Theorem cvmlift2lem13 32848

Description: Lemma for cvmlift2 32849. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift2.i	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h	⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem13	⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑔)

Proof of Theorem cvmlift2lem13

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑎 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3		cvmlift2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4		cvmlift2.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
5		cvmlift2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
6		cvmlift2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
7		cvmlift2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))
8		fveq2 6674	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑧 → (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) = (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
9	8	eleq2d 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) ↔ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)))
10	9	cbvrabv 3393	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
11		sneq 4526	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → {𝑧} = {𝑏})
12	11	xpeq2d 5555	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → ((0[,]1) × {𝑧}) = ((0[,]1) × {𝑏}))
13	12	sseq1d 3908	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
14	13	cbvrabv 3393	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}} = {𝑏 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}}
15		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → 𝑑 = 𝑡)
16	15	eleq1d 2817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (𝑑 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
17		xpeq1 5539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑏}) = (𝑢 × {𝑏}))
18	17	sseq1d 3908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
19		xpeq1 5539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑑}))
20	19	sseq1d 3908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
21	18, 20	bibi12d 349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
22	21	cbvrexvw 3350	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
23		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → 𝑐 = 𝑟)
24	23	sneqd 4528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → {𝑐} = {𝑟})
25	24	fveq2d 6678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → ((nei‘II)‘{𝑐}) = ((nei‘II)‘{𝑟}))
26	15	sneqd 4528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → {𝑑} = {𝑡})
27	26	xpeq2d 5555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (𝑢 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑡}))
28	27	sseq1d 3908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → ((𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
29	28	bibi2d 346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
30	25, 29	rexeqbidv 3305	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
31	22, 30	syl5bb 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
32	16, 31	anbi12d 634	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → ((𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))))
33	32	cbvopabv 5102	. . . 4 ⊢ {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ (𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))} = {⟨𝑟, 𝑡⟩ ∣ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))}
34	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 14, 33	cvmlift2lem12 32847	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem7 32842	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺)
36		0elunit 12943	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem8 32843	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
38	36, 37	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
39	1, 2, 3, 4, 5, 6	cvmlift2lem2 32837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
40	39	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = 𝑃)
41	38, 40	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0𝐾0) = 𝑃)
42		coeq2 5701	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐾))
43	42	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → ((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
44		oveq 7176	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → (0𝑔0) = (0𝐾0))
45	44	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (0𝐾0) = 𝑃))
46	43, 45	anbi12d 634	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → (((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)))
47	46	rspcev 3526	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)) → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
48	34, 35, 41, 47	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
49		iitop 23632	. . . . 5 ⊢ II ∈ Top
50		iiuni 23633	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
51	49, 49, 50, 50	txunii 22344	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) × (0[,]1)) = ∪ (II ×t II)
52		iiconn 23639	. . . . . 6 ⊢ II ∈ Conn
53		txconn 22440	. . . . . 6 ⊢ ((II ∈ Conn ∧ II ∈ Conn) → (II ×t II) ∈ Conn)
54	52, 52, 53	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (II ×t II) ∈ Conn
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (II ×t II) ∈ Conn)
56		iinllyconn 32787	. . . . . 6 ⊢ II ∈ 𝑛-Locally Conn
57		txconn 22440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Conn ∧ 𝑦 ∈ Conn) → (𝑥 ×t 𝑦) ∈ Conn)
58	57	txnlly 22388	. . . . . 6 ⊢ ((II ∈ 𝑛-Locally Conn ∧ II ∈ 𝑛-Locally Conn) → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
59	56, 56, 58	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn
60	59	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
61		opelxpi 5562	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
62	36, 36, 61	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))
63	62	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
64		df-ov 7173	. . . . 5 ⊢ (0𝐺0) = (𝐺‘⟨0, 0⟩)
65	5, 64	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘⟨0, 0⟩))
66	1, 51, 2, 55, 60, 63, 3, 4, 65	cvmliftmo 32817	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
67		df-ov 7173	. . . . . 6 ⊢ (0𝑔0) = (𝑔‘⟨0, 0⟩)
68	67	eqeq1i 2743	. . . . 5 ⊢ ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃)
69	68	anbi2i 626	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
70	69	rmobii 3299	. . 3 ⊢ (∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
71	66, 70	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
72		reu5 3328	. 2 ⊢ (∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ (∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ∧ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃)))
73	48, 71, 72	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3054  ∃!wreu 3055  ∃*wrmo 3056  {crab 3057   ⊆ wss 3843  {csn 4516  ⟨cop 4522  ∪ cuni 4796  {copab 5092   ↦ cmpt 5110   × cxp 5523   ∘ ccom 5529  ‘cfv 6339  ℩crio 7126  (class class class)co 7170   ∈ cmpo 7172  0cc0 10615  1c1 10616  [,]cicc 12824  neicnei 21848   Cn ccn 21975   CnP ccnp 21976  Conncconn 22162  𝑛-Locally cnlly 22216   ×_t ctx 22311  IIcii 23627   CovMap ccvm 32788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-er 8320  df-ec 8322  df-map 8439  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-sum 15136  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-cmp 22138  df-conn 22163  df-lly 22217  df-nlly 22218  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-ii 23629  df-htpy 23722  df-phtpy 23723  df-phtpc 23744  df-pconn 32754  df-sconn 32755  df-cvm 32789

This theorem is referenced by:  cvmlift2  32849