Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  raddcn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem raddcn 32898
Description: Addition in the real numbers is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
raddcn.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
Assertion
Ref Expression
raddcn (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐽(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem raddcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21addcn 24373 . . . . 5 + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
3 ax-resscn 11164 . . . . . 6 ℝ βŠ† β„‚
4 xpss12 5691 . . . . . 6 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
53, 3, 4mp2an 691 . . . . 5 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)
61cnfldtop 24292 . . . . . . 7 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
71cnfldtopon 24291 . . . . . . . 8 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
87toponunii 22410 . . . . . . 7 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
96, 6, 8, 8txunii 23089 . . . . . 6 (β„‚ Γ— β„‚) = βˆͺ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld))
109cnrest 22781 . . . . 5 (( + ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ∧ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†Ύt (ℝ Γ— ℝ)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
112, 5, 10mp2an 691 . . . 4 ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†Ύt (ℝ Γ— ℝ)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
12 reex 11198 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
13 txrest 23127 . . . . . . 7 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top) ∧ (ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†Ύt (ℝ Γ— ℝ)) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) Γ—t ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
146, 6, 12, 12, 13mp4an 692 . . . . . 6 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†Ύt (ℝ Γ— ℝ)) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) Γ—t ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
15 raddcn.1 . . . . . . . 8 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
161tgioo2 24311 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
1715, 16eqtr2i 2762 . . . . . . 7 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) = 𝐽
1817, 17oveq12i 7418 . . . . . 6 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) Γ—t ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)) = (𝐽 Γ—t 𝐽)
1914, 18eqtri 2761 . . . . 5 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†Ύt (ℝ Γ— ℝ)) = (𝐽 Γ—t 𝐽)
2019oveq1i 7416 . . . 4 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) β†Ύt (ℝ Γ— ℝ)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
2111, 20eleqtri 2832 . . 3 ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
22 ax-addf 11186 . . . . . . . . . 10 + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
23 ffn 6715 . . . . . . . . . 10 ( + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ β†’ + Fn (β„‚ Γ— β„‚))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . 9 + Fn (β„‚ Γ— β„‚)
25 fnssres 6671 . . . . . . . . 9 (( + Fn (β„‚ Γ— β„‚) ∧ (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ))
2624, 5, 25mp2an 691 . . . . . . . 8 ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ)
27 fnov 7537 . . . . . . . 8 (( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) Fn (ℝ Γ— ℝ) ↔ ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦)))
2826, 27mpbi 229 . . . . . . 7 ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦))
29 ovres 7570 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦) = (π‘₯ + 𝑦))
3029mpoeq3ia 7484 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))𝑦)) = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦))
3128, 30eqtri 2761 . . . . . 6 ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦))
3231rneqi 5935 . . . . 5 ran ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ran (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦))
33 readdcl 11190 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
3433rgen2 3198 . . . . . 6 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ
35 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) = (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦))
3635rnmposs 31887 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ β†’ ran (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) βŠ† ℝ)
3734, 36ax-mp 5 . . . . 5 ran (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) βŠ† ℝ
3832, 37eqsstri 4016 . . . 4 ran ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† ℝ
39 cnrest2 22782 . . . 4 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))))
407, 38, 3, 39mp3an 1462 . . 3 (( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
4121, 40mpbi 229 . 2 ( + β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
4217oveq2i 7417 . 2 ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)) = ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
4341, 31, 423eltr3i 2846 1 (π‘₯ ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + 𝑦)) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408  β„‚cc 11105  β„cr 11106   + caddc 11110  (,)cioo 13321   β†Ύt crest 17363  TopOpenctopn 17364  topGenctg 17380  β„‚fldccnfld 20937  Topctop 22387  TopOnctopon 22404   Cn ccn 22720   Γ—t ctx 23056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820
This theorem is referenced by:  rrvadd  33440
  Copyright terms: Public domain W3C validator