Theorem dya2iocucvr 34251

Description: The dyadic rectangular set collection covers (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2	⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocucvr	⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑛,𝑣

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocucvr

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unissb 4893	. . 3 ⊢ (∪ ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ) ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝑅 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
2		dya2ioc.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
3		vex 3442	. . . . . 6 ⊢ 𝑢 ∈ V
4		vex 3442	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ V
5	3, 4	xpex 7693	. . . . 5 ⊢ (𝑢 × 𝑣) ∈ V
6	2, 5	elrnmpo 7489	. . . 4 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑢 ∈ ran 𝐼∃𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 = (𝑢 × 𝑣))
8		pwssb 5053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ ↔ ∀𝑑 ∈ ran 𝐼 𝑑 ⊆ ℝ)
9		dya2ioc.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
10		ovex 7386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
11	9, 10	elrnmpo 7489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
13		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
14	13	zred 12598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
15		2re 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℝ)
17		2ne0 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ≠ 0)
19		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℤ)
20	16, 18, 19	reexpclzd 14174	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
21		2cnd 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 2 ∈ ℂ)
22	21, 18, 19	expne0d 14077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (2↑𝑛) ≠ 0)
23	14, 20, 22	redivcld 11970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
24		1red 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 1 ∈ ℝ)
25	14, 24	readdcld 11163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
26	25, 20, 22	redivcld 11970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
27	26	rexrd 11184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*)
28		icossre 13349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ*) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
29	23, 27, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ℝ)
30	12, 29	eqsstrd 3972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) ∧ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
31	30	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ))
32	31	rexlimivv 3171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑑 = ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) → 𝑑 ⊆ ℝ)
33	11, 32	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝐼 → 𝑑 ⊆ ℝ)
34	8, 33	mprgbir 3051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
35	34	sseli 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ ran 𝐼 → 𝑢 ∈ 𝒫 ℝ)
36	35	elpwid 4562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ran 𝐼 → 𝑢 ⊆ ℝ)
37	34	sseli 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ran 𝐼 → 𝑣 ∈ 𝒫 ℝ)
38	37	elpwid 4562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ran 𝐼 → 𝑣 ⊆ ℝ)
39		xpss12 5638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ 𝑣 ⊆ ℝ) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
40	36, 38, 39	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → (𝑢 × 𝑣) ⊆ (ℝ × ℝ))
42	7, 41	eqsstrd 3972	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑑 = (𝑢 × 𝑣)) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑣 ∈ ran 𝐼) → (𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ)))
44	43	rexlimivv 3171	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran 𝐼∃𝑣 ∈ ran 𝐼 𝑑 = (𝑢 × 𝑣) → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
45	6, 44	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑑 ∈ ran 𝑅 → 𝑑 ⊆ (ℝ × ℝ))
46	1, 45	mprgbir 3051	. 2 ⊢ ∪ ran 𝑅 ⊆ (ℝ × ℝ)
47		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
48		retop 24665	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
49	47, 48	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
50	49, 49	txtopi 23493	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
51		uniretop 24666	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
52	47	unieqi 4873	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
53	51, 52	eqtr4i 2755	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
54	49, 49, 53, 53	txunii 23496	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
55	54	topopn 22809	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top → (ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽))
56	47, 9, 2	dya2iocuni 34250	. . . 4 ⊢ ((ℝ × ℝ) ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ))
57	50, 55, 56	mp2b 10	. . 3 ⊢ ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)
58		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ))
59		elpwi 4560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 → 𝑐 ⊆ ran 𝑅)
60	59	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → 𝑐 ⊆ ran 𝑅)
61	60	unissd 4871	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → ∪ 𝑐 ⊆ ∪ ran 𝑅)
62	58, 61	eqsstrrd 3973	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 ∧ ∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ)) → (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅)
63	62	rexlimiva 3122	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅∪ 𝑐 = (ℝ × ℝ) → (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅)
64	57, 63	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ ∪ ran 𝑅
65	46, 64	eqssi 3954	1 ⊢ ∪ ran 𝑅 = (ℝ × ℝ)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553  ∪ cuni 4861   × cxp 5621  ran crn 5624  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  ℝ^*cxr 11167   / cdiv 11795  2c2 12201  ℤcz 12489  (,)cioo 13266  [,)cico 13268  ↑cexp 13986  topGenctg 17359  Topctop 22796   ×_t ctx 23463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-refld 21530  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-fcls 23844  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-cfil 25171  df-cmet 25173  df-cms 25251  df-limc 25783  df-dv 25784  df-log 26481  df-cxp 26482  df-logb 26691

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem1  34252  sxbrsigalem2  34253  sxbrsigalem5  34255