Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift2lem13 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvmlift2lem13 34604
Description: Lemma for cvmlift2 34605. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift2.b 𝐡 = βˆͺ 𝐢
cvmlift2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
cvmlift2.i (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
cvmlift2.h 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
cvmlift2.k 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
Assertion
Ref Expression
cvmlift2lem13 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐹   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑔,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑔)
Proof of Theorem cvmlift2lem13
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑣 π‘Ž π‘Ÿ 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmlift2.b . . . 4 𝐡 = βˆͺ 𝐢
2 cvmlift2.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐢 CovMap 𝐽))
3 cvmlift2.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐽))
4 cvmlift2.p . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
5 cvmlift2.i . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (0𝐺0))
6 cvmlift2.h . . . 4 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π‘“β€˜0) = 𝑃))
7 cvmlift2.k . . . 4 𝐾 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑧)) ∧ (π‘“β€˜0) = (π»β€˜π‘₯)))β€˜π‘¦))
8 fveq2 6890 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž) = (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§))
98eleq2d 2817 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑧 β†’ (𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž) ↔ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)))
109cbvrabv 3440 . . . 4 {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} = {𝑧 ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘§)}
11 sneq 4637 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑏 β†’ {𝑧} = {𝑏})
1211xpeq2d 5705 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑏 β†’ ((0[,]1) Γ— {𝑧}) = ((0[,]1) Γ— {𝑏}))
1312sseq1d 4012 . . . . 5 (𝑧 = 𝑏 β†’ (((0[,]1) Γ— {𝑧}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ ((0[,]1) Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))
1413cbvrabv 3440 . . . 4 {𝑧 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) Γ— {𝑧}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}} = {𝑏 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}}
15 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ 𝑑 = 𝑑)
1615eleq1d 2816 . . . . . 6 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ (𝑑 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑑 ∈ (0[,]1)))
17 xpeq1 5689 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑣 Γ— {𝑏}) = (𝑒 Γ— {𝑏}))
1817sseq1d 4012 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑒 β†’ ((𝑣 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))
19 xpeq1 5689 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑒 β†’ (𝑣 Γ— {𝑑}) = (𝑒 Γ— {𝑑}))
2019sseq1d 4012 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑒 β†’ ((𝑣 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))
2118, 20bibi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑒 β†’ (((𝑣 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑣 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}) ↔ ((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)})))
2221cbvrexvw 3233 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐})((𝑣 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑣 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐})((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))
23 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ 𝑐 = π‘Ÿ)
2423sneqd 4639 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ {𝑐} = {π‘Ÿ})
2524fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐}) = ((neiβ€˜II)β€˜{π‘Ÿ}))
2615sneqd 4639 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ {𝑑} = {𝑑})
2726xpeq2d 5705 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ (𝑒 Γ— {𝑑}) = (𝑒 Γ— {𝑑}))
2827sseq1d 4012 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ ((𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))
2928bibi2d 341 . . . . . . . 8 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ (((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}) ↔ ((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)})))
3025, 29rexeqbidv 3341 . . . . . . 7 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐})((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{π‘Ÿ})((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)})))
3122, 30bitrid 282 . . . . . 6 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐})((𝑣 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑣 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{π‘Ÿ})((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)})))
3216, 31anbi12d 629 . . . . 5 ((𝑐 = π‘Ÿ ∧ 𝑑 = 𝑑) β†’ ((𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐})((𝑣 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑣 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)})) ↔ (𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{π‘Ÿ})((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))))
