Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem13 32459
Description: Lemma for cvmlift2 32460. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem13 (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑔)

Proof of Theorem cvmlift2lem13
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑎 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . . . 4 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift2.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3 cvmlift2.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4 cvmlift2.p . . . 4 (𝜑𝑃𝐵)
5 cvmlift2.i . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
6 cvmlift2.h . . . 4 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
7 cvmlift2.k . . . 4 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
8 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑧 → (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) = (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
98eleq2d 2895 . . . . 5 (𝑎 = 𝑧 → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) ↔ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)))
109cbvrabv 3489 . . . 4 {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
11 sneq 4567 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → {𝑧} = {𝑏})
1211xpeq2d 5578 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑏 → ((0[,]1) × {𝑧}) = ((0[,]1) × {𝑏}))
1312sseq1d 3995 . . . . 5 (𝑧 = 𝑏 → (((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
1413cbvrabv 3489 . . . 4 {𝑧 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}} = {𝑏 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}}
15 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → 𝑑 = 𝑡)
1615eleq1d 2894 . . . . . 6 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (𝑑 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
17 xpeq1 5562 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑏}) = (𝑢 × {𝑏}))
1817sseq1d 3995 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
19 xpeq1 5562 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑑}))
2019sseq1d 3995 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
2118, 20bibi12d 347 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑢 → (((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
2221cbvrexvw 3448 . . . . . . 7 (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
23 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → 𝑐 = 𝑟)
2423sneqd 4569 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → {𝑐} = {𝑟})
2524fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → ((nei‘II)‘{𝑐}) = ((nei‘II)‘{𝑟}))
2615sneqd 4569 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → {𝑑} = {𝑡})
2726xpeq2d 5578 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (𝑢 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑡}))
2827sseq1d 3995 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → ((𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
2928bibi2d 344 . . . . . . . 8 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
3025, 29rexeqbidv 3400 . . . . . . 7 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
3122, 30syl5bb 284 . . . . . 6 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
3216, 31anbi12d 630 . . . . 5 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → ((𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))))
3332cbvopabv 5129 . . . 4 {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ (𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))} = {⟨𝑟, 𝑡⟩ ∣ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))}
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 14, 33cvmlift2lem12 32458 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem7 32453 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝐺)
36 0elunit 12843 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem8 32454 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
3836, 37mpan2 687 . . . 4 (𝜑 → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
391, 2, 3, 4, 5, 6cvmlift2lem2 32448 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
4039simp3d 1136 . . . 4 (𝜑 → (𝐻‘0) = 𝑃)
4138, 40eqtrd 2853 . . 3 (𝜑 → (0𝐾0) = 𝑃)
42 coeq2 5722 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐾 → (𝐹𝑔) = (𝐹𝐾))
4342eqeq1d 2820 . . . . 5 (𝑔 = 𝐾 → ((𝐹𝑔) = 𝐺 ↔ (𝐹𝐾) = 𝐺))
44 oveq 7151 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐾 → (0𝑔0) = (0𝐾0))
4544eqeq1d 2820 . . . . 5 (𝑔 = 𝐾 → ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (0𝐾0) = 𝑃))
4643, 45anbi12d 630 . . . 4 (𝑔 = 𝐾 → (((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)))
4746rspcev 3620 . . 3 ((𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)) → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
4834, 35, 41, 47syl12anc 832 . 2 (𝜑 → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
49 iitop 23415 . . . . 5 II ∈ Top
50 iiuni 23416 . . . . 5 (0[,]1) = II
5149, 49, 50, 50txunii 22129 . . . 4 ((0[,]1) × (0[,]1)) = (II ×t II)
52 iiconn 23422 . . . . . 6 II ∈ Conn
53 txconn 22225 . . . . . 6 ((II ∈ Conn ∧ II ∈ Conn) → (II ×t II) ∈ Conn)
5452, 52, 53mp2an 688 . . . . 5 (II ×t II) ∈ Conn
5554a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (II ×t II) ∈ Conn)
56 iinllyconn 32398 . . . . . 6 II ∈ 𝑛-Locally Conn
57 txconn 22225 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Conn ∧ 𝑦 ∈ Conn) → (𝑥 ×t 𝑦) ∈ Conn)
5857txnlly 22173 . . . . . 6 ((II ∈ 𝑛-Locally Conn ∧ II ∈ 𝑛-Locally Conn) → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
5956, 56, 58mp2an 688 . . . . 5 (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn
6059a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
61 opelxpi 5585 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
6236, 36, 61mp2an 688 . . . . 5 ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))
6362a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
64 df-ov 7148 . . . . 5 (0𝐺0) = (𝐺‘⟨0, 0⟩)
655, 64syl6eq 2869 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘⟨0, 0⟩))
661, 51, 2, 55, 60, 63, 3, 4, 65cvmliftmo 32428 . . 3 (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
67 df-ov 7148 . . . . . 6 (0𝑔0) = (𝑔‘⟨0, 0⟩)
6867eqeq1i 2823 . . . . 5 ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃)
6968anbi2i 622 . . . 4 (((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
7069rmobii 3394 . . 3 (∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
7166, 70sylibr 235 . 2 (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
72 reu5 3428 . 2 (∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ (∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ∧ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃)))
7348, 71, 72sylanbrc 583 1 (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wrex 3136  ∃!wreu 3137  ∃*wrmo 3138  {crab 3139  wss 3933  {csn 4557  cop 4563   cuni 4830  {copab 5119  cmpt 5137   × cxp 5546  ccom 5552  cfv 6348  crio 7102  (class class class)co 7145  cmpo 7147  0cc0 10525  1c1 10526  [,]cicc 12729  neicnei 21633   Cn ccn 21760   CnP ccnp 21761  Conncconn 21947  𝑛-Locally cnlly 22001   ×t ctx 22096  IIcii 23410   CovMap ccvm 32399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-ec 8280  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-cmp 21923  df-conn 21948  df-lly 22002  df-nlly 22003  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-ii 23412  df-htpy 23501  df-phtpy 23502  df-phtpc 23523  df-pconn 32365  df-sconn 32366  df-cvm 32400
This theorem is referenced by:  cvmlift2  32460
  Copyright terms: Public domain W3C validator