Theorem cvmlift2lem13 35380

Description: Lemma for cvmlift2 35381. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift2.i	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h	⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem13	⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑔)

Proof of Theorem cvmlift2lem13

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑎 𝑟 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3		cvmlift2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4		cvmlift2.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
5		cvmlift2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
6		cvmlift2.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
7		cvmlift2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))
8		fveq2 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑧 → (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) = (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧))
9	8	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑧 → (𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎) ↔ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)))
10	9	cbvrabv 3406	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} = {𝑧 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑧)}
11		sneq 4585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → {𝑧} = {𝑏})
12	11	xpeq2d 5649	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → ((0[,]1) × {𝑧}) = ((0[,]1) × {𝑏}))
13	12	sseq1d 3962	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑏 → (((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
14	13	cbvrabv 3406	. . . 4 ⊢ {𝑧 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑧}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}} = {𝑏 ∈ (0[,]1) ∣ ((0[,]1) × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}}
15		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → 𝑑 = 𝑡)
16	15	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (𝑑 ∈ (0[,]1) ↔ 𝑡 ∈ (0[,]1)))
17		xpeq1 5633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑏}) = (𝑢 × {𝑏}))
18	17	sseq1d 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
19		xpeq1 5633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (𝑣 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑑}))
20	19	sseq1d 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → ((𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
21	18, 20	bibi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑢 → (((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
22	21	cbvrexvw 3212	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
23		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → 𝑐 = 𝑟)
24	23	sneqd 4587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → {𝑐} = {𝑟})
25	24	fveq2d 6832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → ((nei‘II)‘{𝑐}) = ((nei‘II)‘{𝑟}))
26	15	sneqd 4587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → {𝑑} = {𝑡})
27	26	xpeq2d 5649	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (𝑢 × {𝑑}) = (𝑢 × {𝑡}))
28	27	sseq1d 3962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → ((𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))
29	28	bibi2d 342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
30	25, 29	rexeqbidv 3314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
31	22, 30	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}) ↔ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})))
32	16, 31	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 = 𝑟 ∧ 𝑑 = 𝑡) → ((𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)})) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))))
33	32	cbvopabv 5166	. . . 4 ⊢ {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ (𝑑 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑣 ∈ ((nei‘II)‘{𝑐})((𝑣 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑣 × {𝑑}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))} = {⟨𝑟, 𝑡⟩ ∣ (𝑡 ∈ (0[,]1) ∧ ∃𝑢 ∈ ((nei‘II)‘{𝑟})((𝑢 × {𝑏}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)} ↔ (𝑢 × {𝑡}) ⊆ {𝑎 ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)) ∣ 𝐾 ∈ (((II ×t II) CnP 𝐶)‘𝑎)}))}
34	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 14, 33	cvmlift2lem12 35379	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
35	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem7 35374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺)
36		0elunit 13371	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
37	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem8 35375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
38	36, 37	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0𝐾0) = (𝐻‘0))
39	1, 2, 3, 4, 5, 6	cvmlift2lem2 35369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ 𝐻) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝐻‘0) = 𝑃))
40	39	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = 𝑃)
41	38, 40	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0𝐾0) = 𝑃)
42		coeq2 5802	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → (𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐹 ∘ 𝐾))
43	42	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → ((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ↔ (𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺))
44		oveq 7358	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → (0𝑔0) = (0𝐾0))
45	44	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (0𝐾0) = 𝑃))
46	43, 45	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐾 → (((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)))
47	46	rspcev 3573	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹 ∘ 𝐾) = 𝐺 ∧ (0𝐾0) = 𝑃)) → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
48	34, 35, 41, 47	syl12anc 836	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
49		iitop 24801	. . . . 5 ⊢ II ∈ Top
50		iiuni 24802	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
51	49, 49, 50, 50	txunii 23509	. . . 4 ⊢ ((0[,]1) × (0[,]1)) = ∪ (II ×t II)
52		iiconn 24808	. . . . . 6 ⊢ II ∈ Conn
53		txconn 23605	. . . . . 6 ⊢ ((II ∈ Conn ∧ II ∈ Conn) → (II ×t II) ∈ Conn)
54	52, 52, 53	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (II ×t II) ∈ Conn
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (II ×t II) ∈ Conn)
56		iinllyconn 35319	. . . . . 6 ⊢ II ∈ 𝑛-Locally Conn
57		txconn 23605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ Conn ∧ 𝑦 ∈ Conn) → (𝑥 ×t 𝑦) ∈ Conn)
58	57	txnlly 23553	. . . . . 6 ⊢ ((II ∈ 𝑛-Locally Conn ∧ II ∈ 𝑛-Locally Conn) → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
59	56, 56, 58	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn
60	59	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (II ×t II) ∈ 𝑛-Locally Conn)
61		opelxpi 5656	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
62	36, 36, 61	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1))
63	62	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨0, 0⟩ ∈ ((0[,]1) × (0[,]1)))
64		df-ov 7355	. . . . 5 ⊢ (0𝐺0) = (𝐺‘⟨0, 0⟩)
65	5, 64	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘⟨0, 0⟩))
66	1, 51, 2, 55, 60, 63, 3, 4, 65	cvmliftmo 35349	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
67		df-ov 7355	. . . . . 6 ⊢ (0𝑔0) = (𝑔‘⟨0, 0⟩)
68	67	eqeq1i 2738	. . . . 5 ⊢ ((0𝑔0) = 𝑃 ↔ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃)
69	68	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
70	69	rmobii 3355	. . 3 ⊢ (∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (𝑔‘⟨0, 0⟩) = 𝑃))
71	66, 70	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))
72		reu5 3349	. 2 ⊢ (∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ↔ (∃𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃) ∧ ∃*𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃)))
73	48, 71, 72	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = 𝐺 ∧ (0𝑔0) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057  ∃!wreu 3345  ∃*wrmo 3346  {crab 3396   ⊆ wss 3898  {csn 4575  ⟨cop 4581  ∪ cuni 4858  {copab 5155   ↦ cmpt 5174   × cxp 5617   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6486  ℩crio 7308  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  0cc0 11013  1c1 11014  [,]cicc 13250  neicnei 23013   Cn ccn 23140   CnP ccnp 23141  Conncconn 23327  𝑛-Locally cnlly 23381   ×_t ctx 23476  IIcii 24796   CovMap ccvm 35320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-ec 8630  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-sum 15596  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-cmp 23303  df-conn 23328  df-lly 23382  df-nlly 23383  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-ii 24798  df-cncf 24799  df-htpy 24897  df-phtpy 24898  df-phtpc 24919  df-pconn 35286  df-sconn 35287  df-cvm 35321

This theorem is referenced by:  cvmlift2  35381