Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocucvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocucvr 30727
Description: The dyadic rectangular set collection covers (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocucvr ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocucvr
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unissb 4626 . . 3 ( ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ) ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝑅 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
2 dya2ioc.2 . . . . 5 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
3 vex 3352 . . . . . 6 𝑢 ∈ V
4 vex 3352 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
53, 4xpex 7159 . . . . 5 (𝑢 × 𝑣) ∈ V
62, 5elrnmpt2 6970 . . . 4 (𝑑 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
7 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
8 pwssb 4768 . . . . . . . . . . . 12 (ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝐼 𝑑 ⊆ ℝ)
9 dya2ioc.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
10 ovex 6873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
119, 10elrnmpt2 6970 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
12 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
13 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
1413zred 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 2re 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℝ)
17 2ne0 11382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ≠ 0)
19 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
2016, 18, 19reexpclzd 13240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
21 2cnd 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℂ)
2221, 18, 19expne0d 13220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ≠ 0)
2314, 20, 22redivcld 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
24 1red 10293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 1 ∈ ℝ)
2514, 24readdcld 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
2625, 20, 22redivcld 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
2726rexrd 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
28 icossre 12455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
2923, 27, 28syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
3012, 29eqsstrd 3798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
3130ex 401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ))
3231rexlimivv 3182 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
3311, 32sylbi 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ran 𝐼𝑑 ⊆ ℝ)
348, 33mprgbir 3073 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
3534sseli 3756 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ ran 𝐼𝑢 ∈ 𝒫 ℝ)
3635elpwid 4326 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ran 𝐼𝑢 ⊆ ℝ)
3734sseli 3756 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ 𝒫 ℝ)
3837elpwid 4326 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ran 𝐼𝑣 ⊆ ℝ)
39 xpss12 5291 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ 𝑣 ⊆ ℝ) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
4036, 38, 39syl2an 589 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
4140adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
427, 41eqsstrd 3798 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
4342ex 401 . . . . 5 ((𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ)))
4443rexlimivv 3182 . . . 4 (∃𝑢 ∈ ran 𝐼𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
456, 44sylbi 208 . . 3 (𝑑 ∈ ran 𝑅𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
461, 45mprgbir 3073 . 2 ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ)
47 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
48 retop 22843 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4947, 48eqeltri 2839 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
5049, 49txtopi 21672 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
51 uniretop 22844 . . . . . . 7 ℝ = (topGen‘ran (,))
5247unieqi 4602 . . . . . . 7 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5351, 52eqtr4i 2789 . . . . . 6 ℝ = 𝐽
5449, 49, 53, 53txunii 21675 . . . . 5 (ℝ × ℝ) = (𝐽 ×t 𝐽)
5554topopn 20989 . . . 4 ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top → (ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
5647, 9, 2dya2iocuni 30726 . . . 4 ((ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ))
5750, 55, 56mp2b 10 . . 3 𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ)
58 simpr 477 . . . . 5 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → 𝑐 = (ℝ × ℝ))
59 elpwi 4324 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅𝑐 ⊆ ran 𝑅)
6059adantr 472 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → 𝑐 ⊆ ran 𝑅)
6160unissd 4619 . . . . 5 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → 𝑐 ran 𝑅)
6258, 61eqsstr3d 3799 . . . 4 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → (ℝ × ℝ) ⊆ ran 𝑅)
6362rexlimiva 3174 . . 3 (∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = (ℝ × ℝ) → (ℝ × ℝ) ⊆ ran 𝑅)
6457, 63ax-mp 5 . 2 (ℝ × ℝ) ⊆ ran 𝑅
6546, 64eqssi 3776 1 ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wrex 3055  wss 3731  𝒫 cpw 4314   cuni 4593   × cxp 5274  ran crn 5277  cfv 6067  (class class class)co 6841  cmpt2 6843  cr 10187  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191  *cxr 10326   / cdiv 10937  2c2 11326  cz 11623  (,)cioo 12376  [,)cico 12378  cexp 13066  topGenctg 16365  Topctop 20976   ×t ctx 21642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266  ax-addf 10267  ax-mulf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-fi 8523  df-sup 8554  df-inf 8555  df-oi 8621  df-card 9015  df-cda 9242  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-ioo 12380  df-ioc 12381  df-ico 12382  df-icc 12383  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14093  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-limsup 14488  df-clim 14505  df-rlim 14506  df-sum 14703  df-ef 15081  df-sin 15083  df-cos 15084  df-pi 15086  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-hom 16239  df-cco 16240  df-rest 16350  df-topn 16351  df-0g 16369  df-gsum 16370  df-topgen 16371  df-pt 16372  df-prds 16375  df-xrs 16429  df-qtop 16434  df-imas 16435  df-xps 16437  df-mre 16513  df-mrc 16514  df-acs 16516  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-submnd 17603  df-mulg 17809  df-cntz 18014  df-cmn 18460  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-fbas 20015  df-fg 20016  df-cnfld 20019  df-refld 20224  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-cld 21102  df-ntr 21103  df-cls 21104  df-nei 21181  df-lp 21219  df-perf 21220  df-cn 21310  df-cnp 21311  df-haus 21398  df-cmp 21469  df-tx 21644  df-hmeo 21837  df-fil 21928  df-fm 22020  df-flim 22021  df-flf 22022  df-fcls 22023  df-xms 22403  df-ms 22404  df-tms 22405  df-cncf 22959  df-cfil 23331  df-cmet 23333  df-cms 23411  df-limc 23920  df-dv 23921  df-log 24593  df-cxp 24594  df-logb 24793
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  30728  sxbrsigalem2  30729  sxbrsigalem5  30731
  Copyright terms: Public domain W3C validator