MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txuni Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txuni 23316
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
txuni.1 𝑋 = βˆͺ 𝑅
txuni.2 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
Assertion
Ref Expression
txuni ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
Proof of Theorem txuni
StepHypRef Expression
1 txuni.1 . . . 4 𝑋 = βˆͺ 𝑅
21toptopon 22639 . . 3 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3 txuni.2 . . . 4 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
43toptopon 22639 . . 3 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
5 txtopon 23315 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
62, 4, 5syl2anb 598 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
7 toponuni 22636 . 2 ((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
86, 7syl 17 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ (𝑅 Γ—t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆͺ cuni 4908   Γ— cxp 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Topctop 22615  TopOnctopon 22632   Γ—t ctx 23284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-tx 23286
This theorem is referenced by:  txunii  23317  txcld  23327  neitx  23331  uptx  23349  txcn  23350  txdis  23356  txnlly  23361  txcmp  23367  txcmpb  23368  hausdiag  23369  txhaus  23371  tx1stc  23374  txkgen  23376  txconn  23413  imasnopn  23414  imasncld  23415  imasncls  23416  utop2nei  23975  utop3cls  23976  qtophaus  33102  txpconn  34509
  Copyright terms: Public domain W3C validator