Theorem txuni 23858

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
txuni.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
txuni.2	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
txuni	⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))

Proof of Theorem txuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txuni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝑅
2	1	toptopon 23182	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		txuni.2	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑆
4	3	toptopon 23182	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌))
5		txtopon 23857	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
6	2, 4, 5	syl2anb 610	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
7		toponuni 23179	. 2 ⊢ ((𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))
8	6, 7	syl 18	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ (𝑅 ×t 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867   × cxp 5646  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Topctop 23158  TopOnctopon 23175   ×_t ctx 23826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-topgen 17561  df-top 23159  df-topon 23176  df-bases 23211  df-tx 23828

This theorem is used by:  txunii  23859  txcld  23869  neitx  23873  uptx  23891  txcn  23892  txdis  23898  txnlly  23903  txcmp  23909  txcmpb  23910  hausdiag  23911  txhaus  23913  tx1stc  23916  txkgen  23918  txconn  23955  imasnopn  23956  imasncld  23957  imasncls  23958  utop2nei  24516  utop3cls  24517  qtophaus  34387  txpconn  35912