Theorem dya2iocucvr 34266

Description: The dyadic rectangular set collection covers (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocucvr	⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocucvr

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unissb 4944	. . 3 ⊢ (∪ ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ) ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝑅 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
2		dya2ioc.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
3		vex 3482	. . . . . 6 ⊢ 𝑢 ∈ V
4		vex 3482	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
5	3, 4	xpex 7772	. . . . 5 ⊢ (𝑢 × 𝑣) ∈ V
6	2, 5	elrnmpo 7569	. . . 4 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑢 ∈ ran 𝐼∃𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
8		pwssb 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝐼 𝑑 ⊆ ℝ)
9		dya2ioc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
10		ovex 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
11	9, 10	elrnmpo 7569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
13		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zred 12720	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		2re 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℝ)
17		2ne0 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ≠ 0)
19		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
20	16, 18, 19	reexpclzd 14285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
21		2cnd 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℂ)
22	21, 18, 19	expne0d 14189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ≠ 0)
23	14, 20, 22	redivcld 12093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
24		1red 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 1 ∈ ℝ)
25	14, 24	readdcld 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
26	25, 20, 22	redivcld 12093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
27	26	rexrd 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
28		icossre 13465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
29	23, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
30	12, 29	eqsstrd 4034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
31	30	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ))
32	31	rexlimivv 3199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
33	11, 32	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 → 𝑑 ⊆ ℝ)
34	8, 33	mprgbir 3066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
35	34	sseli 3991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ran 𝐼 → 𝑢 ∈ 𝒫 ℝ)
36	35	elpwid 4614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ran 𝐼 → 𝑢 ⊆ ℝ)
37	34	sseli 3991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ran 𝐼 → 𝑣 ∈ 𝒫 ℝ)
38	37	elpwid 4614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ran 𝐼 → 𝑣 ⊆ ℝ)
39		xpss12 5704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ 𝑣 ⊆ ℝ) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
40	36, 38, 39	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
42	7, 41	eqsstrd 4034	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ)))
44	43	rexlimivv 3199	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran 𝐼∃𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
45	6, 44	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝑅 → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
46	1, 45	mprgbir 3066	. 2 ⊢ ∪ ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ)
47		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
48		retop 24798	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
49	47, 48	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
50	49, 49	txtopi 23614	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
51		uniretop 24799	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
52	47	unieqi 4924	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
53	51, 52	eqtr4i 2766	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
54	49, 49, 53, 53	txunii 23617	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
55	54	topopn 22928	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top → (ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
56	47, 9, 2	dya2iocuni 34265	. . . 4 ⊢ ((ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ))
57	50, 55, 56	mp2b 10	. . 3 ⊢ ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)
58		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ))
59		elpwi 4612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → 𝑐 ⊆ ran 𝑅)
60	59	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → 𝑐 ⊆ ran 𝑅)
61	60	unissd 4922	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → ∪ 𝑐 ⊆ ∪ ran 𝑅)
62	58, 61	eqsstrrd 4035	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅)
63	62	rexlimiva 3145	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ) → (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅)
64	57, 63	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅
65	46, 64	eqssi 4012	1 ⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  ∪ cuni 4912   × cxp 5687  ran crn 5690  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  ℝ^*cxr 11292   / cdiv 11918  2c2 12319  ℤcz 12611  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  ↑cexp 14099  topGenctg 17484  Topctop 22915   ×_t ctx 23584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-fcls 23965  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-cfil 25303  df-cmet 25305  df-cms 25383  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614  df-logb 26823

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  34267  sxbrsigalem2  34268  sxbrsigalem5  34270