Theorem dya2iocucvr 34275

Description: The dyadic rectangular set collection covers (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocucvr	⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocucvr

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unissb 4903	. . 3 ⊢ (∪ ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ) ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝑅 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
2		dya2ioc.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
3		vex 3451	. . . . . 6 ⊢ 𝑢 ∈ V
4		vex 3451	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
5	3, 4	xpex 7729	. . . . 5 ⊢ (𝑢 × 𝑣) ∈ V
6	2, 5	elrnmpo 7525	. . . 4 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑢 ∈ ran 𝐼∃𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
8		pwssb 5065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝐼 𝑑 ⊆ ℝ)
9		dya2ioc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
10		ovex 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
11	9, 10	elrnmpo 7525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
13		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		2re 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℝ)
17		2ne0 12290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ≠ 0)
19		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
20	16, 18, 19	reexpclzd 14214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
21		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℂ)
22	21, 18, 19	expne0d 14117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ≠ 0)
23	14, 20, 22	redivcld 12010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
24		1red 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 1 ∈ ℝ)
25	14, 24	readdcld 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
26	25, 20, 22	redivcld 12010	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
27	26	rexrd 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
28		icossre 13389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
29	23, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
30	12, 29	eqsstrd 3981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
31	30	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ))
32	31	rexlimivv 3179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
33	11, 32	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 → 𝑑 ⊆ ℝ)
34	8, 33	mprgbir 3051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
35	34	sseli 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ran 𝐼 → 𝑢 ∈ 𝒫 ℝ)
36	35	elpwid 4572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ran 𝐼 → 𝑢 ⊆ ℝ)
37	34	sseli 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ran 𝐼 → 𝑣 ∈ 𝒫 ℝ)
38	37	elpwid 4572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ran 𝐼 → 𝑣 ⊆ ℝ)
39		xpss12 5653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ 𝑣 ⊆ ℝ) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
40	36, 38, 39	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
42	7, 41	eqsstrd 3981	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ)))
44	43	rexlimivv 3179	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran 𝐼∃𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
45	6, 44	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝑅 → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
46	1, 45	mprgbir 3051	. 2 ⊢ ∪ ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ)
47		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
48		retop 24649	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
49	47, 48	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
50	49, 49	txtopi 23477	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
51		uniretop 24650	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
52	47	unieqi 4883	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
53	51, 52	eqtr4i 2755	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
54	49, 49, 53, 53	txunii 23480	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
55	54	topopn 22793	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top → (ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
56	47, 9, 2	dya2iocuni 34274	. . . 4 ⊢ ((ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ))
57	50, 55, 56	mp2b 10	. . 3 ⊢ ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)
58		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ))
59		elpwi 4570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → 𝑐 ⊆ ran 𝑅)
60	59	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → 𝑐 ⊆ ran 𝑅)
61	60	unissd 4881	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → ∪ 𝑐 ⊆ ∪ ran 𝑅)
62	58, 61	eqsstrrd 3982	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅)
63	62	rexlimiva 3126	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ) → (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅)
64	57, 63	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅
65	46, 64	eqssi 3963	1 ⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4871   × cxp 5636  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071  ℝ^*cxr 11207   / cdiv 11835  2c2 12241  ℤcz 12529  (,)cioo 13306  [,)cico 13308  ↑cexp 14026  topGenctg 17400  Topctop 22780   ×_t ctx 23447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-refld 21514  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-cmp 23274  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-fcls 23828  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-cfil 25155  df-cmet 25157  df-cms 25235  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-cxp 26466  df-logb 26675

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  34276  sxbrsigalem2  34277  sxbrsigalem5  34279