Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem13 35300
Description: Lemma for cvmlift2 35301. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem13 (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑔)

Proof of Theorem cvmlift2lem13
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑎 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . . . 4 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift2.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3 cvmlift2.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4 cvmlift2.p . . . 4 (𝜑𝑃𝐵)
5 cvmlift2.i . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
6 cvmlift2.h . . . 4 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
7 cvmlift2.k . . . 4 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
8 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑧 → (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) = (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
98eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑎 = 𝑧 → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) ↔ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)))
109cbvrabv 3444 . . . 4 {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
11 sneq 4641 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → {𝑧} = {𝑏})
1211xpeq2d 5719 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑏 → ((0[,]1) × {𝑧}) = ((0[,]1) × {𝑏}))
1312sseq1d 4027 . . . . 5 (𝑧 = 𝑏 → (((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
1413cbvrabv 3444 . . . 4 {𝑧 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}} = {𝑏 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}}
15 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → 𝑑 = 𝑡)
1615eleq1d 2824 . . . . . 6 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (𝑑 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
17 xpeq1 5703 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑏}) = (𝑢 × {𝑏}))
1817sseq1d 4027 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
19 xpeq1 5703 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑑}))
2019sseq1d 4027 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
2118, 20bibi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑢 → (((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
2221cbvrexvw 3236 . . . . . . 7 (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
23 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → 𝑐 = 𝑟)
2423sneqd 4643 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → {𝑐} = {𝑟})
2524fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → ((nei‘II)‘{𝑐}) = ((nei‘II)‘{𝑟}))
2615sneqd 4643 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → {𝑑} = {𝑡})
2726xpeq2d 5719 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (𝑢 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑡}))
2827sseq1d 4027 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → ((𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
2928bibi2d 342 . . . . . . . 8 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
3025, 29rexeqbidv 3345 . . . . . . 7 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
3122, 30bitrid 283 . . . . . 6 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
3216, 31anbi12d 632 . . . . 5 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → ((𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))))
3332cbvopabv 5221 . . . 4 {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ (𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))} = {⟨𝑟, 𝑡⟩ ∣ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))}
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 14, 33cvmlift2lem12 35299 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem7 35294 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝐺)
36 0elunit 13506 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem8 35295 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
3836, 37mpan2 691 . . . 4 (𝜑 → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
391, 2, 3, 4, 5, 6cvmlift2lem2 35289 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
4039simp3d 1143 . . . 4 (𝜑 → (𝐻‘0) = 𝑃)
4138, 40eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (0𝐾0) = 𝑃)
42 coeq2 5872 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐾 → (𝐹𝑔) = (𝐹𝐾))
4342eqeq1d 2737 . . . . 5 (𝑔 = 𝐾 → ((𝐹𝑔) = 𝐺 ↔ (𝐹𝐾) = 𝐺))
44 oveq 7437 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐾 → (0𝑔0) = (0𝐾0))
4544eqeq1d 2737 . . . . 5 (𝑔 = 𝐾 → ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (0𝐾0) = 𝑃))
4643, 45anbi12d 632 . . . 4 (𝑔 = 𝐾 → (((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)))
4746rspcev 3622 . . 3 ((𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)) → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
4834, 35, 41, 47syl12anc 837 . 2 (𝜑 → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
49 iitop 24920 . . . . 5 II ∈ Top
50 iiuni 24921 . . . . 5 (0[,]1) = II
5149, 49, 50, 50txunii 23617 . . . 4 ((0[,]1) × (0[,]1)) = (II ×t II)
52 iiconn 24927 . . . . . 6 II ∈ Conn
53 txconn 23713 . . . . . 6 ((II ∈ Conn ∧ II ∈ Conn) → (II ×t II) ∈ Conn)
5452, 52, 53mp2an 692 . . . . 5 (II ×t II) ∈ Conn
5554a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (II ×t II) ∈ Conn)
56 iinllyconn 35239 . . . . . 6 II ∈ 𝑛-Locally Conn
57 txconn 23713 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Conn ∧ 𝑦 ∈ Conn) → (𝑥 ×t 𝑦) ∈ Conn)
5857txnlly 23661 . . . . . 6 ((II ∈ 𝑛-Locally Conn ∧ II ∈ 𝑛-Locally Conn) → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
5956, 56, 58mp2an 692 . . . . 5 (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn
6059a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
61 opelxpi 5726 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
6236, 36, 61mp2an 692 . . . . 5 ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))
6362a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
64 df-ov 7434 . . . . 5 (0𝐺0) = (𝐺‘⟨0, 0⟩)
655, 64eqtrdi 2791 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘⟨0, 0⟩))
661, 51, 2, 55, 60, 63, 3, 4, 65cvmliftmo 35269 . . 3 (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
67 df-ov 7434 . . . . . 6 (0𝑔0) = (𝑔‘⟨0, 0⟩)
6867eqeq1i 2740 . . . . 5 ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃)
6968anbi2i 623 . . . 4 (((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
7069rmobii 3386 . . 3 (∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
7166, 70sylibr 234 . 2 (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
72 reu5 3380 . 2 (∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ (∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ∧ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃)))
7348, 71, 72sylanbrc 583 1 (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  ∃!wreu 3376  ∃*wrmo 3377  {crab 3433  wss 3963  {csn 4631  cop 4637   cuni 4912  {copab 5210  cmpt 5231   × cxp 5687  ccom 5693  cfv 6563  crio 7387  (class class class)co 7431  cmpo 7433  0cc0 11153  1c1 11154  [,]cicc 13387  neicnei 23121   Cn ccn 23248   CnP ccnp 23249  Conncconn 23435  𝑛-Locally cnlly 23489   ×t ctx 23584  IIcii 24915   CovMap ccvm 35240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-ec 8746  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-cmp 23411  df-conn 23436  df-lly 23490  df-nlly 23491  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-ii 24917  df-cncf 24918  df-htpy 25016  df-phtpy 25017  df-phtpc 25038  df-pconn 35206  df-sconn 35207  df-cvm 35241
This theorem is referenced by:  cvmlift2  35301
  Copyright terms: Public domain W3C validator