MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txuni 21616
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
txuni.1 𝑋 = 𝑅
txuni.2 𝑌 = 𝑆
Assertion
Ref Expression
txuni ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆))

Proof of Theorem txuni
StepHypRef Expression
1 txuni.1 . . . 4 𝑋 = 𝑅
21toptopon 20942 . . 3 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 txuni.2 . . . 4 𝑌 = 𝑆
43toptopon 20942 . . 3 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌))
5 txtopon 21615 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
62, 4, 5syl2anb 585 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
7 toponuni 20939 . 2 ((𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆))
86, 7syl 17 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   cuni 4575   × cxp 5248  cfv 6030  (class class class)co 6796  Topctop 20918  TopOnctopon 20935   ×t ctx 21584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-topgen 16312  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-tx 21586
This theorem is referenced by:  txunii  21617  txcld  21627  neitx  21631  uptx  21649  txcn  21650  txdis  21656  txnlly  21661  txcmp  21667  txcmpb  21668  hausdiag  21669  txhaus  21671  tx1stc  21674  txkgen  21676  txconn  21713  imasnopn  21714  imasncld  21715  imasncls  21716  utop2nei  22274  utop3cls  22275  qtophaus  30243  txpconn  31552
  Copyright terms: Public domain W3C validator