Theorem txuni 23654

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
txuni.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
txuni.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
txuni	⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))

Proof of Theorem txuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txuni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
2	1	toptopon 22979	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		txuni.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆
4	3	toptopon 22979	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌))
5		txtopon 23653	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
6	2, 4, 5	syl2anb 607	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
7		toponuni 22976	. 2 ⊢ ((𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∪ cuni 4867   × cxp 5647  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Topctop 22955  TopOnctopon 22972   ×_t ctx 23622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-topgen 17474  df-top 22956  df-topon 22973  df-bases 23008  df-tx 23624

This theorem is referenced by:  txunii  23655  txcld  23665  neitx  23669  uptx  23687  txcn  23688  txdis  23694  txnlly  23699  txcmp  23705  txcmpb  23706  hausdiag  23707  txhaus  23709  tx1stc  23712  txkgen  23714  txconn  23751  imasnopn  23752  imasncld  23753  imasncls  23754  utop2nei  24312  utop3cls  24313  qtophaus  34135  txpconn  35587