Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift2lem13 31814
Description: Lemma for cvmlift2 31815. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift2.i (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem13 (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑔)

Proof of Theorem cvmlift2lem13
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑎 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . . . 4 𝐵 = 𝐶
2 cvmlift2.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3 cvmlift2.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4 cvmlift2.p . . . 4 (𝜑𝑃𝐵)
5 cvmlift2.i . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (0𝐺0))
6 cvmlift2.h . . . 4 𝐻 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
7 cvmlift2.k . . . 4 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻𝑥)))‘𝑦))
8 fveq2 6411 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑧 → (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) = (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
98eleq2d 2864 . . . . 5 (𝑎 = 𝑧 → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) ↔ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)))
109cbvrabv 3383 . . . 4 {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
11 sneq 4378 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 → {𝑧} = {𝑏})
1211xpeq2d 5342 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑏 → ((0[,]1) × {𝑧}) = ((0[,]1) × {𝑏}))
1312sseq1d 3828 . . . . 5 (𝑧 = 𝑏 → (((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
1413cbvrabv 3383 . . . 4 {𝑧 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}} = {𝑏 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}}
15 simpr 478 . . . . . . 7 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → 𝑑 = 𝑡)
1615eleq1d 2863 . . . . . 6 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (𝑑 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
17 xpeq1 5326 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑏}) = (𝑢 × {𝑏}))
1817sseq1d 3828 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
19 xpeq1 5326 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑑}))
2019sseq1d 3828 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
2118, 20bibi12d 337 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑢 → (((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
2221cbvrexv 3355 . . . . . . 7 (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
23 simpl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → 𝑐 = 𝑟)
2423sneqd 4380 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → {𝑐} = {𝑟})
2524fveq2d 6415 . . . . . . . 8 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → ((nei‘II)‘{𝑐}) = ((nei‘II)‘{𝑟}))
2615sneqd 4380 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → {𝑑} = {𝑡})
2726xpeq2d 5342 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (𝑢 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑡}))
2827sseq1d 3828 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → ((𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
2928bibi2d 334 . . . . . . . 8 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
3025, 29rexeqbidv 3336 . . . . . . 7 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
3122, 30syl5bb 275 . . . . . 6 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
3216, 31anbi12d 625 . . . . 5 ((𝑐 = 𝑟𝑑 = 𝑡) → ((𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))))
3332cbvopabv 4915 . . . 4 {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ (𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))} = {⟨𝑟, 𝑡⟩ ∣ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))}
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 14, 33cvmlift2lem12 31813 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem7 31808 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝐺)
36 0elunit 12542 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem8 31809 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
3836, 37mpan2 683 . . . 4 (𝜑 → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
391, 2, 3, 4, 5, 6cvmlift2lem2 31803 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
4039simp3d 1175 . . . 4 (𝜑 → (𝐻‘0) = 𝑃)
4138, 40eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → (0𝐾0) = 𝑃)
42 coeq2 5484 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐾 → (𝐹𝑔) = (𝐹𝐾))
4342eqeq1d 2801 . . . . 5 (𝑔 = 𝐾 → ((𝐹𝑔) = 𝐺 ↔ (𝐹𝐾) = 𝐺))
44 oveq 6884 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐾 → (0𝑔0) = (0𝐾0))
4544eqeq1d 2801 . . . . 5 (𝑔 = 𝐾 → ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (0𝐾0) = 𝑃))
4643, 45anbi12d 625 . . . 4 (𝑔 = 𝐾 → (((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)))
4746rspcev 3497 . . 3 ((𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)) → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
4834, 35, 41, 47syl12anc 866 . 2 (𝜑 → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
49 iitop 23011 . . . . 5 II ∈ Top
50 iiuni 23012 . . . . 5 (0[,]1) = II
5149, 49, 50, 50txunii 21725 . . . 4 ((0[,]1) × (0[,]1)) = (II ×t II)
52 iiconn 23018 . . . . . 6 II ∈ Conn
53 txconn 21821 . . . . . 6 ((II ∈ Conn ∧ II ∈ Conn) → (II ×t II) ∈ Conn)
5452, 52, 53mp2an 684 . . . . 5 (II ×t II) ∈ Conn
5554a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (II ×t II) ∈ Conn)
56 iinllyconn 31753 . . . . . 6 II ∈ 𝑛-Locally Conn
57 txconn 21821 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Conn ∧ 𝑦 ∈ Conn) → (𝑥 ×t 𝑦) ∈ Conn)
5857txnlly 21769 . . . . . 6 ((II ∈ 𝑛-Locally Conn ∧ II ∈ 𝑛-Locally Conn) → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
5956, 56, 58mp2an 684 . . . . 5 (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn
6059a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
61 opelxpi 5349 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
6236, 36, 61mp2an 684 . . . . 5 ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))
6362a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
64 df-ov 6881 . . . . 5 (0𝐺0) = (𝐺‘⟨0, 0⟩)
655, 64syl6eq 2849 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘⟨0, 0⟩))
661, 51, 2, 55, 60, 63, 3, 4, 65cvmliftmo 31783 . . 3 (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
67 df-ov 6881 . . . . . 6 (0𝑔0) = (𝑔‘⟨0, 0⟩)
6867eqeq1i 2804 . . . . 5 ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃)
6968anbi2i 617 . . . 4 (((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
7069rmobii 3316 . . 3 (∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
7166, 70sylibr 226 . 2 (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
72 reu5 3342 . 2 (∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ (∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ∧ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃)))
7348, 71, 72sylanbrc 579 1 (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wrex 3090  ∃!wreu 3091  ∃*wrmo 3092  {crab 3093  wss 3769  {csn 4368  cop 4374   cuni 4628  {copab 4905  cmpt 4922   × cxp 5310  ccom 5316  cfv 6101  crio 6838  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  0cc0 10224  1c1 10225  [,]cicc 12427  neicnei 21230   Cn ccn 21357   CnP ccnp 21358  Conncconn 21543  𝑛-Locally cnlly 21597   ×t ctx 21692  IIcii 23006   CovMap ccvm 31754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-ec 7984  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-sum 14758  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-mulg 17857  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-cmp 21519  df-conn 21544  df-lly 21598  df-nlly 21599  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-ii 23008  df-htpy 23097  df-phtpy 23098  df-phtpc 23119  df-pconn 31720  df-sconn 31721  df-cvm 31755
This theorem is referenced by:  cvmlift2  31815
  Copyright terms: Public domain W3C validator