Theorem dya2iocucvr 34899

Description: The dyadic rectangular set collection covers (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocucvr	⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥, 𝑣, 𝑢, 𝑛)

Proof of Theorem dya2iocucvr

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unissb 4901	. . 3 ⊢ (∪ ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ) ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝑅 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
2		dya2ioc.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
3		vex 3455	. . . . . 6 ⊢ 𝑢 ∈ V
4		vex 3455	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
5	3, 4	xpex 7756	. . . . 5 ⊢ (𝑢 × 𝑣) ∈ V
6	2, 5	elrnmpo 7548	. . . 4 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑢 ∈ ran 𝐼∃𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
7		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
8		pwssb 5061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝐼 𝑑 ⊆ ℝ)
9		dya2ioc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
10		ovex 7445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
11	9, 10	elrnmpo 7548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
12		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
13		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zred 12784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		2re 12398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℝ)
17		2ne0 12430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ≠ 0)
19		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
20	16, 18, 19	reexpclzd 14373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
21		2cnd 12402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℂ)
22	21, 18, 19	expne0d 14275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ≠ 0)
23	14, 20, 22	redivcld 12126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
24		1red 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 1 ∈ ℝ)
25	14, 24	readdcld 11319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
26	25, 20, 22	redivcld 12126	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
27	26	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
28		icossre 13540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
29	23, 27, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
30	12, 29	eqsstrd 3965	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
31	30	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ))
32	31	rexlimivv 3205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
33	11, 32	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 → 𝑑 ⊆ ℝ)
34	8, 33	mprgbir 3084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
35	34	sseli 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ran 𝐼 → 𝑢 ∈ 𝒫 ℝ)
36	35	elpwid 4566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ran 𝐼 → 𝑢 ⊆ ℝ)
37	34	sseli 3927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ran 𝐼 → 𝑣 ∈ 𝒫 ℝ)
38	37	elpwid 4566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ran 𝐼 → 𝑣 ⊆ ℝ)
39		xpss12 5666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ 𝑣 ⊆ ℝ) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
40	36, 38, 39	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
41	40	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
42	7, 41	eqsstrd 3965	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
43	42	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ)))
44	43	rexlimivv 3205	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran 𝐼∃𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
45	6, 44	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝑅 → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
46	1, 45	mprgbir 3084	. 2 ⊢ ∪ ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ)
47		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
48		retop 25060	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
49	47, 48	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
50	49, 49	txtopi 23889	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
51		uniretop 25061	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
52	47	unieqi 4879	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
53	51, 52	eqtr4i 2787	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
54	49, 49, 53, 53	txunii 23892	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
55	54	topopn 23204	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top → (ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
56	47, 9, 2	dya2iocuni 34898	. . . 4 ⊢ ((ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ))
57	50, 55, 56	mp2b 10	. . 3 ⊢ ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)
58		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ))
59		elpwi 4564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → 𝑐 ⊆ ran 𝑅)
60	59	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → 𝑐 ⊆ ran 𝑅)
61	60	unissd 4877	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → ∪ 𝑐 ⊆ ∪ ran 𝑅)
62	58, 61	eqsstrrd 3966	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅)
63	62	rexlimiva 3156	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ) → (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅)
64	57, 63	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅
65	46, 64	eqssi 3947	1 ⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ∪ cuni 4867   × cxp 5649  ran crn 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184  ℝ^*cxr 11323   / cdiv 11954  2c2 12378  ℤcz 12674  (,)cioo 13457  [,)cico 13459  ↑cexp 14184  topGenctg 17588  Topctop 23191   ×_t ctx 23859

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-refld 21891  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-cmp 23685  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-fcls 24240  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-cfil 25556  df-cmet 25558  df-cms 25636  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866  df-cxp 26867  df-logb 27075

This theorem is used by:  sxbrsigalem1  34900  sxbrsigalem2  34901  sxbrsigalem5  34903