop 21026   ×_t ctx 21692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-topgen 16419  df-top 21027  df-topon 21044  df-bases 21079  df-tx 21694

This theorem is referenced by:  txindis  21766  cxpcn3  24833  tpr2rico  30474  raddcn  30491  sxbrsigalem3  30850  dya2iocucvr  30862  sxbrsigalem1  30863  txsconnlem  31739  cvmlift2lem7  31808  cvmlift2lem9  31810  cvmlift2lem10  31811  cvmlift2lem12  31813  cvmlift2lem13  31814  cvmliftphtlem  31816