3332cbvopabv 5220 . . . 4 {βŸ¨π‘, π‘‘βŸ© ∣ (𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{𝑐})((𝑣 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑣 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))} = {βŸ¨π‘Ÿ, π‘‘βŸ© ∣ (𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ βˆƒπ‘’ ∈ ((neiβ€˜II)β€˜{π‘Ÿ})((𝑒 Γ— {𝑏}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)} ↔ (𝑒 Γ— {𝑑}) βŠ† {π‘Ž ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II Γ—t II) CnP 𝐢)β€˜π‘Ž)}))}
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 14, 33cvmlift2lem12 34603 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem7 34598 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺)
36 0elunit 13450 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7cvmlift2lem8 34599 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐾0) = (π»β€˜0))
3836, 37mpan2 687 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0𝐾0) = (π»β€˜0))
391, 2, 3, 4, 5, 6cvmlift2lem2 34593 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ (II Cn 𝐢) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (π»β€˜0) = 𝑃))
4039simp3d 1142 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π»β€˜0) = 𝑃)
4138, 40eqtrd 2770 . . 3 (πœ‘ β†’ (0𝐾0) = 𝑃)
42 coeq2 5857 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐾 β†’ (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐾))
4342eqeq1d 2732 . . . . 5 (𝑔 = 𝐾 β†’ ((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
44 oveq 7417 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐾 β†’ (0𝑔0) = (0𝐾0))
4544eqeq1d 2732 . . . . 5 (𝑔 = 𝐾 β†’ ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (0𝐾0) = 𝑃))
4643, 45anbi12d 629 . . . 4 (𝑔 = 𝐾 β†’ (((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)))
4746rspcev 3611 . . 3 ((𝐾 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
4834, 35, 41, 47syl12anc 833 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘” ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
49 iitop 24620 . . . . 5 II ∈ Top
50 iiuni 24621 . . . . 5 (0[,]1) = βˆͺ II
5149, 49, 50, 50txunii 23317 . . . 4 ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) = βˆͺ (II Γ—t II)
52 iiconn 24627 . . . . . 6 II ∈ Conn
53 txconn 23413 . . . . . 6 ((II ∈ Conn ∧ II ∈ Conn) β†’ (II Γ—t II) ∈ Conn)
5452, 52, 53mp2an 688 . . . . 5 (II Γ—t II) ∈ Conn
5554a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (II Γ—t II) ∈ Conn)
56 iinllyconn 34543 . . . . . 6 II ∈ 𝑛-Locally Conn
57 txconn 23413 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ Conn ∧ 𝑦 ∈ Conn) β†’ (π‘₯ Γ—t 𝑦) ∈ Conn)
5857txnlly 23361 . . . . . 6 ((II ∈ 𝑛-Locally Conn ∧ II ∈ 𝑛-Locally Conn) β†’ (II Γ—t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
5956, 56, 58mp2an 688 . . . . 5 (II Γ—t II) ∈ 𝑛-Locally Conn
6059a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (II Γ—t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
61 opelxpi 5712 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
6236, 36, 61mp2an 688 . . . . 5 ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1))
6362a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
64 df-ov 7414 . . . . 5 (0𝐺0) = (πΊβ€˜βŸ¨0, 0⟩)
655, 64eqtrdi 2786 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜βŸ¨0, 0⟩))
661, 51, 2, 55, 60, 63, 3, 4, 65cvmliftmo 34573 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (π‘”β€˜βŸ¨0, 0⟩) = 𝑃))
67 df-ov 7414 . . . . . 6 (0𝑔0) = (π‘”β€˜βŸ¨0, 0⟩)
6867eqeq1i 2735 . . . . 5 ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (π‘”β€˜βŸ¨0, 0⟩) = 𝑃)
6968anbi2i 621 . . . 4 (((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (π‘”β€˜βŸ¨0, 0⟩) = 𝑃))
7069rmobii 3382 . . 3 (βˆƒ*𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ βˆƒ*𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (π‘”β€˜βŸ¨0, 0⟩) = 𝑃))
7166, 70sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒ*𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
72 reu5 3376 . 2 (βˆƒ!𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ (βˆƒπ‘” ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ∧ βˆƒ*𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃)))
7348, 71, 72sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑔 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝐢)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  βˆƒ!wreu 3372  βˆƒ*wrmo 3373  {crab 3430   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βˆͺ cuni 4907  {copab 5209   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6542  β„©crio 7366  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  0cc0 11112  1c1 11113  [,]cicc 13331  neicnei 22821   Cn ccn 22948   CnP ccnp 22949  Conncconn 23135  π‘›-Locally cnlly 23189   Γ—t ctx 23284  IIcii 24615   CovMap ccvm 34544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-conn 23136  df-lly 23190  df-nlly 23191  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-ii 24617  df-htpy 24716  df-phtpy 24717  df-phtpc 24738  df-pconn 34510  df-sconn 34511  df-cvm 34545
This theorem is referenced by:  cvmlift2  34605
  Copyright terms: Public domain W3C validator