Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocucvr Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dya2iocucvr 33278
Description: The dyadic rectangular set collection covers (ℝ Γ— ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑒 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocucvr βˆͺ ran 𝑅 = (ℝ Γ— ℝ)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛   π‘₯,𝐼   𝑣,𝑒,𝐼,π‘₯   𝑒,𝑛,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(π‘₯,𝑣,𝑒,𝑛)
Proof of Theorem dya2iocucvr
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unissb 4943 . . 3 (βˆͺ ran 𝑅 βŠ† (ℝ Γ— ℝ) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ran 𝑅 𝑑 βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
2 dya2ioc.2 . . . . 5 𝑅 = (𝑒 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
3 vex 3478 . . . . . 6 𝑒 ∈ V
4 vex 3478 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
53, 4xpex 7739 . . . . 5 (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ V
62, 5elrnmpo 7544 . . . 4 (𝑑 ∈ ran 𝑅 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ ran πΌβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣))
7 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣)) β†’ 𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣))
8 pwssb 5104 . . . . . . . . . . . 12 (ran 𝐼 βŠ† 𝒫 ℝ ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ran 𝐼 𝑑 βŠ† ℝ)
9 dya2ioc.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑛 ∈ β„€ ↦ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
10 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
119, 10elrnmpo 7544 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))))
13 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
1413zred 12665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
15 2re 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 2 ∈ ℝ)
17 2ne0 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 β‰  0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 2 β‰  0)
19 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2016, 18, 19reexpclzd 14211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ)
21 2cnd 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 2 ∈ β„‚)
2221, 18, 19expne0d 14116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ (2↑𝑛) β‰  0)
2314, 20, 22redivcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ (π‘₯ / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
24 1red 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 1 ∈ ℝ)
2514, 24readdcld 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ (π‘₯ + 1) ∈ ℝ)
2625, 20, 22redivcld 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
2726rexrd 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
28 icossre 13404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) βŠ† ℝ)
2923, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) βŠ† ℝ)
3012, 29eqsstrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) ∧ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛)))) β†’ 𝑑 βŠ† ℝ)
3130ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) β†’ 𝑑 βŠ† ℝ))
3231rexlimivv 3199 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘₯ ∈ β„€ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑑 = ((π‘₯ / (2↑𝑛))[,)((π‘₯ + 1) / (2↑𝑛))) β†’ 𝑑 βŠ† ℝ)
3311, 32sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ran 𝐼 β†’ 𝑑 βŠ† ℝ)
348, 33mprgbir 3068 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐼 βŠ† 𝒫 ℝ
3534sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ ran 𝐼 β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
3635elpwid 4611 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ ran 𝐼 β†’ 𝑒 βŠ† ℝ)
3734sseli 3978 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ran 𝐼 β†’ 𝑣 ∈ 𝒫 ℝ)
3837elpwid 4611 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ran 𝐼 β†’ 𝑣 βŠ† ℝ)
39 xpss12 5691 . . . . . . . . 9 ((𝑒 βŠ† ℝ ∧ 𝑣 βŠ† ℝ) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
4036, 38, 39syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
4140adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑒 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
427, 41eqsstrd 4020 . . . . . 6 (((𝑒 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣)) β†’ 𝑑 βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
4342ex 413 . . . . 5 ((𝑒 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) β†’ (𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ 𝑑 βŠ† (ℝ Γ— ℝ)))
4443rexlimivv 3199 . . . 4 (βˆƒπ‘’ ∈ ran πΌβˆƒπ‘£ ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑒 Γ— 𝑣) β†’ 𝑑 βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
456, 44sylbi 216 . . 3 (𝑑 ∈ ran 𝑅 β†’ 𝑑 βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
461, 45mprgbir 3068 . 2 βˆͺ ran 𝑅 βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
47 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
48 retop 24277 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
4947, 48eqeltri 2829 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
5049, 49txtopi 23093 . . . 4 (𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ Top
51 uniretop 24278 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
5247unieqi 4921 . . . . . . 7 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
5351, 52eqtr4i 2763 . . . . . 6 ℝ = βˆͺ 𝐽
5449, 49, 53, 53txunii 23096 . . . . 5 (ℝ Γ— ℝ) = βˆͺ (𝐽 Γ—t 𝐽)
5554topopn 22407 . . . 4 ((𝐽 Γ—t 𝐽) ∈ Top β†’ (ℝ Γ— ℝ) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽))
5647, 9, 2dya2iocuni 33277 . . . 4 ((ℝ Γ— ℝ) ∈ (𝐽 Γ—t 𝐽) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 ran 𝑅βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ))
5750, 55, 56mp2b 10 . . 3 βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 ran 𝑅βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ)
58 simpr 485 . . . . 5 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ)) β†’ βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ))
59 elpwi 4609 . . . . . . 7 (𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 β†’ 𝑐 βŠ† ran 𝑅)
6059adantr 481 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝑐 βŠ† ran 𝑅)
6160unissd 4918 . . . . 5 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ)) β†’ βˆͺ 𝑐 βŠ† βˆͺ ran 𝑅)
6258, 61eqsstrrd 4021 . . . 4 ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ)) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† βˆͺ ran 𝑅)
6362rexlimiva 3147 . . 3 (βˆƒπ‘ ∈ 𝒫 ran 𝑅βˆͺ 𝑐 = (ℝ Γ— ℝ) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† βˆͺ ran 𝑅)
6457, 63ax-mp 5 . 2 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† βˆͺ ran 𝑅
6546, 64eqssi 3998 1 βˆͺ ran 𝑅 = (ℝ Γ— ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  β„*cxr 11246   / cdiv 11870  2c2 12266  β„€cz 12557  (,)cioo 13323  [,)cico 13325  β†‘cexp 14026  topGenctg 17382  Topctop 22394   Γ—t ctx 23063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-refld 21157  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-cmp 22890  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-fcls 23444  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-cfil 24771  df-cmet 24773  df-cms 24851  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-cxp 26065  df-logb 26267
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  33279  sxbrsigalem2  33280  sxbrsigalem5  33282
  Copyright terms: Public domain W3C validator