Theorem cvmlift2lem13 35828

Description: Lemma for cvmlift2 35829. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift2.i	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h	⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem13	⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓, 𝑔)   𝐻(𝑔)

Proof of Theorem cvmlift2lem13

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑎 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3		cvmlift2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4		cvmlift2.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
5		cvmlift2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
6		cvmlift2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
7		cvmlift2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))
8		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑧 → (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) = (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
9	8	eleq2d 2852	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) ↔ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)))
10	9	cbvrabv 3429	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
11		sneq 4604	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → {𝑧} = {𝑏})
12	11	xpeq2d 5696	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → ((0[,]1) × {𝑧}) = ((0[,]1) × {𝑏}))
13	12	sseq1d 3971	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
14	13	cbvrabv 3429	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}} = {𝑏 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}}
15		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → 𝑑 = 𝑡)
16	15	eleq1d 2851	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (𝑑 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
17		xpeq1 5680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑏}) = (𝑢 × {𝑏}))
18	17	sseq1d 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
19		xpeq1 5680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑑}))
20	19	sseq1d 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
21	18, 20	bibi12d 348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
22	21	cbvrexvw 3247	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
23		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → 𝑐 = 𝑟)
24	23	sneqd 4606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → {𝑐} = {𝑟})
25	24	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → ((nei‘II)‘{𝑐}) = ((nei‘II)‘{𝑟}))
26	15	sneqd 4606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → {𝑑} = {𝑡})
27	26	xpeq2d 5696	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (𝑢 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑡}))
28	27	sseq1d 3971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → ((𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
29	28	bibi2d 345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
30	25, 29	rexeqbidv 3342	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
31	22, 30	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
32	16, 31	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → ((𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))))
33	32	cbvopabv 5189	. . . 4 ⊢ {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ (𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))} = {⟨𝑟, 𝑡⟩ ∣ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))}
34	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 14, 33	cvmlift2lem12 35827	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem7 35822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺)
36		0elunit 13514	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem8 35823	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
38	36, 37	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
39	1, 2, 3, 4, 5, 6	cvmlift2lem2 35817	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
40	39	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = 𝑃)
41	38, 40	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0𝐾0) = 𝑃)
42		coeq2 5849	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐾))
43	42	eqeq1d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → ((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
44		oveq 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → (0𝑔0) = (0𝐾0))
45	44	eqeq1d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (0𝐾0) = 𝑃))
46	43, 45	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → (((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)))
47	46	rspcev 3584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)) → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
48	34, 35, 41, 47	syl12anc 850	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
49		iitop 25076	. . . . 5 ⊢ II ∈ Top
50		iiuni 25077	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
51	49, 49, 50, 50	txunii 23787	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) × (0[,]1)) = ∪ (II ×t II)
52		iiconn 25083	. . . . . 6 ⊢ II ∈ Conn
53		txconn 23883	. . . . . 6 ⊢ ((II ∈ Conn ∧ II ∈ Conn) → (II ×t II) ∈ Conn)
54	52, 52, 53	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (II ×t II) ∈ Conn
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (II ×t II) ∈ Conn)
56		iinllyconn 35767	. . . . . 6 ⊢ II ∈ 𝑛-Locally Conn
57		txconn 23883	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Conn ∧ 𝑦 ∈ Conn) → (𝑥 ×t 𝑦) ∈ Conn)
58	57	txnlly 23831	. . . . . 6 ⊢ ((II ∈ 𝑛-Locally Conn ∧ II ∈ 𝑛-Locally Conn) → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
59	56, 56, 58	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn
60	59	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
61		opelxpi 5703	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
62	36, 36, 61	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))
63	62	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
64		df-ov 7426	. . . . 5 ⊢ (0𝐺0) = (𝐺‘⟨0, 0⟩)
65	5, 64	eqtrdi 2817	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘⟨0, 0⟩))
66	1, 51, 2, 55, 60, 63, 3, 4, 65	cvmliftmo 35797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
67		df-ov 7426	. . . . . 6 ⊢ (0𝑔0) = (𝑔‘⟨0, 0⟩)
68	67	eqeq1i 2771	. . . . 5 ⊢ ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃)
69	68	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
70	69	rmobii 3380	. . 3 ⊢ (∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
71	66, 70	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
72		reu5 3374	. 2 ⊢ (∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ (∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ∧ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃)))
73	48, 71, 72	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092  ∃!wreu 3370  ∃*wrmo 3371  {crab 3419   ⊆ wss 3908  {csn 4594  ⟨cop 4600  ∪ cuni 4877  {copab 5178   ↦ cmpt 5197   × cxp 5664   ∘ ccom 5670  ‘cfv 6543  ℩crio 7379  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  0cc0 11118  1c1 11119  [,]cicc 13393  neicnei 23291   Cn ccn 23418   CnP ccnp 23419  Conncconn 23605  𝑛-Locally cnlly 23659   ×_t ctx 23754  IIcii 25071   CovMap ccvm 35768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-cmp 23581  df-conn 23606  df-lly 23660  df-nlly 23661  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-ii 25073  df-cncf 25074  df-htpy 25166  df-phtpy 25167  df-phtpc 25188  df-pconn 35734  df-sconn 35735  df-cvm 35769

This theorem is used by:  cvmlift2  35829