Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocucvr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dya2iocucvr 33960
Description: The dyadic rectangular set collection covers (ℝ Γ— ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑒 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocucvr βˆͺ ran 𝑅 = (ℝ Γ— ℝ)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛   π‘₯,𝐼   𝑣,𝑒,𝐼,π‘₯   𝑒,𝑛,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛)
Proof of Theorem dya2iocucvr
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unissb 4937 . . 3 (βˆͺ ran 𝑅 βŠ† (ℝ Γ— ℝ) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ran 𝑅 𝑑 βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
2 dya2ioc.2 . . . . 5 𝑅 = (𝑒 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
3 vex 3467 . . . . . 6 𝑒 ∈ V
4 vex 3467 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
53, 4xpex 7752 . . . . 5 (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ V
62, 5elrnmpo 7553 . . . 4 (𝑑 ∈ ran 𝑅 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΌβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣))
7 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣)) β†’ 𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣))
8 pwssb 5099 . . . . . . . . . . . 12 (ran 𝐼 βŠ† 𝒫 ℝ ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ran 𝐼 𝑑 βŠ† ℝ)
9 dya2ioc.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
10 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
119, 10elrnmpo 7553 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
12 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
13 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
1413zred 12694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
15 2re 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 2 ∈ ℝ)
17 2ne0 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 β‰  0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 2 β‰  0)
19 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2016, 18, 19reexpclzd 14241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ)
21 2cnd 12318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 2 ∈ β„‚)
2221, 18, 19expne0d 14146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ (2↑𝑛) β‰  0)
2314, 20, 22redivcld 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ (π‘₯ / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
24 1red 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 1 ∈ ℝ)
2514, 24readdcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
2625, 20, 22redivcld 12070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
2726rexrd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
28 icossre 13435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) βŠ† ℝ)
2923, 27, 28syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) βŠ† ℝ)
3012, 29eqsstrd 4011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 𝑑 βŠ† ℝ)
3130ex 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) β†’ 𝑑 βŠ† ℝ))
3231rexlimivv 3190 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) β†’ 𝑑 βŠ† ℝ)
3311, 32sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ran 𝐼 β†’ 𝑑 βŠ† ℝ)
348, 33mprgbir 3058 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐼 βŠ† 𝒫 ℝ
3534sseli 3968 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ ran 𝐼 β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
3635elpwid 4607 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ran 𝐼 β†’ 𝑒 βŠ† ℝ)
3734sseli 3968 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ran 𝐼 β†’ 𝑣 ∈ 𝒫 ℝ)
3837elpwid 4607 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ran 𝐼 β†’ 𝑣 βŠ† ℝ)
39 xpss12 5687 . . . . . . . . 9 ((𝑒 βŠ† ℝ ∧ 𝑣 βŠ† ℝ) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
4036, 38, 39syl2an 594 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
4140adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
427, 41eqsstrd 4011 . . . . . 6 (((𝑒 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣)) β†’ 𝑑 βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
4342ex 411 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) β†’ (𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ 𝑑 βŠ† (ℝ Γ— ℝ)))
4443rexlimivv 3190 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ ran πΌβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ 𝑑 βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
456, 44sylbi 216 . . 3 (𝑑 ∈ ran 𝑅 β†’ 𝑑 βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
461, 45mprgbir 3058 . 2 βˆͺ ran 𝑅 βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
47 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
48 retop 24694 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
4947, 48eqeltri 2821 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
5049, 49txtopi 23510 . . . 4 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ Top
51 uniretop 24695 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
5247unieqi 4915 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
5351, 52eqtr4i 2756 . . . . . 6 ℝ = βˆͺ 𝐽
5449, 49, 53, 53txunii 23513 . . . . 5 (ℝ Γ— ℝ) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
5554topopn 22824 . . . 4 ((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ Top β†’ (ℝ Γ— ℝ) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽))
5647, 9, 2dya2iocuni 33959 . . . 4 ((ℝ Γ— ℝ) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 ran 𝑅βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ))
5750, 55, 56mp2b 10 . . 3 βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 ran 𝑅βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ)
58 simpr 483 . . . . 5 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ)) β†’ βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ))
59 elpwi 4605 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 β†’ 𝑐 βŠ† ran 𝑅)
6059adantr 479 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝑐 βŠ† ran 𝑅)
6160unissd 4913 . . . . 5 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ)) β†’ βˆͺ 𝑐 βŠ† βˆͺ ran 𝑅)
6258, 61eqsstrrd 4012 . . . 4 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ)) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† βˆͺ ran 𝑅)
6362rexlimiva 3137 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 ran 𝑅βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† βˆͺ ran 𝑅)
6457, 63ax-mp 5 . 2 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† βˆͺ ran 𝑅
6546, 64eqssi 3989 1 βˆͺ ran 𝑅 = (ℝ Γ— ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3940  π’« cpw 4598  βˆͺ cuni 4903   Γ— cxp 5670  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  β„*cxr 11275   / cdiv 11899  2c2 12295  β„€cz 12586  (,)cioo 13354  [,)cico 13356  β†‘cexp 14056  topGenctg 17416  Topctop 22811   Γ—t ctx 23480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-refld 21539  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-fcls 23861  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-cfil 25199  df-cmet 25201  df-cms 25279  df-limc 25811  df-dv 25812  df-log 26506  df-cxp 26507  df-logb 26713
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  33961  sxbrsigalem2  33962  sxbrsigalem5  33964
  Copyright terms: Public domain W3C validator