Theorem txuni 22651

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
txuni.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
txuni.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
txuni	⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))

Proof of Theorem txuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txuni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
2	1	toptopon 21974	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		txuni.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆
4	3	toptopon 21974	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌))
5		txtopon 22650	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
6	2, 4, 5	syl2anb 597	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
7		toponuni 21971	. 2 ⊢ ((𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))
8	6, 7	syl 17	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∪ cuni 4836   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Topctop 21950  TopOnctopon 21967   ×_t ctx 22619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-topgen 17071  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-tx 22621

This theorem is referenced by:  txunii  22652  txcld  22662  neitx  22666  uptx  22684  txcn  22685  txdis  22691  txnlly  22696  txcmp  22702  txcmpb  22703  hausdiag  22704  txhaus  22706  tx1stc  22709  txkgen  22711  txconn  22748  imasnopn  22749  imasncld  22750  imasncls  22751  utop2nei  23310  utop3cls  23311  qtophaus  31688  txpconn  33094