Theorem dya2iocucvr 34542

Description: The dyadic rectangular set collection covers (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocucvr	⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocucvr

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unissb 4898	. . 3 ⊢ (∪ ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ) ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝑅 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
2		dya2ioc.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
3		vex 3457	. . . . . 6 ⊢ 𝑢 ∈ V
4		vex 3457	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
5	3, 4	xpex 7732	. . . . 5 ⊢ (𝑢 × 𝑣) ∈ V
6	2, 5	elrnmpo 7528	. . . 4 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑢 ∈ ran 𝐼∃𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
7		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
8		pwssb 5057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝐼 𝑑 ⊆ ℝ)
9		dya2ioc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
10		ovex 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
11	9, 10	elrnmpo 7528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
12		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
13		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zred 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		2re 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℝ)
17		2ne0 12321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ≠ 0)
19		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
20	16, 18, 19	reexpclzd 14259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
21		2cnd 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℂ)
22	21, 18, 19	expne0d 14162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ≠ 0)
23	14, 20, 22	redivcld 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
24		1red 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 1 ∈ ℝ)
25	14, 24	readdcld 11208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
26	25, 20, 22	redivcld 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
27	26	rexrd 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
28		icossre 13429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
29	23, 27, 28	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
30	12, 29	eqsstrd 3970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
31	30	ex 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ))
32	31	rexlimivv 3203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
33	11, 32	sylbi 219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 → 𝑑 ⊆ ℝ)
34	8, 33	mprgbir 3082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
35	34	sseli 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ran 𝐼 → 𝑢 ∈ 𝒫 ℝ)
36	35	elpwid 4563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ran 𝐼 → 𝑢 ⊆ ℝ)
37	34	sseli 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ran 𝐼 → 𝑣 ∈ 𝒫 ℝ)
38	37	elpwid 4563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ran 𝐼 → 𝑣 ⊆ ℝ)
39		xpss12 5660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ 𝑣 ⊆ ℝ) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
40	36, 38, 39	syl2an 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
41	40	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
42	7, 41	eqsstrd 3970	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
43	42	ex 416	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ)))
44	43	rexlimivv 3203	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran 𝐼∃𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
45	6, 44	sylbi 219	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝑅 → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
46	1, 45	mprgbir 3082	. 2 ⊢ ∪ ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ)
47		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
48		retop 24801	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
49	47, 48	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
50	49, 49	txtopi 23630	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
51		uniretop 24802	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
52	47	unieqi 4876	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
53	51, 52	eqtr4i 2787	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
54	49, 49, 53, 53	txunii 23633	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
55	54	topopn 22946	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top → (ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
56	47, 9, 2	dya2iocuni 34541	. . . 4 ⊢ ((ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ))
57	50, 55, 56	mp2b 10	. . 3 ⊢ ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)
58		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ))
59		elpwi 4561	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → 𝑐 ⊆ ran 𝑅)
60	59	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → 𝑐 ⊆ ran 𝑅)
61	60	unissd 4874	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → ∪ 𝑐 ⊆ ∪ ran 𝑅)
62	58, 61	eqsstrrd 3971	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅)
63	62	rexlimiva 3154	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ) → (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅)
64	57, 63	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅
65	46, 64	eqssi 3952	1 ⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4554  ∪ cuni 4864   × cxp 5643  ran crn 5646  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073  ℝ^*cxr 11212   / cdiv 11841  2c2 12269  ℤcz 12565  (,)cioo 13346  [,)cico 13348  ↑cexp 14071  topGenctg 17449  Topctop 22933   ×_t ctx 23600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15077  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-ef 16080  df-sin 16082  df-cos 16083  df-pi 16085  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-refld 21637  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-cmp 23427  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-fcls 23981  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-cfil 25297  df-cmet 25299  df-cms 25377  df-limc 25908  df-dv 25909  df-log 26598  df-cxp 26599  df-logb 26807

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  34543  sxbrsigalem2  34544  sxbrsigalem5  34546