Theorem raddcn 33919

Description: Addition in the real numbers is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
raddcn.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
raddcn	⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem raddcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	addcn 24754	. . . . 5 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3		ax-resscn 11125	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		xpss12 5653	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
5	3, 3, 4	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
6	1	cnfldtop 24671	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
7	1	cnfldtopon 24670	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
8	7	toponunii 22803	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
9	6, 6, 8, 8	txunii 23480	. . . . . 6 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld))
10	9	cnrest 23172	. . . . 5 ⊢ (( + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
11	2, 5, 10	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
12		reex 11159	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
13		txrest 23518	. . . . . . 7 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top) ∧ (ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)) → (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
14	6, 6, 12, 12, 13	mp4an 693	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
15		raddcn.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
16		tgioo4 24693	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
17	15, 16	eqtr2i 2753	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = 𝐽
18	17, 17	oveq12i 7399	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = (𝐽 ×t 𝐽)
19	14, 18	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) = (𝐽 ×t 𝐽)
20	19	oveq1i 7397	. . . 4 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld))
21	11, 20	eleqtri 2826	. . 3 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld))
22		ax-addf 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
23		ffn 6688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → + Fn (ℂ × ℂ))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ + Fn (ℂ × ℂ)
25		fnssres 6641	. . . . . . . . 9 ⊢ (( + Fn (ℂ × ℂ) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ( + ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
26	24, 5, 25	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
27		fnov 7520	. . . . . . . 8 ⊢ (( + ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) ↔ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥( + ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)))
28	26, 27	mpbi 230	. . . . . . 7 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥( + ↾ (ℝ × ℝ))𝑦))
29		ovres 7555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥( + ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
30	29	mpoeq3ia 7467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥( + ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦))
31	28, 30	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦))
32	31	rneqi 5901	. . . . 5 ⊢ ran ( + ↾ (ℝ × ℝ)) = ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦))
33		readdcl 11151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
34	33	rgen2 3177	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ
35		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦))
36	35	rnmposs 32598	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ → ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ⊆ ℝ)
37	34, 36	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ⊆ ℝ
38	32, 37	eqsstri 3993	. . . 4 ⊢ ran ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ ℝ
39		cnrest2 23173	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
40	7, 38, 3, 39	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
41	21, 40	mpbi 230	. 2 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
42	17	oveq2i 7398	. 2 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
43	41, 31, 42	3eltr3i 2840	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   × cxp 5636  ran crn 5639   ↾ cres 5640   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  ℂcc 11066  ℝcr 11067   + caddc 11071  (,)cioo 13306   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  topGenctg 17400  ℂ_fldccnfld 21264  Topctop 22780  TopOnctopon 22797   Cn ccn 23111   ×_t ctx 23447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210

This theorem is referenced by:  rrvadd  34443