Theorem cvmlift2lem13 36166

Description: Lemma for cvmlift2 36167. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift2.i	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h	⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem13	⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓, 𝑔)   𝐻(𝑔)

Proof of Theorem cvmlift2lem13

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑎 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3		cvmlift2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4		cvmlift2.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
5		cvmlift2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
6		cvmlift2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
7		cvmlift2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))
8		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑧 → (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) = (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
9	8	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) ↔ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)))
10	9	cbvrabv 3422	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
11		sneq 4590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → {𝑧} = {𝑏})
12	11	xpeq2d 5680	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → ((0[,]1) × {𝑧}) = ((0[,]1) × {𝑏}))
13	12	sseq1d 3939	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
14	13	cbvrabv 3422	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}} = {𝑏 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}}
15		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → 𝑑 = 𝑡)
16	15	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (𝑑 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
17		xpeq1 5664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑏}) = (𝑢 × {𝑏}))
18	17	sseq1d 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
19		xpeq1 5664	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑑}))
20	19	sseq1d 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
21	18, 20	bibi12d 348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
22	21	cbvrexvw 3241	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
23		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → 𝑐 = 𝑟)
24	23	sneqd 4592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → {𝑐} = {𝑟})
25	24	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → ((nei‘II)‘{𝑐}) = ((nei‘II)‘{𝑟}))
26	15	sneqd 4592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → {𝑑} = {𝑡})
27	26	xpeq2d 5680	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (𝑢 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑡}))
28	27	sseq1d 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → ((𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
29	28	bibi2d 345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
30	25, 29	rexeqbidv 3335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
31	22, 30	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
32	16, 31	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → ((𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))))
33	32	cbvopabv 5177	. . . 4 ⊢ {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ (𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))} = {⟨𝑟, 𝑡⟩ ∣ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))}
34	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 14, 33	cvmlift2lem12 36165	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem7 36160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺)
36		0elunit 13603	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem8 36161	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
38	36, 37	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
39	1, 2, 3, 4, 5, 6	cvmlift2lem2 36155	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
40	39	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = 𝑃)
41	38, 40	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0𝐾0) = 𝑃)
42		coeq2 5835	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐾))
43	42	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → ((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
44		oveq 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → (0𝑔0) = (0𝐾0))
45	44	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (0𝐾0) = 𝑃))
46	43, 45	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → (((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)))
47	46	rspcev 3576	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)) → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
48	34, 35, 41, 47	syl12anc 850	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
49		iitop 25206	. . . . 5 ⊢ II ∈ Top
50		iiuni 25207	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
51	49, 49, 50, 50	txunii 23917	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) × (0[,]1)) = ∪ (II ×t II)
52		iiconn 25213	. . . . . 6 ⊢ II ∈ Conn
53		txconn 24013	. . . . . 6 ⊢ ((II ∈ Conn ∧ II ∈ Conn) → (II ×t II) ∈ Conn)
54	52, 52, 53	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (II ×t II) ∈ Conn
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (II ×t II) ∈ Conn)
56		iinllyconn 36105	. . . . . 6 ⊢ II ∈ 𝑛-Locally Conn
57		txconn 24013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Conn ∧ 𝑦 ∈ Conn) → (𝑥 ×t 𝑦) ∈ Conn)
58	57	txnlly 23961	. . . . . 6 ⊢ ((II ∈ 𝑛-Locally Conn ∧ II ∈ 𝑛-Locally Conn) → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
59	56, 56, 58	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn
60	59	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
61		opelxpi 5687	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
62	36, 36, 61	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))
63	62	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
64		df-ov 7423	. . . . 5 ⊢ (0𝐺0) = (𝐺‘⟨0, 0⟩)
65	5, 64	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘⟨0, 0⟩))
66	1, 51, 2, 55, 60, 63, 3, 4, 65	cvmliftmo 36135	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
67		df-ov 7423	. . . . . 6 ⊢ (0𝑔0) = (𝑔‘⟨0, 0⟩)
68	67	eqeq1i 2765	. . . . 5 ⊢ ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃)
69	68	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
70	69	rmobii 3373	. . 3 ⊢ (∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
71	66, 70	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
72		reu5 3367	. 2 ⊢ (∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ (∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ∧ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃)))
73	48, 71, 72	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363  ∃*wrmo 3364  {crab 3412   ⊆ wss 3895  {csn 4584  ⟨cop 4834  ∪ cuni 4866  {copab 5166   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6538  ℩crio 7376  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  0cc0 11203  1c1 11204  [,]cicc 13482  neicnei 23420   Cn ccn 23547   CnP ccnp 23548  Conncconn 23734  𝑛-Locally cnlly 23789   ×_t ctx 23884  IIcii 25201   CovMap ccvm 36106

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-ec 8722  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-sum 15859  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-cmp 23710  df-conn 23735  df-lly 23790  df-nlly 23791  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-ii 25203  df-cncf 25204  df-htpy 25296  df-phtpy 25297  df-phtpc 25318  df-pconn 36072  df-sconn 36073  df-cvm 36107

This theorem is used by:  cvmlift2  36167