Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem13 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmlift2lem13 34605
Description: Lemma for cvmlift2 34606. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmlift2.i (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem13 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐹   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑔)
Proof of Theorem cvmlift2lem13
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑣 π‘Ž π‘Ÿ 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . . . 4 𝐡 = βˆͺ 𝐢
2 cvmlift2.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
3 cvmlift2.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
4 cvmlift2.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
5 cvmlift2.i . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
6 cvmlift2.h . . . 4 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
7 cvmlift2.k . . . 4 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
8 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž) = (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
98eleq2d 2818 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž) ↔ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)))
109cbvrabv 3441 . . . 4 {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} = {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)}
11 sneq 4638 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 β†’ {𝑧} = {𝑏})
1211xpeq2d 5706 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑏 β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑧}) = ((0[,]1) Γ— {𝑏}))
1312sseq1d 4013 . . . . 5 (𝑧 = 𝑏 β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑧}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ ((0[,]1) Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))
1413cbvrabv 3441 . . . 4 {𝑧 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) Γ— {𝑧}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}} = {𝑏 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}}
15 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ 𝑑 = 𝑑)
1615eleq1d 2817 . . . . . 6 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ (𝑑 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑑 ∈ (0[,]1)))
17 xpeq1 5690 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑣 Γ— {𝑏}) = (𝑒 Γ— {𝑏}))
1817sseq1d 4013 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑒 β†’ ((𝑣 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))
19 xpeq1 5690 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑣 Γ— {𝑑}) = (𝑒 Γ— {𝑑}))
2019sseq1d 4013 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑒 β†’ ((𝑣 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))
2118, 20bibi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑒 β†’ (((𝑣 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑣 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}) ↔ ((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)})))
2221cbvrexvw 3234 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐})((𝑣 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑣 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐})((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))
23 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ 𝑐 = π‘Ÿ)
2423sneqd 4640 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ {𝑐} = {π‘Ÿ})
2524fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐}) = ((neiβ€˜II)β€˜{π‘Ÿ}))
2615sneqd 4640 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ {𝑑} = {𝑑})
2726xpeq2d 5706 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ (𝑒 Γ— {𝑑}) = (𝑒 Γ— {𝑑}))
2827sseq1d 4013 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ ((𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))
2928bibi2d 342 . . . . . . . 8 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ (((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}) ↔ ((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)})))
3025, 29rexeqbidv 3342 . . . . . . 7 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐})((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{π‘Ÿ})((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)})))
3122, 30bitrid 283 . . . . . 6 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐})((𝑣 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑣 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{π‘Ÿ})((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)})))
3216, 31anbi12d 630 . . . . 5 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ ((𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐})((𝑣 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑣 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)})) ↔ (𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{π‘Ÿ})((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))))
3332cbvopabv 5221 . . . 4 {βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ (𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐})((𝑣 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑣 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))} = {βŸ¨π‘Ÿ, π‘‘βŸ© ∣ (𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{π‘Ÿ})((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))}
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 14, 33cvmlift2lem12 34604 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem7 34599 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺)
36 0elunit 13451 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem8 34600 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐾0) = (π»β€˜0))
3836, 37mpan2 688 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0𝐾0) = (π»β€˜0))
391, 2, 3, 4, 5, 6cvmlift2lem2 34594 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ (II Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π»β€˜0) = 𝑃))
4039simp3d 1143 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π»β€˜0) = 𝑃)
4138, 40eqtrd 2771 . . 3 (πœ‘ β†’ (0𝐾0) = 𝑃)
42 coeq2 5858 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐾 β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐾))
4342eqeq1d 2733 . . . . 5 (𝑔 = 𝐾 β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
44 oveq 7418 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐾 β†’ (0𝑔0) = (0𝐾0))
4544eqeq1d 2733 . . . . 5 (𝑔 = 𝐾 β†’ ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (0𝐾0) = 𝑃))
4643, 45anbi12d 630 . . . 4 (𝑔 = 𝐾 β†’ (((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)))
4746rspcev 3612 . . 3 ((𝐾 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
4834, 35, 41, 47syl12anc 834 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
49 iitop 24621 . . . . 5 II ∈ Top
50 iiuni 24622 . . . . 5 (0[,]1) = βˆͺ II
5149, 49, 50, 50txunii 23318 . . . 4 ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) = βˆͺ (II Γ—t II)
52 iiconn 24628 . . . . . 6 II ∈ Conn
53 txconn 23414 . . . . . 6 ((II ∈ Conn ∧ II ∈ Conn) β†’ (II Γ—t II) ∈ Conn)
5452, 52, 53mp2an 689 . . . . 5 (II Γ—t II) ∈ Conn
5554a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (II Γ—t II) ∈ Conn)
56 iinllyconn 34544 . . . . . 6 II ∈ 𝑛-Locally Conn
57 txconn 23414 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ Conn ∧ 𝑦 ∈ Conn) β†’ (π‘₯ Γ—t 𝑦) ∈ Conn)
5857txnlly 23362 . . . . . 6 ((II ∈ 𝑛-Locally Conn ∧ II ∈ 𝑛-Locally Conn) β†’ (II Γ—t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
5956, 56, 58mp2an 689 . . . . 5 (II Γ—t II) ∈ 𝑛-Locally Conn
6059a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (II Γ—t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
61 opelxpi 5713 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
6236, 36, 61mp2an 689 . . . . 5 ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))
6362a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
64 df-ov 7415 . . . . 5 (0𝐺0) = (πΊβ€˜βŸ¨0, 0⟩)
655, 64eqtrdi 2787 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜βŸ¨0, 0⟩))
661, 51, 2, 55, 60, 63, 3, 4, 65cvmliftmo 34574 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (π‘”β€˜βŸ¨0, 0⟩) = 𝑃))
67 df-ov 7415 . . . . . 6 (0𝑔0) = (π‘”β€˜βŸ¨0, 0⟩)
6867eqeq1i 2736 . . . . 5 ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (π‘”β€˜βŸ¨0, 0⟩) = 𝑃)
6968anbi2i 622 . . . 4 (((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (π‘”β€˜βŸ¨0, 0⟩) = 𝑃))
7069rmobii 3383 . . 3 (βˆƒ*𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ βˆƒ*𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (π‘”β€˜βŸ¨0, 0⟩) = 𝑃))
7166, 70sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
72 reu5 3377 . 2 (βˆƒ!𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ (βˆƒπ‘” ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ∧ βˆƒ*𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃)))
7348, 71, 72sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069  βˆƒ!wreu 3373  βˆƒ*wrmo 3374  {crab 3431   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  β„©crio 7367  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  0cc0 11114  1c1 11115  [,]cicc 13332  neicnei 22822   Cn ccn 22949   CnP ccnp 22950  Conncconn 23136  π‘›-Locally cnlly 23190   Γ—t ctx 23285  IIcii 24616   CovMap ccvm 34545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-ec 8709  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-cmp 23112  df-conn 23137  df-lly 23191  df-nlly 23192  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-ii 24618  df-htpy 24717  df-phtpy 24718  df-phtpc 24739  df-pconn 34511  df-sconn 34512  df-cvm 34546
This theorem is referenced by:  cvmlift2  34606
  Copyright terms: Public domain W3C validator