Theorem raddcn 31547

Description: Addition in the real numbers is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
raddcn.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
raddcn	⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem raddcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	addcn 23716	. . . . 5 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3		ax-resscn 10751	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		xpss12 5551	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
5	3, 3, 4	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
6	1	cnfldtop 23635	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
7	1	cnfldtopon 23634	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
8	7	toponunii 21767	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
9	6, 6, 8, 8	txunii 22444	. . . . . 6 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld))
10	9	cnrest 22136	. . . . 5 ⊢ (( + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
11	2, 5, 10	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
12		reex 10785	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
13		txrest 22482	. . . . . . 7 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top) ∧ (ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)) → (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
14	6, 6, 12, 12, 13	mp4an 693	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
15		raddcn.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
16	1	tgioo2 23654	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
17	15, 16	eqtr2i 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = 𝐽
18	17, 17	oveq12i 7203	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = (𝐽 ×t 𝐽)
19	14, 18	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) = (𝐽 ×t 𝐽)
20	19	oveq1i 7201	. . . 4 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld))
21	11, 20	eleqtri 2829	. . 3 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld))
22		ax-addf 10773	. . . . . . . . . 10 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
23		ffn 6523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → + Fn (ℂ × ℂ))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ + Fn (ℂ × ℂ)
25		fnssres 6478	. . . . . . . . 9 ⊢ (( + Fn (ℂ × ℂ) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ( + ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
26	24, 5, 25	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
27		fnov 7319	. . . . . . . 8 ⊢ (( + ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) ↔ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥( + ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)))
28	26, 27	mpbi 233	. . . . . . 7 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥( + ↾ (ℝ × ℝ))𝑦))
29		ovres 7352	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥( + ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
30	29	mpoeq3ia 7267	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥( + ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦))
31	28, 30	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦))
32	31	rneqi 5791	. . . . 5 ⊢ ran ( + ↾ (ℝ × ℝ)) = ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦))
33		readdcl 10777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
34	33	rgen2 3114	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ
35		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦))
36	35	rnmposs 30685	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ → ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ⊆ ℝ)
37	34, 36	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ⊆ ℝ
38	32, 37	eqsstri 3921	. . . 4 ⊢ ran ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ ℝ
39		cnrest2 22137	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
40	7, 38, 3, 39	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
41	21, 40	mpbi 233	. 2 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
42	17	oveq2i 7202	. 2 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
43	41, 31, 42	3eltr3i 2843	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  Vcvv 3398   ⊆ wss 3853   × cxp 5534  ran crn 5537   ↾ cres 5538   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191   ∈ cmpo 7193  ℂcc 10692  ℝcr 10693   + caddc 10697  (,)cioo 12900   ↾_t crest 16879  TopOpenctopn 16880  topGenctg 16896  ℂ_fldccnfld 20317  Topctop 21744  TopOnctopon 21761   Cn ccn 22075   ×_t ctx 22411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-addf 10773

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-map 8488  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-fi 9005  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-ioo 12904  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-hom 16773  df-cco 16774  df-rest 16881  df-topn 16882  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-topgen 16902  df-pt 16903  df-prds 16906  df-xrs 16961  df-qtop 16966  df-imas 16967  df-xps 16969  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-mulg 18443  df-cntz 18665  df-cmn 19126  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-cnfld 20318  df-top 21745  df-topon 21762  df-topsp 21784  df-bases 21797  df-cn 22078  df-cnp 22079  df-tx 22413  df-hmeo 22606  df-xms 23172  df-ms 23173  df-tms 23174

This theorem is referenced by:  rrvadd  32085